《实际问题与一元一次方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实际问题与一元一次方程.docx（15页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、实际问题与一元一次方程列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分知识。一.列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系.（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系.（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程.（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值.（5）检验，写答案：检验
2、所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案.二.分类知能点与题目知能点1：市场经济、打折销售问题（1）商品利润=商品售价一商品成本价（2）商品利润率=商品利润商品成本价 100%（3）商品销售额=商品销售价X商品销售量（4）商品的销售利润=（销售价一成本价）X销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售.例1.某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%,问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？分析通过列表分析已知条件，找到等量关系式进价折扣率标价优惠价
3、利润率60元8折X元80%X40%等量关系：商品利润率=商品利润/商品进价解：设标价是X元，80%60=,60100解之：X=105优惠价为80%x=X105=84（元），100例2一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？分析探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元进价折扣率标价优惠价利润X元8折(1+40%)X元80%(1+40%)X15元等量关系：（利润=折扣后价格一进价）折扣后价格一进价二15解：设进价为X元，80%X（1+40%）X=15,X=125答：进价是125元。1 .一种商品进价为50元，为赚取20%的
4、利润，该商品的标价为元.60（点拨：设标价为X元，则x-50=50x20%）2 .某商品的标价为220元，九折卖出后盈利10%,则该商品的进价为元.180（点拨：设商品的进价为X元，则220x90%-x=10%x）3 .某种商品若按标价的8折出售可获利20%,若按原标价出售，则可获利（）.A.25%B.40%C.50%D.1C（点拨：设标价为X元，进价为a元，则80%x-a=20%a,得x=，a23一cc按原标价出售可获利ZX100%=50%）a4 .两件商品都卖84元，其中一件亏本20%,另一件赢利40%,则两件商品卖后（）.A.赢利16.8元B.亏本3元C.赢利3元D.不赢不亏C（点拨：设
5、进价分别为a元，b元，则a-84=20%a,得a=10584-b=40%b,得b=60842-(a+b)=3,故赢利3元)5 .一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是X元，那么所列方程为().A.45%(1+80%)x-x=50B.80%(1+45%)x-x=50C.x-80%(1+45%)x=50D.80%(1-45%)x-x=506 .某商品的进货价为每件X元，零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折让利40元销售，仍可获利10%,则X为().A700元B、约733元C、
6、约736元D、约856元7 .某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%,则至多打几折.解：设至多打X折，根据题意有1200%-800XI(X)%直解得=0.7=70%800答：至多打7折出售.8 .一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价.解：设每台彩电的原售价为X元，根据题意，有10x(1+40%)80%-x=2700,x=2250答：每台彩电的原售价为2250元.9、某商品进价是IOoO元，标价
7、为1500元，商品要求以利润率不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？知能点2：方案选择问题10 .某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为IooO元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工.方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的
8、蔬菜，在市场上直接销售.方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成.你认为哪种方案获利最多？为什么？解：方案一：获利140x4500=630000(元)方案二：获利15x6x7500+(140-156)10=725000(元)方案三：设精加工X吨，则粗加工(140-x)吨.依题意得+弛H=I5解得x=60616获利60x7500+(140-60)4500=810000(元)因为第三种获利最多，所以应选择方案三.11 .某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.
9、4元(这里均指市内电话).若一个月内通话X分钟，两种通话方式的费用分别为y元和y2元.(1)写出y,y2与X之间的函数关系式(即等式).(2)一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？(3)若某人预计一个月内使用话费120元，则应选择哪一种通话方式较合算？解：(1)y=0.2x+50,y2=0.4x.(2)由y1=72得0.2x+50=0.4x,解得x=250.即当一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同.(3)由0.2x+50=120,解得x=350由0.4x+50=120,得x=300因为35O3OO故第一种通话方式比较合算.12 .某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40
10、元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费.(1)某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a.(2)若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？应交电费是多少元?解：(1)由题意，得0.4a+(84-a)0.4070%=30.72解得a=60(2)设九月份共用电X千瓦时，则0.4060+(x-60)0.4070%=0.36x解得x=90所以0.36x90=32.40(元)答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元.13 .某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，
11、B种每台2100元，C种每台2500元.(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案.(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？解：按购A,B两种，B,C两种，A,C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机X台，则B种电视机y台.(1)当选购A,B两种电视机时，B种电视机购(50-x)台，可得方程1500x+2100(50-x)=90000W5x+7(50-x)=3002x=50x=2550-x=
12、25当选购A,C两种电视机时，C种电视机购(50-x)台，可得方程1500x2500(50-x)=900003x+5(50-x)=1800x=3550-x=15当购B,C两种电视机时，C种电视机为(50-y)台.可得方程2100y+2500(50-y)=9000021y+25(50-y)=900,4y=350,不合题意由此可选择两种方案：一是购A,B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台.(2)若选择(1)中的方案，可获利15025+25015=8750(元)若选择(1)中的方案，可获利15035+25015=9000(元)90008750故为了获利最多，选择第二种方案.1
