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1、第30讲平面向量的数量积(讲)思维导图题型1：平面向量的数量积的运算考向1：平面向量的模平面向量的数量积题型2:平面向量数量积的应用(考向2:平面向量的夹角I考向3:平面向量的垂直题型3:平面向量与三角函数的综合问题常见误区搞错向量的夹角求数量积致误不会用夹角公式计算向量的夹角致误知识梳理1 .向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量。和作温=,b=b,则NAoB就是向量。与b的夹角.(2)范围：设。是向量。与b的夹角，则0。3k180。.(3)共线与垂直：若。=0。，则。与b同向；若9=180。，则。与b反向；若。=90。，则与力垂直.2 .平面向量的数量积定义设两个非零向量,b的夹角为仇则W
2、CoSJ?叫做。与力的数量积，记作。协投影IaICoS叫做向量。在b方向上的投影，IblCOSJ7叫做向量b在。方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度与b在。的方向上的投影版ICoS的乘积3 .向量数量积的运算律()ab=ba.(2)(d)b=(aby)=a-(b).(3)3+8)c=c+bc.4 .平面向量数量积的有关结论已知非零向量G=(XI，6)，)=(X2,也)，。与b的夹角为夕结论几何表示坐标表示模a=yaaIaI=山i+M夹角abcos6,-x-r2y,2ts6+网总+比a，b的充要条件。山=0XlX2+)V2=0题型归纳题型I平面向量数量积的运算【例11】(2020春南岗区校
3、级期末)已知向量。满足IaI=1,a.b=-,则g(25)=()A.0B.2C.3D.4【分析】根据平面向量数量积的运算法则即可得解.【解答】解：a.(2a-b)=2a2-a.b=2i-(-)=3.故选：C【例1-2(2020春临渭区期末)在ABC中，。为线段8C的中点，4)=1,BC=3,则A8.AC=()A.-B.-C.3D.434【分析】以DB,为基底，分别表示48,ACr即可求解.【解答】解：O为线段BC的中点，.AB=OB-ZM,AC=DC-DA=-DB-DA=-(DB+DA)t22Q又At)=1,8C=3,则QA=1,DB=-.4一，-2Q5.A&AC=-(DB-DA)(DB+DA
4、)=TDB-DA)=-(1)=.44故选：B.【跟踪训练1-1】(2020春泉州期末)平行四边形ABCC)中，AB=4,AD=2五,ZBAD=-,E是线4段CO的中点，则ABAe=()A. 0B. 2C. 4D. 42【分析】根据条件即可得出AE=Ao+AB，AC=AD+AB，从而得出AEAC=(AD+-AB).(AD+AB).22然后进行数量税的运算即叽【解答】解：如图，根据题意：AE=AD+-AB,AC=AD+AB,且AB=4,AD=2近,ZBAD=-,24AE.AC=(D+-AB).(AD+AB)=AI)+-2+-.D=8+-l6+-422(-)=4.222222故选：C.【跟踪训练1-
5、2】（2020春道里区校级期末）已知4,b满足=g=2,q,5的夹角为120。，则ab=.【分析】直接利用向量的数量积公式化简求解即可.【解答】解：a,5满足Iai=l=2,a,力的夹角为120,ab=IaIwcos120o=22=-2-故答案为：-2.【名师指导】求非零向量明力的数量积的3种方法方法适用范围定义法已知或可求两个向量的模和夹角基底法直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解坐标法已知或可求两个向量的坐标；已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量
6、积题型2平面向量数量积的应用【例2-1】(2020春北海期末)己知向量值，的夹角为60o,ab=-,b=3t则|。|=()2A.IB.C.3D.23【分析】利用向量的数量积公式求将求出的值代入代数式即得.【解答】解：.向量,6的夹角为60。，b=3,33ab=4b4acos60o=-a=-.22则IaI=1,故选：A.【例2-2】(2020春广东期末)已知平面向量=(3,0),O=(J,6),则与b的夹角为()A.B.三C.三D.工12643【分析】根据条件可求出aS=3应，Ial=3,%=2j,然后即可求出cos的值，从而得出4与b的夹角.【解答】解:.。山=3,=3,b=2,.COS=3=
7、L且滕Ik、ab3222.Il.=.3故选：。.【例2-3(2020太原二模)已知4力是两个非零向量，其夹角为。，若(a+)_L(4-力)，且+b=2-则8S0=()AlR31d32522【分析】由题意利用两个向状垂直的性质，两个向Q的夹角公式，求得COSe的小【解答】解：出是两个非零向量，其夹角为。，若(a+b)_L(a-b),贝J(+)(-)=/-b2=0,二Wa+b=2a-bf:.a2+2a,b+b2=4(a2-2ab+b2),.,.6a2=0ab.32故选：B.【跟踪训练2-1】（2020春黔南州期末）已知向量,。满足IaI=3b,ab=6,=,则IaI=（3）A.2B.3C.4D.6
