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1、“解析几何”大题规范增分练1.(2023合肥模拟)已知双曲线。的中心在原点，右焦点为差，0),渐近线方程为)，(1)求双曲线。的方程；(2)过点M(0,l)且斜率为依lN)的直线/,与双曲线C交于不同的A,B两点,若HBl=l,求直线/的方程.解：(1)因为双曲线C的中心在原点，焦点在X轴上，故可设双曲线的方程是方一方=1(0,Z0).又已知C=4A=小，/=/+从，所以从=1,2=.所以双曲线C的方程是32-y2=I.(2)由题意得直线/的方程为y=+1伙N),y=Ax+1,由，得(32)x2-2区一2=0.yI，320,由题知I、得一班攵优，且zw5.U=24-4A20,vvV设Aa1,y
2、),8(x2,”)，词,_维_二2_则总十及一3_乒，XIX2-3一炉，所以HBl=1+2ximI=1+如.小)楼)=11,解得炉=1或3=苧.因为Ah,所以攵=1,所以直线/的方程为y=x+l.722.已知椭圆C：+2=1的上、下顶点分别为Ai,A2，点P是椭圆C上异于4,Ai的动点，记心，也分别为直线8b，附2的斜率.点Q满足Q4_LRb,QA2-LPA2.(D证明：人心2是定值，并求出该定值；(2)求动点Q的轨迹方程.解：(1)证明：由题意可知A(0,2),A2(0,-2),2Z_1 . . . _：就-2.2-Xo Xo12t为定值.(2)3殳点Q(X,y)fx0,V1M1,由于兆#4
3、，kQA=田.yo-y2.,.QA的方程为)，=XOy。一平.x2 .vA2m2,.*. kQA2=,ioyo2.Q42的方程为)，=.、国一2 由联立可得X=弋一Xo2,代人可得)=一丁音区乂与2+5=Fu+&)+啦=一加即点d-半一泗),xo=-2x,4焉Vg:点P(xo,o)满足1+三=1,Iyo=-y.az2,2，代入可得5+2=1.,点Q的轨迹方程为，+x2=l(x#0).3. (2023德州一模)在平面直角坐标系中，己知点P到点F(2,0)的距离与到直线x=22的距离之比为坐.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点(0,1)且斜率为GWA2)的直线/与C交于A,8两点，与X轴交于点
4、M,线段AB的垂直平分线与X轴交于点N,求拨的取值范围.解：(1)设P(x,y)t由题意彳与五=乎，因为IPFl=4(%啦)2+yz,所以当二?导旨=乎，即如一的2+)2=%l2i,两边平方并整理得5+5=L故点P的轨迹C的方程为，+、=1.(2)设直线/的方程为y=Ax+l(j2J,联立V42-1，消)，并整理得(2F+1)x2+4乙一2=0,显然/0.J=MH,kA。，y),8(x2,刈,4k则 Xi +x2= _2FT, x,x222Zr+又y+y2=A1+x2）+2=W7p可得线段AB的中点坐标为（一而匕），所以线段A8中垂线的方程为了一斤干7令），=o,可得人（一晟7,o）对于直线y
5、=日+1,令y=0,可得”（一0），“1kF+1所以IMN=工221=M2K+1又IABl=4l+Jx一不|=（）2+=10+2所襟=标=2尸高二S-I令r=F+lj,5J则y=8（2+1）+.：14=8/+7-14.因为y=8f+%14在已51上单调递增，所以同小及地1近117014. （2023黄冈模拟）已知双曲线C：，一=1（。0,b0）经过点（3,叫，右焦点为F（c,0）,且c2,届，庐成等差数列.（1）求C的方程；（2）过尸的直线与。的右支交于P,。两点（P在Q的上方），PQ的中点为M,M在直线/：x=2上的射影为MO为坐标原点，设aPOQ的面积为S,直线PMQN的斜率分别为kl舟，
6、证明：-L是定值.6一4户解：（1）因为c2,er,/成等差数列，所以2/=/+02.又C2=/+/,所以/=2户将点所以q2=6.所以C的方程为卷一3=1.O3(2)证明：依题意可设PQ:X=町y+3,x=my+3,由e得(加一2)j2+6wy+3=0.J-3=1，设P(X1,y)tQ(X2,yi)fyy2t6m川+以=，3从守,竽,心,空，、2-1)L)2,222则-=kPN-kQN=-=心一。2_ (y-y2)心+)+2加州+1 2m2yy2fn(y +,2)+ I 13所以;心，+)+2-6m2 1M2-2 + 2S3加2|)空+闭(W+”)+1 ( 3nr 6w23(产工十新石十】4
7、?24 2-6nr-6 3而S=O11(y-J2)=(J-J2),k所以-二是定值.5. (2023威海一模)已知椭圆C+y2=l的左、右顶点分别为4,B,P为C上任意一点(异于A,B),直线AP,BP分别交直线X=学于M,N两点.(1)求证：BM1BN；(2)设直线BM交椭圆C于另一点Q,求证：直线PQ恒过定点.证明：设点P(X,和)，A(-2,0),8(2,0),+%=1，即H=L号，El/W,W且以一即+2攵如_顺_2则直线AP的方程为)，=-7(x+2),直线BP的方程为,y=(-2).八r人-IQ俎16Vo4y()分别3，得)m-3xo+6-3xo-6*16比4兆,3xo+63刈-6
8、4v4一而“则加M戊8V=7o-=高士=至7=一1，所以BMLBN.T22(2)设直线PQ的方程为y=履+。，点QQj,y1)f(y=k-bf_由2_消去y,整理得(l+42)x2+8kZu+4b2-4=0,则XIM)4Z22-41+4金74Z2-4-SIrb2、则Wo=K.市乒+中正+”,16yo4yp4一3xo+63xo-6vg4_J_5yl16-5匕m取V=X=P=Z=一正，则回+2也+2=m，则一16yyo=XXo+2(x+xo)+4,代入化简得(6A+5h)(2攵一份=0,则直线PQ的方程为y=kxk或y=k-2k,_)，=履+22化为y=A(x+2)恒过点A(-2,0),不合题意，舍去,y=k-fk化为y=(l,)恒过点像0),则直线PQ恒过定点像0)6.已知椭圆C：,+=l(4bO)的离心率为乎，且过点(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动直线/：y=即+m(lm.=0.-o=O,若如kps为定值，则l-2A=0,3-3Zx-3+122=0,不妨设点P(2,1),点Q(2)，点P,点。到直线/的距离分别是小，小，因为.m2,告=空心=爷=早，所以&+改去四边形以QA的面积S=3+=：=2邓年而X鲁=幽尹W平(当-NNJq5$)1时取等号)，所以四边形PAQH面积的最大值是耳Z
