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1、第23讲函数y=Asin(x+)的图象及应用(讲)思维导图题型1:“五点法作图及图象变换题型2:求函数y=Asin(3x+)89W析式考向1:三角函数性质的综合问题函数y = Asin(x + )的图象及应用题型3:三角函数图象与性质的综合问题(考向2:三角函数的实际应用I考向3:函数零点(方程根)f最横坐标伸缩与3的关系不清致误常见误区/图象平移与9的关系不清致误I确定不了解析式中的值致误知识梳理1 .函数y=Asin(s+g)的有关概念y=sin(x)(A0,0)振幅周期频率相位初相AT2T=f=L=处jT2x+(p2 .用五点法画y=Asin(cx+9)(A0,cO)一个周期内的简图用五
2、点法画y=Asin(3r+3)(AO,m0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示:-023T2X-2L_2-0红一幺22-0y=Asin(cx+0)0A0-0五点法作图的步骤用“五点法”作函数y=4sin(sx+p)的简图，精髓是通过变量代换，设z=(x+%由Z取0,看,y,T2兀来求出相应的x,通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为京3.由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(cx+0)(AO,公0)的图象的两种方法题型归纳题型1“五点法”作图及图象变换【例1-1(2020春兴宁区校级月考)(1)利用“五点法”画出函数/(x)=y=sin(
3、L+马在长度为一个周期26的闭区间的简图.列表：1-X+26Xy作图:(2)并说明该函数图象可由y=SinMxeR)的图象经过怎么变换得到的.(3)求函数f(x)图象的对称轴方程.【分析】(1)按照“五点法”画出函数图象的步骤：列表、描点、连线，画图即可;(2)经过平移变换和伸缩变换即可得到函数的图象.(3)由L+工=区+三，Z,即可解得函数的对称轴方程.262【解答】解：(1)先列表，后描点并画图1X+26023T2X32T5T8兀Ty010-10(2)把y=sinx的图象上所有的点向左平移巴个单位，再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵6坐标不变)，得到y=sin(L+马的图象，即y
4、=Sindx+马的图象；2626(3)由x+匹=&+三，可得X=2k,AreZ,2623所以函数的对称轴方程是x=2M+空，keZ.3【例1-2】(2020春安徽期末)要得到函数y=cosx+马的图象，只需将函数y=cosx-马的图象()2326A.向左平移巴个单位长度B.向右平移上个单位长度2 2C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度【分析】由题意利用函数y=Acos(3x+q)的图象变换规律，得出结论.【解答】解：把函数y=cos(Xq)=COs/(x-g)的图象向左平移1个单位长度,可得函数y=8s(x-g+l)=cos(x+g的图象的图象，故选：C.【跟踪训I练I-1(202
5、0春云南期末)函数y=sin2w(G0)的图象向左平移2个单位长度，所得图象关于6y轴对称，则口的一个可能取值是()3 21A.2B.-C.-D.-232【分析】由题意根据函数y=Asin(s+)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论.【解答】解：把函数y=sin2(y(0)的图象向左平移工个单位长度，6可得y=sin(2ox+)的图象，根据所得图象关于y轴对称，可得竺=%乃+2,Z,32则切的个可能取值为3,2故选：B.【跟踪训练1-2】(2020春广州期末)已知函数f(x)=sinx,g(x)=sin(2x+马,将/(力的图象经过下列哪种变换可以与g(x)的图象重合()A.向左平
6、移工个单位，6再把各点的横坐标缩短到原来的!2B.向左平移立个单位,12再把各点的横坐标缩短到原来的L2C.向左平移工个单位，6再把各点的横坐标伸长到原来的2倍D.向左平移立个单位,12再把各点的横坐标伸长到原来的2倍【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果.【解答】解：将函数/(幻=SinX的图象向左平移工个单位，再将函数上各点的横坐标缩短为原来的工，得62至IJg(x)=sin(2x+工)的图象.故选：A.【跟踪训练1-3】(2019秋道里区校级期末)已知函数/(x)=2COSX(由SinX+cosx)-l.(I)求函数/(X)的最小正周期并用五点作图法画出函数y=(x
