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1、抛物线的常见性质与证明概念焦半径:抛物线上一点与其焦点的连线段;焦点弦:两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质与证明过抛物线y22pxp0焦点F的弦两端点为,倾斜角为,中点为C(x0,y0),分别过A、B、C作抛物线准线的垂线,垂足为A、B、C.1.求证:焦半径;焦半径;;弦长| AB |x1x2p=;特别地,当x1=x2(=90)时,弦长|AB|最短,称为通径,长为2p;AOB的面积SOAB.CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOqA1B1F图2证明:根据抛物线的定义,| AF | AD |x1,| BF | BC |x2, | AB | AF | BF |x1x2p如
2、图2,过A、B引x轴的垂线AA1、BB1,垂足为A1、B1,那么| RF | AD | FA1 | AF | AF |cosq,| AF |同理,| BF | AB | AF | BF | .SOABSOAFSOBF| OF | y1 | OF | y1 |(| y1 | y1 |)y1y2p2,如此y1、y2异号,因此,| y1 | y1 | y1y2 |SOAB| y1y2 | .2.求证:;.当ABx轴时,有成立;当AB与x轴不垂直时,设焦点弦AB的方程为:.代入抛物线方程:.化简得:方程1之二根为x1,x2,.3.求证:Rt.CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOFENM图3先证
3、明:AMBRt【证法一】延长AM交BC的延长线于E,如图3,如此ADMECM,| AM | EM |,| EC | AD | BE | BC | CE | BC | AD | | BF | AF | AB |ABE为等腰三角形,又M是AE的中点,BMAE,即AMBRt【证法二】取AB的中点N,连结MN,如此| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |,| MN | AN | BN |ABM为直角三角形,AB为斜边,故AMBRt.【证法三】由得C(,y2)、D(,y1),由此得M(,).kAM,同理kBMCDBRAxyOF图41234MkAMkBM1BMAE,即A
4、MBRt.【证法四】由得C(,y2)、D(,y1),由此得M(,).(x1,),(x3,)(x1)(x2)x1x2(x1x2)()0,故AMBRt.【证法五】由下面证得DFC90,连结FM,如此FMDM.又ADAF,故ADMAFM,如图412,同理34图5CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOF( ,0)aaabbb2318090AMBRt.接着证明:DFCRt【证法一】如图5,由于| AD | AF |,ADRF,故可设AFDADFDFRa,同理,设BFCBCFCFRb,CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOFM图6GHD1而AFDDFRBFCCFR1802(ab)180,即ab
5、90,故DFC90【证法二】取CD的中点M,即M(,)由前知kAM,kCFkAMkCF,AMCF,同理,BMDFDFCAMB90.【证法三】(p,y1),(p,y2),N1NMxyOF图7M1lp2y1y20,故DFC90.【证法四】由于| RF |2p2y1y2| DR | RC |,即,且DRFFRC90DRFFRCDFRRCF,而RCFRFC90DFRRFC90DFC904. CA、CB是抛物线的切线CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOFM图8D1【证法一】kAM,AM的直线方程为yy1(x)与抛物线方程y22px联立消去x得yy1(),整理得y22y1y0可见(2y1)240,
6、故直线AM与抛物线y22px相切,同理BM也是抛物线的切线,如图8.【证法二】由抛物线方程y22px,两边对x求导,得2y2p,故抛物线y22px在点A(x1,y1)处的切线的斜率为k切| yy1.又kAM,k切kAM,即AM是抛物线在点A处的切线,同理BM也是抛物线的切线.【证法三】过点A(x1,y1)的切线方程为y1yp(xx1),把M(,)代入左边y1px1,右边p(x1)px1,左边右边,可见,过点A的切线经过点M,CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOFENM图9即AM是抛物线的切线,同理BM也是抛物线的切线.5. CA、CB分别是AAB和BBA的平分线.【证法一】延长AM交B
7、C的延长线于E,如图9,如此ADMECM,有ADBC,ABBE,DAMAEBBAM,即AM平分DAB,同理BM平分CBA.【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜角a是直线AM的倾斜角b的2倍即可,即a2b. 且M(,)tanakAB.tanbkAM.tan 2btanaa2b,即AM平分DAB,同理BM平分CBA.6. AC、AF、y轴三线共点,BC、BF、y轴三线共点【证法一】如图10,设AM与DF相交于点G1,由以上证明知| AD | AF |,AM平分DAF,故AG1也是DF边上的中线,G1是DF的中点.CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOFM图10GHD1设AD与y轴交于点
8、D1,DF与y轴相交于点G2,易知,| DD1 | OF |,DD1OF,故DD1G2FOG2| DG2 | FG2 |,如此G2也是DF的中点.G1与G2重合设为点G,如此AM、DF、y轴三线共点,同理BM、CF、y轴也三线共点.【证法二】AM的直线方程为yy1(x),令x0得AM与y轴交于点G1(0,),又DF的直线方程为y(x),令x0得DF与y轴交于点G2(0,)AM、DF与y轴的相交同一点G(0,),如此AM、DF、y轴三线共点,同理BM、CF、y轴也三线共点H由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOF图117. A、O、B三点共线,B、O
9、、A三点共线.【证法一】如图11,kOA,kOCkOAkOC,如此A、O、C三点共线,同理D、O、B三点也共线.【证法二】设AC与x轴交于点O,ADRFBC,又| AD | AF |,| BC | BF |,| RO | OF |,如此O与O重合,即C、O、A三点共线,同理D、O、B三点也共线.【证法三】设AC与x轴交于点O,RFBC,| OF |【见证】O与O重合,如此即C、O、A三点共线,同理D、O、B三点也共线.【证法四】(,y2),(x1,y1),y1x1 y2y1y20,且都以O为端点A、O、C三点共线,同理B、O、D三点共线.【推广】过定点P(m,0)的直线与抛物线y22pxp0相
10、交于点A、B,过A、B两点分别作直线l:xm的垂线,垂足分别为M、N,如此A、O、N三点共线,B、O、M三点也共线,如如下图:8. 假如| AF |:| BF |m:n,点A在第一象限,q为直线AB的倾斜角. 如此cos q;【证明】如图14,过A、B分别作准线l的垂线,垂足分别为D,C,过B作BEAD于E,设| AF |mt,| AF |nt,如此CDBRAxyOqEF图14l| AD | AF |,| BC | BF |,| AE | AD | BC |(mn)t在RtABE中,cosBAEcos qcosBAE.【例6】设经过抛物线y22px的焦点F的直线与抛物线相交于两点A、B,且|
11、AF |:| BF |3:1,如此直线AB的倾斜角的大小为.【答案】60或120.9. 以AF为直径的圆与y轴相切,以BF为直径的圆与y轴相切;以AB为直径的圆与准线相切;AB为直径的圆与焦点弦AB相切.【说明】如图15,设E是AF的中点,如此E的坐标为(,),如此点E到y轴的距离为d| AF |故以AF为直径的圆与y轴相切,同理以BF为直径的圆与y轴相切.【说明】如图15,设M是AB的中点,作MN准线l于N,如此| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |图16如此圆心M到l的距离| MN | AB |,故以AB为直径的圆与准线相切. 10. MN交抛物线于点Q,如此Q是MN的中点.【证明】设A(,y1),B(,y1),如此C(,y2),D(,y1),M(,),N(,),设MN的中点为Q,如此Q (,)点Q 在抛物线y22px上,即Q是MN的中点.10 / 10