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1、word“弹簧与物块的别离模型模型建构:两个物体与弹簧组成的系统。两个物体在运动到某一位置时就会分开,那么这个位置就是物体间的别离点。【模型】弹簧与物块的别离【特点】都要建立动力学方程;别离条件是:相互作用的弹力FN=0这个问题可以分成两类“模型:图1ABO【模型1】水平面上“弹簧与木块的别离模型如图1,B与弹簧相连,而A、B是紧靠在一起的两个物体,当弹簧原来处于压缩状态,如果地面是光滑的,如此物体A、B在向左运动的过程中A、B何时别离。解析物体应在弹簧的原长处别离。由于水平面光滑,当弹簧从压缩状态回到自然伸长位置时,一直加速运动。当它刚刚回到平衡位置时,物块B受的弹力为阻力,开始减速。而物块
2、A不受外力做匀速直线运动。vAvB此时A、B别离。【体验1】但是如果物体与地面之间是不光滑的,题目条件如模型1。试讨论别离条件。解析假设A、B在某一位置别离,此时刻两物体的相互作用力为零FAB=0同时,两物体的加速度一样。如此;所以讨论:1如果等于或均为零;x等于零。两物体在O点别离;2如果大于,x大于零,两物体在O点的右侧别离;3如果小于,x大于零,两物体的别离点在O点的左侧。点评两物体别离的条件是:相互间的弹力FN=0等于零;两物体瞬时加速度相等。【模型2】竖直面上“弹簧与木块的别离模型图2mM如图2所示,轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板,在薄板上放重物,用手将重物向下压缩到一定程度后,
3、突然将手撤去,重物何时与木板别离?解析当物体别离时,物体间的弹力FN=0物块只受重力,物块的加速度为g,木板的加速度也为g弹簧的状态应为原长,即弹簧恢复原长时,二者别离此时物块与薄板有共同的加速度。从动力学的角度可以得到,竖直方向的弹簧类问题两物体的别离点是在弹簧的原长处。模型典案:【典案1】A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上,如图3所示,木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg,弹簧的劲度系数k=100 N/m ,假如在木块A上作用一个竖直向上的力F,使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动g=10 m/s21使木块A竖直做匀加速运动的过程中,力F的最大值;2假如木
4、块由静止开始做匀加速运动,直到A、B别离的过程中,弹簧的弹性势能减少了0.248 J,求这一过程F对木块做的功。解析1设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x有kx=mA+mBg,所以x=mA+mBg/k图3对A施加向上的F力,分析A、B受力如图4图4对A:F+FN-mAg=mAa对B:kx-FN-mBg=mBa可知,当FN0时,AB有共同加速度a=a,由式知欲使A匀加速运动,随FN减小F增大,当FN=0时,F取得了最大值Fm,即Fm=mAg+a=4.41 N2又当FN=0时,A、B开始别离,由式知,此时弹簧压缩量kx=mBa+g即x=mBa+g/kAB共同速度v2=2ax-x由题知,此
5、过程弹性势能减少了WP=EP=0.248 J设F做功WF,对这一过程应用动能定理或功能原理WF+EP-mA+mBgx-x=mA+mBv2联立,且注意到EP=0.248 J可知,WF=9.6410-2 J点评此题命题意图是考查对物理过程、状态的综合分析能力。难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后,确定两物体别离的临界点,即当弹簧作用下的两物体加速度、速度一样且相互作用的弹力FN=0时,恰好别离。m图5【案例2】如图5所示,轻弹簧上端固定,下端连接一质量为的重物,先由托盘托住,使弹簧比自然长度缩短L,然后由静止开始以加速度匀加速向下运动。ag,弹簧劲度系数为,求经过多少时间托盘M将与分开?【