7、)在区间0,划上的图象;（三）若将函数/a)的图象向右平移工个单位长度，得到函数以外的图象，求函数g(x)的解析式，并求当63哈争时，函数g(x)的最小值及此时的X值.【分析】(I)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用五点法作图，画出函数/(X)在0,幻上的图象.（三）利用函数y=Asin(ox+e)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，即可得解.【解答】解：(I)/(x)=2cosx(3sinx+cosx)-1=3sin2x+1+cos2x-=2sin(2x+),6.函数f(x)的最小正周期T=等=%，在0,划上，2x+-,666列表如下：函数F(X)在区间
8、0,%上的图象是:C低2x+-677342213乃6X05n2Tny120-201作图如下:(II)将函数f(力的图象向右平移三个单位长度,得到函数g(x)=2sin(2x三)的图象,66I-T-r7T24-lli.人7VrTC7TC.由J-X,时，2,9123636故当2x-时，即X=-C时，函数取得最小值为2sin(-2)=-L63123【名师指导】(1)，=ASin(S:+的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换Z=S+e计算五点坐标.(2)由y=sin5到y=sin(cux+e)的变换：向左平移为(00,卬0)个单位长度而非p个单位长度.(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致
9、，应先利用诱导公式化为同名函数，G为负时应先变成正值.题型2求函数y=Asin(x+)的解析式【例2-1】(2020新乡二模)如图，P,Q是函数/(x)=ACOS(5+*)(AO,00,-%0,0时，由/(一g)=3,可得9=2攵万+得，左Z,结合/v,此时9取不到符合题意的值；当。VO时，由一|)=3,解得夕需，左Z;结合|在苫，可得Z=T时，=J即可得解.10【解答】解：由函数y=Asin(3x+)+B的部分图象知，A+B=3-A+ = O解得A = B = -X 2又?妥咛=小解得T=年;所以IO时，函数的解析式为y=sin(x+8)+T,i冗、3.6/万、3C乂/(-y)=-SlnqX
10、(-)+)+-=3,sin(一等+0)=1,一等+=2k+，ksZ：解得0=22万+得，Z;又|如,此时e取不到符合题意的值；(2)当3V0时，函数的解析式为y=-Tsinfx-e)+,乂/(一A)=-ISin(SX(-5)一夕)+=3,sin(一:一*)=一1,2=2k+,左Z;解得*=一24万一筹.AZ;父网,可得A=-1时，=-,10综上，Q的值为a故选：A.【跟踪训练2-1】(2020春新余期末)已知函数/(x)=ASiI1(次+夕)(40,0,/g)的部分图象如图【分析】由函数/(X)的部分图象求得A、T、G和。的值，即可写出/(x),进而根据特殊角的三角函数值即可求解.【解答】解：
11、由函数/(x)=ASin(5+)的部分图象知，A=2,Ir=-,解得7=4万=空，2331.=-;2又/(争=2sin(gX1+。)=2，可得工X至+/=24乃+至，左Z,ft?W=2k+,左Z,2326,0,G0,的部分图象如图所示,将函数/*)的图象向右平移上个单位后，所得到的图象对应的函数为(A.y=2sin(2x-y)B.y=2sin(gx-g)C.y=2sin(2x-)D.y=2sin(gx一系)【分析】直接利用函数的图象的应用求出函数/(x)的关系式，进一步利用图象的变换的应用求出结果.【解答】解：根据函数的图象：A=2,T=2(-+-)=,1212所以3=2.当X=一工时，函数取
12、得最小值，12故2x(-)+e=2k乃一,解得0=2%乃一。，keZ当4=0时，=.3故f(x)=2sin(2x-y),所以把f(x)=2sin(2x-工)的图象向右平移-个单位得到g(x)=2sin(2x-)=2sin(2x-),34236故选：C【跟踪训练2-3(2020春日照期末)已知函数/(x)=2SinQX+0)QO,*;T)的图象如图所示，则【分析】由三角函数的图象先求出周期，进而求出口的值为3,将(工，0)代入，注意在X=工处函数单调44递增，所以工?+*=左乃，再由0的取值范:围可得e的值，求出函数的解析式，进而求出/(2)的值.【解答】解：由函数的图象可得3r=包工，11rw