8、【分析】根据平面向量数量积的运算法则即可得解.【解答】解：因为aZ=|aM/，|cosa-aos-=6所以Ial=6.33故选：D.【跟踪训练2-2】（2020春赤峰期末）己知q,0是单位向量，若|3q-4e2=57,则q与e2的夹角为（）A.30pB.60oC.90oD.120【分析】由题意利用两个向量数量积公式，求出G与C2的夹角的余弦值，可得它的白与色的夹角.【解答】解：.,已知q,e?是单位向量，若3,-4=历，设q与e2的夹角为。，.,.9e124e1e2+16e,=37即9一24COSe+16=37,求得COSe=-！，.6=120,2故选：O【跟踪训练2-3】（2020春新余期末
9、）已知向量、。满足IaI=I,|切=2,向量。，6的夹角为三，则|2a-3的值为（）A.4B.3C.2D.y3【分析】根据条件可求出Gb=1,从而根据12ab=a?4山+/即可求出答案.【解答】解：=1,且Ial=LSl=2,.2a-b=4a2-4ab+b2=4-4+4=2.故选：C【跟踪训练2(2020春广州期末)已知。=(2,T),=(1),若(2a-6)l4,则|。I=.【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式求出I的值，可得Ibl的值.【解答】解：已知a=(2,-l),力=(Lf),若(25)_La,贝J(2-b)a=22-ah=25-(2z)=0,/./=-8*则I/
10、I=Jl+/=底，故答案为：65.【跟踪训练2-5(2020春金安区校级期末)已知向量。=(3,-2),=(l,m),且(q+b)_La,则m=()A.-8B.-6C.6D.8【分析】利用平面向量坐标运算法则求出+b,再由3+b)J,利用向量垂直的性质能求出机的值.【解答】解：.向量。=(3,-2),b=(l,m),:.a+b=(4y-2+m),1 (d+b)Ld,;.(d+b)a=12-2(-2+m)=0,解得m=8.故选：O.【跟踪训I练2-6】(2020临汾模拟)已知向量b=g,等)，向量。在向量b方向上的投影为-2.若(a+b)lb,则实数几的值为()A.-B.C.-D.4422【分析
11、】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得实数4的值.【解答】解：.向量人=(；,亭)，向量d在向量。方向上的投影为-2,ab=-2b=-2,(a+b)Lb,则(a+b)b=ab+b2=-2+1=O,1=2故选：C【跟踪训练27】(2020春咸阳期末)已知向量OA=(IJ),0B=(3,m),若OA_LA8,则实数?的值为()A.-1B.1C.-2D.2【分析】利用平面向量坐标运算法则，求出A5,再由QA_LA8,能求出实数小的值.【解答】解：.向量04=(1/)，08=(3,，)，.AB=(2,m-l),OAlAB，.OA.AB=2+m-1=0,解得实数优=T.故选：A.【
12、跟踪训练2-8】(2020春密云区期末)己知向量4与6的夹角为60o,4=1,仍|=2,当(24-烟时,实数/1为()A.1B.2C.-D.-22【分析】根据两向量垂直时数量积为0,列方程求出义的值.【解答】解：向量d与力的夹角为60。，4=1,b=2,由bJ2-4b)知，b(2劝)=0,处必一加=。，221cos60-22=O,解得2=L2故选：C【跟踪训练2-9】(2020春垫江县校级期末)已知IIdl=2,IbI=Rbr(d-b)t贝Jd+5=【分析】推导彷=从=2,a+b=y(a+b)2=yd2+b2+2ab，由此能求出结果.【解答】解：a=2,h=Jl,且6_L(a6),.b(a-b
13、)=ab-b2=O,.,.ab=b2=2.d+b=y(d+b)2=Ja2+b2+2db=42+22=23-故答案为：24.【跟踪训练2-10】(2020徐州模拟)已知A8=(2,3),AC=(-l,w),若AB上BC,则实数m的值为.【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值.【解答】解：.己知A=(2,3),AC=(-l9m)t/.BC=AC-AB=(-3,m-3).若AB工BC,:.AB.BC=Q,3).(-3,zn-3)=-63(n-3)=0,则实数m=5,故答案为：5.【跟踪训练2-11】(2020江苏模拟)在ABC中，(A8-4AC)LBC(ll),若角A
14、的最大值为巴，则实数6a的值是.【分析】由(A8-;IAC)IBC得出(AB-；IAC).(AC-48)=0,设A8C三角所对的边分别为、b、c,求出CosA,再利用角A的最大值得出方程求出4的值.【解答】解：ABC中，(48-2AC)L8C(ll),所以(48-aAC)BC=0,即(AB-AC)(AC-AB)=0f所以(1+)ABAC-AB2-AAC2=0,设ABC.三角所对的边分别为、b、c,则(1-)cZcosA-C2-b2=0,ac2+22jXbC2所以COSA=-2i-,(+)bc(+y)bc1+A若角A的最大值为工，6贝IJcosA.jcos=,62令巫=在，解得2=3.1+22故