6、解析】当托盘与重物别离的瞬间,托盘与重物虽接触但无相互作用力,此时重物只受到重力和弹簧的作用力在这两个力的作用下,当重物的加速度也为时,重物与托盘恰好别离。由于ag,故此时弹簧必为伸长状态。然后由牛顿第二定律和运动学公式求解:根据牛顿第二定律得:由得:由运动学公式有:联立式有:解得:点评此题属于牛顿运动定律中的临界状态问题。求解本类题型的关键是找出临界条件,同时还要能从宏观上把握其运动过程,分析出别离瞬间弹簧的状态。我们还可这样探索:假如将此题条件改为,情况又如何呢?图6【典例3】如图6所示,一劲度系数为k=800 N / m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12 kg的物体A、和B,物体A
7、、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上。现要加一竖直向上的力F在上面物体A上,使物体A开始向上做匀加速运动,经0.4 s物体B刚要离开地面。设整个过程中弹簧都处于弹性限度,取g=10 m / s2,求:1此过程中所加外力F的最大值和最小值。2此过程中外力F所做的功。解析1A原静止时,设弹簧压缩x1,由受力平衡和克定律有:kx1=mg-物体A向上做匀加速运动,开始时弹簧的压缩形变量最大,向上的弹力最大,如此所需外力F最小,设为F1由牛顿第二定律:F1+kx1mg=ma-当B刚要离地时,弹簧由缩短变为伸长,此时弹力变为向下拉A,如此所需外力F最大,设为F2对B:kx2=mg-对A:F2-kx2-mg=m
8、a -由位移公式对A有: -由可得:2F1=45NF2=285N20.4 s末的速度:v=at=3.750.4 m / s=1.5 m / s对A全程由动能定理得:WFmg (x1+x2)=mv2解得:WF=49.5 J也可用能量守恒求解:在力作用的0.4s,在初末状态有x1=x2,所以弹性势能相等,由能量守恒知,外力做了功,将其它形式的能转化为系统的重力势能和动能。即:图7【典案4】如图7质量为mA=10kg的物块A与质量为mB=2kg的物块放在倾角为300光滑斜面上,处于静止状态,轻弹簧一端与物块B连接,另一端与固定档板连接,弹簧的劲度系数为K=400N/m,现给物块A施加一个平行与斜面向
9、上的力F,使物块A沿斜面向上做匀加速直线运动,力F在前是变力,后为恒力,求力F的最大值和最小值。g=10m/s2【解析】原系统处于静止状态,如此M与m受合外力为零,设此时弹簧压缩量为xo即:(m+M)gsin300=kx0 如此: x0由静止开始向上匀加速运动,m与M在0整体向上有共同的加速度a设经时间为t,如此在tm与M上升位移为S: S=at2 在0以m与M为整体:F+K(X0-S)-(m+M)gsin300=(m+M)a 当时 s=a(0.2)2=0.02a 由、得: F+(0.15-O.02a)400-60=(m+M)a 分析可知在后F为恒力,此状况只有m与M别离可存在在后,对有:si
10、n300,此时力也为瞬间的力/2由得:5分析可知最小力应是在时,即:min=(m+M)a=(2+10) 5=60N在以后力有最大值即: Fmax=(g/2+a) m=(10/2+5) 10=100N图8【典案5】质量为M=6Kg的小车放在光滑的水平面上,物块A和B的质量均为m=2Kg且均放在小车的光滑水平底板上,物块A和小车右侧壁用一根轻弹簧连接,不会别离,如图8所示,物块A和B并排靠在一起,现用力向右压B并保持小车静止,使弹簧处于压缩状态,在此过程中外力做功270J。撤去外力,当A和B分开后,在A达到小车底板的最左端位置之前,B已从小车左端抛出,求:1B与A别离时,小车的速度多大?2从撤去外
11、力至B与A别离时,A对B做了多少功?3假设弹簧伸到最长时B已离开小车。A仍在车上,如此此时弹簧的弹性势能是多大?解析分析可知A、B别离时应在弹簧恢复为原长时,此时AB有共同速度为v1,设车速为v2,接触面均光滑,动量守恒,取向右为正,v2v1又机械能守恒:P由得:v19m/s,v26m/sA对B做的功应为的动能增量:BBK-081J A与B别离后,A的速度不变,弹力对与作负功。弹簧最长时,令的速度为,A与M有共同速度,动量再次守恒,有:取向右为正:v2v1v3第二次机械能守恒:189J 由得:模型体验:【体验1】用木板托住物体m,并使得与m连接的弹簧处于原长,手持木板M向下以加速度aag做匀加