13、=-=,可得g=3,2443因为/(马=0，由图可知3,+e=4万，kwZ,O,加0)的解析式的步骤(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值也则A=M2(2)求,确定函数的周期T,则G=笔(3)求知常用方法有:代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间还是在下降区间）或把图象的最高点或最低点代入；五点法：确定e值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”（即图象上升时与X轴的交点）为S+=O:“第二点”（即图象的峰点”）为5：+伊=方第三点（即图象下降时与X轴的交点）为x+=;“第四点”（即图象的“谷点”）为x+=第五点（即图象上升时与X轴的交点）为x
14、+0=2.题型3三角函数图象与性质的综合问题【例31】（2020春泸州期末）关于函数/=sin（2x+至（xR）,给出下列命题：（1）函数f（x）在（-工,工）上是增函数;（2）函数/“）的图象关于点（女-2，O）（ZeZ）对称；26（3）为得到函数g（x）=sin2x的图象，只要把函数/（x）的图象上所有的点向右平行移动巴个单位长度.其6中正确命题的个数是（）A.OB.1C.2D.3【分析】（1）,由xe（三，工）时，可得2%+至（生,但），由y=sinx的单调性即可判断；22333（2）,由21+巳=版可得X=且左Z,即可判断；326（3）,根据函数/（x）的图象平行移动规则即可判断.【解
15、答】解：对于（1）,x（-,-）W,2x+-（-y=sinx在（一旦，场）上不是增函数，2233333故错；对于（2）,由2彳+军=可得x=-2,&Z,可得函数/（x）的图象关于点（红-匹，0）（壮Z）对称,32626故正确：对于（3）,函数力的图象上所有的点向右平行移动巴个单位长度可得sin2（x-2）+X=sin2x,故正确；663故选：C.【例3-2（2019秋武汉期末）下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度d（米）（在水平面下d为负数）与时间M秒）满足函数关系式d=ASin(M+1(AO0,0|),则函数
16、关系式为.【分析】由题意求出A、T、。和的值，即可写出函数关系式.【解答】解：由题意知水轮的半径为2,水轮圆心。距离水面1,所以A=2；又水轮每分钟旋转4圈，所以转一圈需要15秒，所以T=15=空，解得口=空：15由顺时针旋转，=0时，t+=2k-y,解得=2k一Y(AGZ),又9=所以函数关系式为d=2sin(空一马+1.156故答案为：t=2sin(-r-)+l.156【例3-3(2020全国I卷模拟)设函数/(x)=sin3x+b8S6r(30)在区间四,刍上单调，且62%)=/咛)=-/(凯当X唾时，/(力取到最大值4,若将函数/(X)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x
17、)的图象，则函数)，=以外-/二零点的个数为()A.4B.5C.6D.7【分析】由题知IX)=sintx+力COSix=Ja?+乂由(工+),由/(g=/(g)=-/(令得出对称中心及对称轴，得出T,再得出/(x)解析式，再由变换得出g(x),再分别画出g*)与y=f图象，即可得出结论.【解答】解：f(x)=asinx+Z?cosx=Ja2+b2sin(O),即 OV0,3,工+女+又/)=/(4)=-/(当，所以=2-=为f()对称轴；且2=g,则邑0)为f(x)的一个对236212233称中心，由于03cos2x=4sin(2,),由图象变换得g(x)=4sin(x+$,又y=J二在(_(
18、,0)处的切线斜率不存在，即切线方程为工=-(,所以x=-3右侧g(x)图象较缓，如图所示：同时+时，T16-y,【跟踪训练3-1】(2020春赤峰期末)点P(-工，3)是函数/(x)=Sin(S+e)+m30,|0为的图象的62一个对称中心，且点尸到该图象的对称轴的距离的最小值为巳，则()4A./(X)的最小正周期是2;TB.？的值为2C./(x)的初相为工D./3)在-2，0上单调递增612【分析】点P(-2，3)是函数/(x)=sin(5+e)+w的图象的一个对称中心，根据函数对称性可得加=3,6sin(-2。+如=0,乂点尸到该图象的对称轴的距离的最小值工，即工=工，利用周期公式可求G