13、4 .小刚为书房买灯。现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦的节能灯，售价为49元/盏，另一种是40瓦的白炽灯，售价为18元/盏。假设两种灯的照明效果一样，使用寿命都可以达到2800小时。已知小刚家所在地的电价是每千瓦时0.5兀。（1）设照明时间是X小时，请用含X的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用。（费用=灯的售价+电费）（2）小刚想在这两种灯中选购一盏。当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？试用特殊值判断：照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低？照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低？（3）小刚想在这种灯中选购两盏。假定照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时。请你设
14、计一种费用最低的选灯照明方案，并说明理由。答案：0.005x+490.02x+182000知能点3储蓄、储蓄利息问题（1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税（2）利息=本金X利率X期数本息和=本金+利息利息税=利息X税率（20%）（3）利润=每个期曾的利息XKX）%,本金例3.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）分析等量关系：本息和=本金X（1+利率）解：设半年期的实际利率为X,依题意得方程250（1+
15、X）=252.7,解得X=0.0108所以年利率为0.0108x2=0.0216答：银行的年利率是21.6%例4.为了准备6年后小明上大学的学费20000元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：三(I)直接存入一个6年期；一年:2.70I(2)先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存一个三年期；2.88(3)先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？分析这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，再进行比较。解：(1)设存入一个6年的本金是X元,依题意得方程X(l+62.88%)=20000
16、,解得X=17053(2)设存入两个三年期开始的本金为Y元，Y(l+2.7%3)(l+2.7%3)=20000,X=17115(3)设存入一年期本金为Z元，Z(1+2.25%)6=20000,Z=17894所以存入一个6年期的本金最少。15 .利息税的计算方法是：利息税=利息x20%.某储户按一年定期存款一笔，年利率2.25%,一年后取出时，扣除了利息税90元，据此分析，这笔存款的到期利息是一元，本金是元，银行向储户支付的现金是元.450200002036016 .小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700元，问这种债券的年利率是多少(精确到0
17、.01%).解：设这种债券的年利率是X,根据题意有450045002x(1-20%)=4700,解得x=0.03答：这种债券的年利率为00317 .为了准备小明三年后上高中的学费，他的父母准备现在拿出3000元参加教育储蓄，已知教育储蓄一年期利率为1.98%,二年期利率为2.25%,三年期利率为2.52%,请你帮小明的父母计算一下如何储蓄三年后得到的利息最多.解：利用公式分三种情况(一年期、二年期、三年期)进行计算，再进行比较即可获得答案.一年期：设利息为X元，贝1乂二3000乂1.98%*1=59.4（元）二年期：设利息为X元，贝Jx=3000x2.25%x2=135（元）三年期：设利息为X
18、元，则x=3000x2.52%x3=226.8（元）59.4-72元D、1572元20用若干元人民币购买了一种年利率为10%的一年期债券，到期后他取出本金的一半用作购物，剩下的一半和所得的利息又全部买了这种一年期债券（利率不变），到期后得本息和1320元。问张叔叔当初购买这咱债券花了多少元？答案：22000元21.购买了25000元某公司1年期的债券，一年后扣除20%的利息税之后得到本息和为26000元，这种债券的年利率是多少？答案：百分之五知能点4：工程问题工作量=工作效率X工作时间工作效率=工作量;工作时间工作时间=工作量+工作效率完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1例5一件工作，甲独
19、作10天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？分析甲独作10天完成，说明的他的工作效率是乙的工作效率是1，108等量关系是：甲乙合作的效率X合作的时间=1解：设合作X天完成，依题意得方程（-+-）x=l解得X=1089答：两人合作二天完成9例6.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？分析设工程总量为单位1,等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。解：设乙还需X天完成全部工程，设工作总量为单位1,由题意得，(+)3+=1解之得X=至=6。15121255答：乙还需6。天才能完成全部工
20、程。例7.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？分析等量关系为：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。解：设打开丙管后X小时可注满水池，由题意得，(J+3(x+2)-4=1解这个方程得T=型=2色6891313答：打开丙管后22小时可注满水池。1322.一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？解：设甲、乙一起做还需X小时才能完成工
21、作.根据题意，得lx+(1+1)=l解这个方程，得X=2小626455时12分答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作.23某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个.在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件.已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元.若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件.解：设这一天有X名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4(16-x)个.根据题意，得16x5x+24x4(16-x)=1440解得x=6答：这一天有6名工人加工甲种零件.24.一项工程甲单独做需要10天
22、，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？设还需f-+3+f-+Ix=1S-3+-+-(3+x)=1解得x=3【1015；1215J1012153知能点5:若干应用问题等量关系的规律(1)和、差、倍、分问题此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。增长量=原有量X增长率现在量=原有量+增长量25.某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个
23、中的问每个仓库各有多少粮食？设第二个仓库存粮X吨，则第一个仓库存粮3%吨，根据题意得-(3x-20)=x+20解得=303x=330=907(2)等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变.圆柱体的体积公式V二底面积X高=Sh=；rr2h长方体的体积V=长X宽X高=abc26.一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高(精确到0.1毫米，34解：设圆柱形水桶的高为X毫米，依题意，得()2x=3OO3OO8Ox229.3答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米.