12、速运动,如图9。求物体m与木板一起做匀加速运动的时间。a图9解析m在与M一起向下做匀加速运动过程中,m受到弹簧的弹力不断增大,板M对m的支持力不断减小,重力保持不变。m与板M别离的条件为板M对m的支持力FN恰好为零,且此时m与M运动的加速度恰还相等。设:m与M别离经历t时间,弹簧伸长为x: mgkxma 解得:x 又因为:xat2 所以t图10【体验2】如图10所示,轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板,在薄板上放重物,用手将重物向下压缩到一定程度后,突然将手撤去,如此重物将被弹簧弹射出去,如此在弹射过程中(重物与弹簧脱离之前)重物的运动情况是 ( ) A.一直加速运动 B匀加速运动C.先加速运
13、动后减速运动 D先减速运动后加速运动图11【解析】物体的运动状态的改变取决于所受合外力所以,对物体进展准确的受力分析是解决此题的关键,物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用刚放手时,弹力大于重力,合力向上,物体向上加速运动,但随着物体上移,弹簧形变量变小,弹力随之变小,合力减小,加速度减小;当弹力减至与重力相等的瞬间,合力为零,加速度为零,此时物体的速度最大;此后,弹力继续减小,物体受到的合力向下,物体做减速运动,当弹簧恢复原长时,二者别离正确答案:C【体验3】如图11所示,一根轻质弹簧两端与质量分别为m1 和m2的木块相连,竖直放置在水平地面上。问:至少要向下压多大的力F于m1上,才可
14、以使突然撤去外力F后m2恰好离开地面?解析m2恰好离开地面的临界条件是弹簧比原长再伸长x2,且kx2=m2g和m1速度为零。设未加压力F时,弹簧的压缩量为x0;加压力F时,弹簧的压缩量为x1,如此:kx0=m1g kx1=F+m1g应用简谐运动的对称性求解:m2不离开地面,m1做简谐运动,如此振幅:A=x1x0= x0 + x2所以x1=x2+2x0=加压力F时,F+m1g=kx1F=kx1m1g=(m1+m2) g点评物体与弹簧组成的系统做简谐运动时,具有明显的对称性,这类题一般用对称性来求解会简单得多。【体验4】如下列图,质量为m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为m的物体B相连,开始时
15、A和B均处于静止状态,此时弹簧压缩量为x0,一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连接物体A、另一端C握在手中,各段绳均处于刚好伸直状态,A上方的一段绳子沿竖直方向且足够长。现在C端施水平恒力F而使A从静止开始向上运动。整个过程弹簧始终处在弹性限度以 1如果在C端所施恒力大小为3mg,如此在B物块刚要离开地面时A的速度为多大? 2假如将B的质量增加到2m,为了保证运动中B始终不离开地面,如此F最大不超过多少?解析由题意可知:弹簧开始的压缩量,在B物块刚要离开地面时弹簧的伸长量也是1假如F=3mg,在弹簧伸长到x0时,B开始离开地面,此时弹簧弹性势能与施力前相等,F所做的功等于A增加的动能与重力势能
16、的和。即 可解得: 2所施力为恒力F0时,物体B不离开地面,类比竖直弹簧振子,物体A在竖直方向上除了受变化的弹力外,再受到恒定的重力和拉力。故物体A做简谐运动。在最低点: F0mg+kx0=ma1 式中k为弹簧劲度系数,a1为在最低点A的加速度。 在最高点,B恰好不离开地面,此时弹簧被拉伸,伸长量为2x0,如此:K2x0+mgF0=ma2 考虑到: kx0=mg 简谐运动在上、下振幅处 a1=a2 解得:F0=也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力F0。物体A做简谐运动的最低点压缩量为x0,最高点伸长量为2x0,如此上下运动中点为平衡位置,即伸长量为所在处。由: 解得:F0=【点评】区别原长位
17、置与平衡位置。与原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关;与平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关。图12图6【体验5】如图12所示,光滑的水平面上有,的三个物体,用轻弹簧将与连接,在、两边用力使三个物体靠近,A、B间的弹簧被压缩,此过程外力做功J,然后从静止释放。求:当物体、别离时,B对C做的功有多少?当弹簧再次被压缩到最短而后又伸长到原来时,A、B的速度各是多大?解析此题关键是判断出与别离条件为弹簧恢复到原长,而弹簧再次被压缩到最短条件为、同速且向右。当、别离时弹簧恢复到原长,由动量守恒:mAvAmBmCvBC由机械能守恒:mAvA2mBmCvBC2=72JB对C