19、的值，可6444求函数解析式，利用正弦函数的性质即可求解.【解答】解：因为点P(-工，3)是函数/(x)=Sin(OX+P)+M,|以为的图象的个对称中心，62根据函数对称性可得，=3,sin(-)=O,6又点尸到该图象的对称轴的距离的最小值为工，即工=巳，444所以T=乃=,可得0=2,所以/(x)=sin(2x+)+3,把已知点(一工，3)代入可得sin(工x2+)+3=3,可得一乂2+0=攵乃，kZ,可得。=火乃+石，kwZ、6663由已知e1,可得。=。，所以f(x)=sin(2x+y)+3,A：函数的最小正周期为乃，故A错误；8:机的值为3,故8错误；C：函数的初相为：=工故C错误；
20、3D：令2工+c2hr工，2k+-AZ,RTW2xk-,k+-,左Z,32231212可得f(x)在-葛，0上单调递增，故O正确.故选：D.【跟踪训练3-2】(2020合肥模拟)函数f(X)=Asin(0,0,0q0,O0勿擀)的部分图象，可得A=J,L型=四一工，.O=2,.最小正周期为T=&=汗，故A正确.4w1232再根据五点法作图，可得22+*=r,.“=,33故函数f(x)=2sin(2x至.令X=-亚，求得Ja)=-戊，为最小值，故宜线为函数的条对称轴，故5正确.1212令X=_与，求得Q)=o,故点(_茅0)为函数/(X)的一个对称中心，故C正确.把函数/3的图象向右平移？个单位
21、后得到y=sin(2x-至的图象，故。不正确，故选：O【跟踪训练33】(2020黄山二模)将函数/。)=2-4M2勺图象向左平移2个单位后得到函数且(旧的图6象，若函数g(x)在区间0二和30,上上均单增，则实数的范围是.26【分析】由题意利用函数y=Asin(w+的图象变换规律，余弦函数的单调性，求得实数。的范围.【解答】解：将函数/(x)=2-4sin2x=2cos2x的区象向左平移且个单位后得到函数6g(x)=cos(2x与)=-COS(2X+等)的图象，若函数g(x)在区间0-和画,卫上均单调递增，26则y=cos(2x+空)在区间。白和国,卫上均单调递减,326在区间0,上，2x+等
22、耳，+y,2+-6t+-,3旭，633.a+(O,且&/+至e2;r,333求得空釉93故答案为：生，-.93【跟踪训练：M】（2019秋武汉期末）某游乐场中半径为30米的摩天轮逆时针（固定从一侧观察）匀速旋转，每5分钟转一圈，其最低点离底面5米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度y（米）随时间/（秒）变化的关系式为（）A.y=30sin(-r-)+35B.y=30sin(-r-)+35521502C.y=30sin(-1+)+5D.y=30sin(-Z+)+552,1502【分析】设y=Asin(w+)+B,由题意可得A=30,=,8=30x2+530=35,(
23、0,5)为最300150低点，代人可得.【解答】解：设y=Asin(+*)+A,由题意可得A=30,=-=-,8=30x2+5-30=35,(0,5)为最低点，300150代入可得5=30sin夕+35,Sine=1,=-+2k4=0时，-,22/.V=30sin(-)+35,1502故选：B.【跟踪训练3-5】（2020新建区校级模拟）水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1.5米若.以水面为X轴，圆心到水面的垂线为y轴建立直角坐标系，
24、水车的一个水斗从出水面点A处开始计时，经过1秒后转到P点的位置，则点P到水面的距离力与时间/的函数关系式为（）C. h = 3cos(-r -) +1.540 3B. = 1.5cos(-+ ) + 340 6D. h = 1.5sin(-r + ) 3403【分析】由题意，过户向X轴作垂线,垂足为E,则=QE=P)+1.5,可得NCBA=N8Ao=工，由题意6可求水车的角速度=2,可得N尸BA=，可得NPBD=工巴，在P及)中，求得4040406PD=PBsinZPBD=3sin(-/-),即可得解.406【解答】解：由题意，如图，过P向X轴作垂线，垂足为E,则=PE=Pr)+1.5，r=3