15、答案为：3.【名师指导】1.求平面向量模的2种方法公式法利用a及(ab)2=ap2ab+IbF,把向量模的运算转化为数量积运算几何利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向法量，再利用余弦定理等方法求解2.求平面向量夹角的2种方法定义法当a,b是非坐标形式，求a与b的夹角夕时，需求出ab及IaLIbl或得出它们之间的关系，由COSe-：噂|求得IdHDl坐标法若已知a（汨，y）与bS,%）,则CoSa,b0,弋即十叩地十”3 .利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这
16、两个向量的数量积为0即可.4 .已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数.题型3平面向量与三角函数的综合问题【例3-1】(2020春辽阳期末)已知向量子=(cos(x-马,sin(x-)向量=(6，-1)函数/(x)=b.66(I)求Fa)的最大值;(2)若/(-),/(2-)是关于X的方程25Y-IOX+f=0的两根，且(0,),求Sinatan，。Sa2tana-11-tana及f的值.【分析】(1)通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，结合三角函数的最值求解即可.(2)利用方程的根，推出三角函数关系式，然后转化
17、求解表达式的值即可.【解答】解：(1)向量=(cos(%-马,sin(x-),向量力=(J1)66函数/(x)=A=Qcos(x-马一Sin(X-马=2cos(x-+)=2cosx，6666所以函数f(x)的最大值为2.(2)f(-a),/(曰-)是关于X的方程25/-IOX+Z=O的两根，即2cosa与2sin,ae(0,r),C2t是关于X的方程25k-10x+=0的两根，所以2cos+2sina=-，4cossin=，525因为(COSa+sina):=l+2cosasina,所以-L=1+-L,解得/=-48.2550所以Sinatana CoSa + tana-l ITanaSinI
18、aSina - CoSacos2a1=Sm + cos a = -Sina - COSa5【例32】(2020春北海期末)已知向量&=(cosx,有),6=(Lsinx),函数,f(x)=b+1.(1)求函数/(处的单调递增区间；(2)若g(x)=(2x-马，xe-,1时,求函数g(x)的最值.334【分析】(1)利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求解即可.(2)通过X的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可.【解答】解：(L)/(x)=ab+=cos+sin+1=2sin(x+)+1.由2A4强WH2k冗rAwZ,262可得2k三+2k
19、,AZ,33.单调递增区间为：-y+2,2k(keZ).(2)若g(%)=f(2x-为=2sin(2x-马+1.当回g仔时,一件喂g即一啜kin(2x-2)巫，则一啜k(x)3+l,62所以函数g(x)的最大值、最小值分别为：3+l,-1.【跟踪训练3-1】(2020春湛江期末)已知向量=(l,28sx),=(3sinx,立)(0,马).23(1)若a/Ib,求tan2x的值；(2)若/(x)=力，则函数/(幻的值域.【分析】(1)根据平面向量平行的坐标运算以及二倍角公式进行求解即可；(2)先结合平面向量数量积的坐标运算和辅助角公式将函数/(X)化简为/(4)=Sina+2)，再结合正弦4函数
20、的图象与性质求解即可.【解答】解：(1)alIb=-!_2cosx,23sinxcosx=-8Psin2x=3sinxB222,x(0,-)/.2x=,tan2x=.363(2)f()=ab=3sinx+-V3cosx=6sin(x+-)4小冗、,冗7汗、.,兀、.211.(0,-)x+7w(二,一),.sn(x+-)(-,1.3441242.函数/(x)的值域为(3,6.【跟踪训练3-2】(2020春沈阳期末)已知ImI=2,=(cosO,Sin仍.(1)若(2?-3)(2/力+)=9,求向量机在向量方向的投影的数量.(2)若。=-2,且mJL”,求向量?的坐标.6【分析】(1)先将等式(2
21、w-3)2+)=9的左边展开化筒运算可得nun=I,再根据平面向量数量积的定义求解即可；(2)把。=-2代入/H的坐标中可得向量方，设m=(x,y),根据平面向量的模长和数量积的运算法则可列6出关于X和y的方程组，解之即可.【解答】解：(1)(2m-3h)(2n+n)=4m2-4-3n2=44-4nun-3=9,rhi=1.向量戊在向量/i方向的投影的数量为ImlCOSV/,=生=1=1.nI(2)=-.”=(cosO,sin)=(-.-)622设ZW=(X,y),则f+,P=4,虎_L”，/.x-y=Ot22由解得，X = T7 = -73故向量机的坐标为(1,3)或(-l,-3).【名师指导】向量与三角函数综合问题的特点与解题策略(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法.(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解.(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内南等同于向量夹角的错误.