18、做功:WBCmCvBC2由得:vAvBC6m/s,WBC18J当弹簧压缩到最短时,、同速方向向右,如此有:mAvA-mBvBCmAmBv, v=2m/s设弹簧再次伸长到原长时,、速度分别为和,如此:mAmBvmAv1mBv272mCvBC2mAv12mBv22由得:v1=2m/s,向左;v2=10m/s,向右或 v16m/s,向右;v2=6m/s, 向右注意求的速度是矢量,最后方向不可丢失,解题要严谨。ABm2km1【体验6】如图,质量为的物体A,通过一轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体B相连,弹簧的劲度系数为k,AB都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连物体A,另一端连一轻挂钩
19、。开始时各段绳都处于伸直状态,A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为的物体C并从静止状态释放,它恰好能使B离开地面但不继续上升。1求物体C下降的最大距离。2假如将C换成另一个质量为的物体D,仍从上述初始位置由静止状态释放,如此这次B刚离地时D的速度的大小是多少?重力加速度为g。【解析】开始时,A、B 静止,设弹簧压缩量为,有挂C并释放后,C向下运动,A 向上运动,设B刚要离地时弹簧伸长量为,有B不再上升,表示此时A 和C的速度为零,C已降到其最低点.由机械能守恒,与初始状态相比,弹簧弹性势能的增加量为C换成D后,当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次一样,由能量关系得联立解得【体验7】如下
20、列图,挡板P固定在足够高的水平桌面上,小物块A和B大小可忽略,它们分别带有+QA和+QB的电荷量,质量分别为mA和mB。两物块由绝缘的轻弹簧相连,一不可伸长的轻绳跨过滑轮,一端与B连接,另一端连接一轻质小钩。整个装置处于场强为E、方向水平向左的匀强电场中。A、B开始时静止,弹簧的劲度系数为k,不计一切摩擦与A、B间的库仑力,A、B所带电荷量保持不变,B不会碰到滑轮。(1) 假如在小钩上挂一质量为M的物块C并由静止释放,可使物块A恰好能离开挡板P,求物块C下落的最大距离;(2) 假如C的质量改为2M,如此当A刚离开挡板P时,B的速度多大?【解析】1开始平衡时有:当A刚离开档板时:故C下落的最大距
21、离为:由式可解得h=2由能量守恒定律可知:C下落h过程中,C重力势能的的减少量等于B的电势能的增量和弹簧弹性势能的增量、系统动能的增量之和当C的质量为M时:当C的质量为2M时:解得A刚离开P时B的速度为:【体验8】如下列图,一劲度系数k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着一个质量为m=12kg的物体。A、B竖直静止在水平地面上,现在对物体A加一竖直向上的力F,使A开始向上做匀加速运动,经0.4s,B刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度g取10m/s2求:1此过程中所加外力F的最大值和最小值2此过程中力F所做的功分析:物体在外力作用下做匀加速直线运动,通过受力分析,运用牛顿定律列方程,就能解
22、决第一问。力F是变力,变力做功只能根据功能关系或动能定理求解。确定了物体上升的高度与速度,列出功能关系方程,此题如此解。解析:1设A上升前,弹簧的压缩量为,B刚要离开地面时弹簧的伸长量为x2,A上升的加速度为。A原来静止时,因受力平衡,有:设施加向上的力,使A刚做匀加速运动时的最小拉力为F1B恰好离开地面时,所需的拉力最大,设为F2对A:对B:由位移公式,对A:联立解得:2 F1=45N F2=285N2解法一:力作用的0.4s,在末状态有x1=x2,弹性势能相等,由能量守恒知,外力做了功,将其他形式的能转化为系统的重力势能和动能,即:解法二:根据动能定理解得:点拨:此题的难点是外力F做功的求解。一是如何运用功能关系求解,二是势能的变化难以确定。最初对A,;最终对B,。全程弹力做功为零。弹性势能的变化为零。9 / 9