25、,80=1.5,可得NC8A=N8AO=工，6水车的角速度3=至=c,8040.由题意可得，PBA=-t,可得NPBD=NPBA-NCBA=乙一生,40406/.在APBD中，PD=PBsinZPBD=3sin(r-令，.点P到水面的距离/i=PD+1.5=3sin(-r-)+1.5.406故选：A.【跟踪训练3-6】(2020春浙江期末)已知函数/a)=sin(0x+(eZ),x(0,/时，/(X)=芈有唯一解，则满足条件的切的个数是()A.5B.6C.7D.8【分析】FhX的范围求出ox+工的范围，再由/(X)=也有唯解可得0的取值范围，又oZ,分别讨论32。的值，求出八处=且是否在(0，
26、马有唯懈，判断出。的个数.23【解答】解：根据Xe(0,当时，所以5+2g,丝+马或丝+工，马，33333333因为F(X)=且有唯解，所以I丝+乙-鸟2%，解得Fgiy6,2333当则-3%+2=2+2%乃或2乃+2女乃，keZ,解彳导X=-乙，或3233332k,Z93因为xe(0,所以可得力无解；3当。=一2时，f(x)=sin(-2x+)=,则一2彳+乙=2+2女乃或2乃+2女乃，keZ解得x=-k乃或一乙一乃，323336keZ因为xw(0,所以可得4无解；3当O=-I时，/(x)=sin(-x+)=,M-x+-=-+2kS,-+2k,攵Z,Wfx=-2k-k,323333keZ,因
27、为xe(O,所以可得“无解；3当3=0时，/(x)=sin(一)=,则因为x(0,-,所以可得X无数多个解；323当&=1时，f(x)=Sin(X+)=,则X+匹=工+2k或2%+2k,&Z,解得x-2k,或三+2k、keZ,323333因为x(0,-,所以可得X=工；33当啰=2时，f(x)=sin(2x+)=,则2%+2=&+2%4或2万+24乃,kwZ,解得X=A4或三+r、keZ,323336因为x(0,-,所以可得=X;36当&=3时，f(x)=sin(3x+)=则3x+匹=代+22万或2乃+2%乃，keZ,解得X=或工+,32333393keZ,因为xe(O,所以可得x=；39当=
28、4时，f(x)=sin(4x+)=则4工+=乙+2&乃或2乃+2%;TZ解得K=旦三E-+keZ323332123因为x(0,-,所以可得X=工；312当。=5时，f(x)=sin(5x+)=则=2+22;F或2乃+2女乃，keZ,解得X=或工+,323335155keZ,因为Xe(O,-I,所以可得X=巴：315当。=6时，f(x)=sin(6x+)=W1Jx+=+2kJc-,+2k2Z,解得X=/，K-+323333183keZ因为X(0,-,所以可得X=工或工；不唯一，舍3318综上所述出的值由6个一5,1,2,3,4,5.故选：B.【跟踪训练3-7】(2020春未央区校级期末)若函数/
29、(x)=sinx+cosx-2sinxcosx+l-aSiW44零点，则实数。的取值范围()A.2B.-6,-C.-2,伪D.f2,-144【分析】令/(x)=0,可得-l=sinx+cosx-2sinxcosx;设/=sinx+cosx,由两角和的正弦公式和正弦函数的值域可得f的范围，再由二次函数的最值求法，可得所求的取值范围.【解答】解：函数f(x)=sinx+cosx-2sinxcos*+l-在一网.一工上有零点,44可得/(幻=。，即=sinx+COSX-2sinxcosx，x-,：44设，=sinx+cosx=拒Sin(X+马，tG-42,0,4可得/=1+2sinXCOsx,即有y
30、=sinX+cosx-2sinxcos=t-t2+1当，=0时，y取得最大值1；f=-J时，y取得最小值-五-1,可得-啜h-l1,即有-02,所以实数。的取值范围是-五，2.故选：A.【名师指导】1 .解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象,然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念.2 .三角函数的实标应用体现两个方面(1)已知函数模型求解数学问题.(2)才巴实际问题柚象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.3 .巧用图象解决三角函数相关的方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程或不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数图象的特征确定方程的解或不等式的解集.故准确作出对应函数在指定区间上的图象是解决问题的关键.