24、27.长方体甲的长、宽、高分别为26Omm,150mm,325mm,长方体乙的底面积为130xl3Omm2,又知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高？设乙的高为Xmm,根据题意得260150325=2.5130130x解得x=300知能点6：行程问题基本量之间的关系：路程=速度X时间时间=路程：速度速度=路程时间（1）相遇问题（2）追及问题快行距+慢行距=原距快行距一慢行距=原距（3）航行问题顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度逆水（风）速度=静水（风）速度一水流（风）速度抓住两码头间距离不变,水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系.例6.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从
25、甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。（1）分析：相遇问题，画图表示为：kAK人甲乙等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=4
26、80公里。解：设快车开出X小时后两车相遇，由题意得，140x+90（x+l）=480解这个方程，230x=390116x=l,23答：快车开出1屿小时两车相遇6L231II1分析：相背而行，画图表示为：甲乙等量关系是：两车所走的路程和+480公里二600公里。解：设X小时后两车相距600公里，19由题意得，（140+90）x+480=600解这个方程，230x=120.,.X=23IO答：丝小时后两车相距600公里。23（3）分析：等量关系为：快车所走路程一慢车所走路程+480公里=600公里。解：设X小时后两车相距600公里，由题意得，（14090江+480=60050x=120.x=2.4
27、答：2.4小时后两车相距600公里。分析：追及问题，画图表示为：八I等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480甲乙公里。解：设X小时后快车追上慢车。由题意得，140x=90x+480解这个方程，50x=480/.x=9.6答：9.6小时后快车追上慢车。分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。解：设快车开出X小时后追上慢车。由题意得，140x=90（x1）+48050x=570/.x=l1.4答：快车开出11.4小时后追上慢车。例7.甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上
28、乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？分析追击问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。狗跑的总路程=它的速度X时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间解：设甲用X小时追上乙，根据题意列方程5X=3X+5解得X=25狗的总路程：152.5=37.5答：狗的总路程是37.5千米。例8.某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。分析这属
29、于行船问题，这类问题中要弄清：(1)顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；(2)逆水速度=船在静水中的速度一水流速度。相等关系为：顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。解：设A、B两码头之间的航程为X千米，则B、C间的航程为(X-IO)千米，由题意得，+=7解这个方程得r=32.5288-2答：A、B两地之间的路程为32.5千米。28. 有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长.解：设第一铁桥的长为X米，那么第二铁桥的长为(2x-50)米，过完第一铁桥所需的时间为上分.过完第二铁桥所
30、需的时间为生理分.依题意，可列出600600方程-=2x50解方程x+50=2x-50得X=IOo600606002x-50=2100-50=150答：第一铁桥长100米，第二铁桥长150米.29. 已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从8地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲乙的速度？设甲的速度为千米/小时，依题意得，2x+l(Xx+x+l)=120x=5x+l=630. 一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以18米/分的速度从队头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为14米/分。问：若已知队长320米，则通讯员几
31、分钟返回？若已知通讯员用了25分钟，则队长为多少米？(1) (2)=2518+1418-14800X=931. 一架飞机在两个城市之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的飞行路程？设两个城市之间的飞行路程为-24=-+24-=48%=2448c503173Z6032. 一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度为2千米/时，求甲、乙两码头之间的距离。知能点7：数字问题(1)要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为C(其中a、b、C均为整数，且la9,0b9,0c9)则这个
32、三位数表示为：100a+10b+c0然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.(2)数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n-2表示；奇数用2n+l或2n-l表示。例1.一个三位数，三个数位上的数字之和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数分析由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为X,则百位上的数为X+7,个位上的数是3X,等量关系为三个数位上的数字和为17o解：设这个三位数十位上的数为X,则百位上的数为X+7,个位上的数是3XX+X+7+3X=17解得X=2
33、X+7=9,3X=6答：这个三位数是926例2.一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36,求原来的两位数等量关系：原两位数+36=对调后新两位数解：设十位上的数字X,则个位上的数是2X,102XX=(10X+2X)+36解得X=4,2X=8,答：原来的两位数是48。33. 一个两位数，十位数与个位上的数字之和为11,如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的数比原来的数大63,求原来的两位数？设个位数字为10(11-x)+x+63=10x+(ll-x)x=9则原两位数为2x10+9=29.注意：虽然我们分了几种类型对应用题进行了研究，但实际生活中的问题是千变万化的，远不止这几类问题。因此我们要想学好列方程解应用题，就要学会观察事物，关心日常生产生活中的各种问题，如市场经济问题等等，要会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，认真审题，适当设元，寻找等量关系，从而列出方程，解出方程，使问题得解。
