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1、专题跟踪检测(二)三角恒等变换与解三角形一、题点考法全面练1.已知是第四象限的角，cos。=；,则tan2a=()a24d24A.B.C24d_2425u.25解析：选B 因为是第四象限的角，所以Sin4-5Q .mSl4-3tan 2a 2. (2023潍坊一模)已知角。在第四象限内，sin2=,则Sina=()A.2B.IC.DT解析：选 D 由已知可得，sin(2a+)=cos(2a+n)=cos 2=4,所以cos2a=-2,1 -cos2仪2上所以sin2=2=4,又角夕在第四象限内，所以Sina=sin2=一号.故选D.3.在中，若SinC=3sinA,b2=2acf则COS8=(
2、)A.IB.I2n3C,3D,4解析：选C因为SinC=3sinA,由正弦定理得c=30,且从=2,由余弦定理得CoSB。2+，一4+为26以22-2ac-6?-3，4. (2023茂名一模)下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是()A. /(x)=cos2xsinXCOSx1 cos2xB. .A)-2sinxcosxC. /(x)=CoSG+cosD. /)=SinG+gCOSG+*解析：选C对于选项A,兀r)=詈+gsinZr=乎sin(2x+；)+g,.T=;对于选1(12si112IX)2sinx项B,SinX0且COSX0,兀1)=-0.=0=tanx,.*.T=:对于选
3、项C,八2sncosX2snxcosxJ(x)=cos-sinxcosxsinx=cosx,.*.T=2;对于选项D,共幻=sin2(x+=3sin(2x+,.T=JL故选C.5. (2023南充二模)在4A8C中，a,b,C分别是角A,B,C的对边，若从+/=2023，l,lll2sinfisinCaam.v.z、则UmASinA的值为()A. 2 021C. 2 023B.2022D.2024解析：选B因为从+2=2023次,则根据正弦定理和余弦定理有智*4IaIlvsn/12bcb2+c2a2 2 022。2=2 022.故选 B.2sinBsinCSin2Acos=6.若(,2cos
4、=4cos Qcos号 则 a 等于()A.2 Tr B, 10解析：选D依题意可知2 =2cos acos-,所以Q7.2a的值为（）A.C.d- 5解析：选1 - tanl 由一1 + tanl=T可得,tan(-J所以tan a=tang+-C.即cosC(CoS,+sinsin吊=2COScos,得cos(+勺)=0,因为所以 cos 2=cos2a-sin2CoS2(x-sin?。 cos2sin21 - ta/a1 tan2a3亍故选8.我国古代数学典籍九章算术卷九“勾股”中有一测量问题：”今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”这个问题体现了古代对直
5、角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75。时绳索未用尽，再退行45米绳索用尽（绳索与地面接触），则绳索长为（）A.3巾米B.4小米C.55米D.165米解析：选B依题意可得如图所示的图形，则A3=4,CD=43,N4AC3=75,所以NCAB=90-75=15。，所以BC=ABtanZCAB=Atan15oV1立Btan450tan3003r.=43（45。30。）=41+tan45otan30o=4=8-43,所以BD1+3=BC+CD=8,所以AC)=MAB2+8D2=442+82=45,所以绳索长为4小米.故选B.9. (202
6、3聊城一模)(多选)在AABC中，若A8,则()A.sinAsinBB.cosAsin2BD.cos2AB,由三角形中大边对大角，可得aB.又由正弦定理，可知SinAsinB,故A正确；又由余弦函数在（0,）上单调递减，可知COSAVCOS8,故B正确；由sin2A=2sinAcosA和sin28=2SinBcosBt当AW时，cosA0,所以sin2Asin2B,故C错误；由cos24=12si112A,cos2B=1-2sin2B,由A可知D正确.故选A、D.10 .已知在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为0,b,c,若=c-24cosB.则角A的取值范围是（）解析：选C=c-
7、2CoS8,由正弦定理可得SinA=SinC2SinACOS8,则sinA=sin(AB)-2sinAcosB=COSAsin8sinAcosB=sin(A),在锐角三角形ABC中，,B,C(0,3，则B-A三(甘，9,：.A=B-Af即B=2At可得A(,B=2A(,解得AL故选C.C=-(A+8)=7C一3A(,11 .在AABC中，角A,B,C所对的边分别为4,b,c,=2,cosA(2sinB-sinQ=sinAcosC,则b+c的最大值为()A.22B.23C.4D.43解析：选CVcosA(2sinBsinQ=sinAcosCt2sinBcosA=sinAcosCcosAsinC=
8、sin(C)=sin()=sinB.OvBv冗，sin0,.*.cosA=百.由r(1hc2440A兀，4=y=2,.由正弦定理应淳=而W=砧=国=下，可得+c=于(SinB+sin2C),将 C=专8,代人化简可得b+c =8+sin 停一皿 WSin8+率COS+sin8)=2#SinB+2cos8=4Sin(B+看)，由曰8+事当8+5时,即8=即寸，b+c的最大值为4.故选C.12.(2023济宁模拟)(多选)如图，在平面四边形ABCD中，已知NB+NO=180o,AB=2,BC=42,CO=4,AD=25,下列四个结论正确的是()AA.NB=No=90。zB.四边形ABCO的面积为4
9、啦+小C.AC=GD.四边形ABCO的周长为6+4啦+2小解析：选ACD在AABC中，AC2=A2+C2-2ABBCcosB=432-2242CoS8,在AACO中，可得AC2=ao2+OC2-2aooccosO=20+16-2X25x4cosD,可得36-I62cosB=36-165cosDf11P2cos=5cosD,因为NB+NO=180。，可得CoSNB=-cosZDt可得COSB=O.又因为8为三角形的内角，所以/8=90。，所以NB=NO=90。，所以A正确：由Sabcd=SabcSacd=BBC+ADDC=242+j254=42+45,所以B错误：在直角AABC中，可得AC=7a
10、b2+BC2=22+(42)2=6,所以C正确；四边形A88的周长为=A8+BC+AD+C=2+45+24+4=6+4g+2巾，所以D正确.故选A、C、D.13 .(2023江门一楼)已知8(一去0),cos28=3,则Sine的值为.解析：因为COS2。=/,所以LZside=/,即sin%=/.又e(-会0),所以Sine=答案：T14 .若点A(COs仇sin夕)与sin。+。-cos(+劲关于X轴对称，则，的一个可能取值为.解析：因为(cos9,sin。)与8(sin(0+,-COSM+1)关于X轴对称，所以cosJ=sin(e+1),sinO=CoS(O+,所以cosSin0+当CO
11、S,SinO=cos，一乎Sin,所以tan。=2-木.又ta靖=tan停一答案：出(答案不唯一)15 .(2023青岛一模)湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市/卡_计划在如图所示的四边形ABCD区域建一处湿地公园.已知NDAB=90。，ZDB=45o,ZBAC=30o,ZDBC=60o,A8=25千米，则CD=xj千米.4B解析：在三角形BAC中由正弦定理得.=SinZACBSinZABC所以22ACg22AC“sin(180-30-45-60o)-sin(45o+60o),sin45o-sin45ocos60o+cos45osin60o,所以4=#+q?所以AC=*+y.又/D
12、AB=90,ZDBA=45ot所以ZA80为等腰直角4三角形，所以AD=AB=2巾，在DAC中由余弦定理得CD=C2+AD2-2ACAZ)cosZDAC=(6+2)2+(22)2-2(6+2)22cos(90o-30o)=23.答案：2316 .(2023西安一模)已知在aABC中，角A,B,C所对边分别为mb,c,满足2反OSA+=2c,且力=2L则aABC周长的取值范围为.解析：在aABC中，由2反054+。=2。及正弦定理得2$山氏0$4+4|14=2011(7,而C=(AB),于是2sinBcosA+sin4=2sin(A+B)=2sinAcosB+2cosAsin8,有sinA=2s
13、inAcosB.而0A0,因此COS8=；.由余弦定理得b2=a2-c2-2accosB,即有I2=a2时取等号.+cW4小,+c24c=(+c)2-3c2(+c)2-3(2=：(a+c)2,当且仅当a=c而+c8=25,则454+力+c65,所以C周长的取值范围为(45,63.答案：(43,63二、压轴考法增分练17 .(2023湖南联考)如图，在正方形ABCo中，E,尸分别是边A8,AD的点，3AE=2BE,NEB=；,贝J()3A.AD=2DFB.AD=IDFD. AD=4DFC.AD=3DFAgL4所一右,tanZFCE+tanZeCE解析：选D由题可知tanCB=tan(CE+N8的
14、=LkmNStanNBCE1517=4,则IanNFeO=I，即CO=4。产，Ao=4。E故选D.I-IXj18 .古代数学家刘徽编撰的重差是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的重差测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上8,C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，如图所示.若在B,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60。和20。，且BC=Ioom,则该球体建B. 50.76 m筑物的高度约为(CoS10。QO.985)()A.49.25mC.56.74mD.58.60m解析：选B如图，设球的半径为R,AB=y3R,AC=
15、#R=Io0，R=/。=11cr3行。、一ABC100Sin100=100Sin100=50Sin10。=50Sin100=2525.cos10。小Sin102sin(30o-10)sin202sin10ocosIO0cosIO00.985*50.76,故选B.19.已知角为锐角，角,2,。+(0衣的始边均与X轴的非负半轴重合，角。的终边经过点P(3,4),且角Q的终边与角2。的终边关于角(+9)的终边对称，则tan(+9)的值为()11n2A.-B.yC.或一亮D.2或B-a2tan.424a解析：选AT角的终边经过点P(3,4),*tan=不由tana=-=,解得tan=1.la吟T或ta或=2.Y0,，。与寸，.0ta球c相交于点。AC平分N0A8,NABC=?AB=38C=3.则aACD的面积为.解析：作出四边形A8C。的外接圆，如图所示，因为A8=3,BCD=1,NABC=与，则NAQC=-力=争，由余弦定理可得AC?=.?+BC2-2BCcos=9+-23l5=7,则AC=巾，因为AC平分?NBAD,则NBAC=NDAC,所以，BC=CDtKCD=BC=由余弦定理可得7=ACc2JT=AD2+CD2-2DCZ)cosy=D2+1+D,整理可得A02+A0-6=0.A0,即的Ao=2,故SMcz)=ADCz)Sirr=X2X12处宓.U2
