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1、9.2直线与平面平行知识梳理1 .直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2 .直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3 .直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与平面相交，那么这条直线与交线平行.点击双基。、和直线m、nf那么mIl的一个充分条件是A.a_1.6且n1B.aC3=n且mIlnC.mIln且nIlaD.aIl尸且mw答案：Dm、A是两条不同的直线，。、隰三个不同的平面.给出以下四个命题，其中正确命题的序号是假设m_1.。，nilaf那么假设/6，Ily
2、m_1.a,那么ml您假设m/。，nil0,那么mn假设a_1.y,lyf那么A.B.C.D.解析：显然正确.中m与刀可能相交或异面.考虑长方体的顶点，Q与阿以相交.答案：A3 .一条直线假设同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是解析：设S=/,alla,allt过直线a作与。、都相交的平面力记QnY=byCY=Ci那么a/b且aIlc,bIlc.又bua,aC=l,:.bIl1.:.aIl1.答案：C4 .(06重庆卷)对于任意的直线/与平同区在平面a内必有直线m,使m与1A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线解析：对于任意的直线/与平面,假设/在平面内，那么存
3、在直线m_1./；假设/不在平面Q内，且/_1.a,那么平面Q内任意一条直线都垂直于/,假设/不在平面Q内，且/于Q不垂直，那么它的射影在平面内为一条直线，在平面。内必有直线m垂直于它的射影，那么加与/垂直，综上所述，选C.,广和直线，给出条件：()ma;帆_1.a；机Ua；a;all.(i当满足条件幽时，有加夕；Cii当满足条件时，有m0填所选条件的序号典例剖析【例1】如以下图，两个全等的正方形ZB8和48E户所在平面相交于4B,MeACtNWFB且AM=FN,求证：MNll平面BCE.证法一：过作M尸18GNQBE,R。为垂足如上图，连结PQ.-MPIIABfNQIIABf.MPIlNQ.
4、又NQ=gBN=qCM=MP,二/尸QV是平行四边形.：.MNIlPQ9尸0u平面3必而TkWa平面3CE,：.MNIlBCE.证法二：过M作MGllBg交48于点G如以下图，连结TVG-,-MGI/BCtBCU平面BCE,MGU平面BCE,/.MGH平面BCE又世=生=犯，.GNHAFUBE,同样可证明GTV/平面3CEGAMANF又面MGfNG=G9/.平面MNGIl平面BCE.又MNU平面MNG.MNIl平面BCE.特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平（亍的匆嵬定理,通过“线线”!平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面
5、”平行.一i例2】正四瓯汇赤C万的欣赢而加福长均为13,M、N分别是R4、BA上的点，且PM:MA=BN:ND=5：8.1求证：直线MNH平面PBa2求直线MV与平面408所成的角.1证明：产一月是正四棱锥，.M5CD4并延长交BC于点区连结PE.ADIlBCt/.EN:AN=BN:ND.又；BN:ND=PM.MAf.EN:AN=PM:MA.:.MNIIPE.又也在平面两C内，.MTV/平面用C2解：由1知NA%.肠V与平面408所成的角就是核与平面所成的角.设点尸在底面438上的射影为O9连结。区那么/包Q为核与平面458所成的角.由正棱锥的性质知PO=yPB2-OB2=玲.2由1知，BE:
6、AD=BN:ND=5:8,：.BE=.8在APEB中,/.PBE=6Qo,PB=3,BE=f891根据余弦定理，得的丁.81QQI在RtZR9E中，PO=PE=-,28：.SinZPEO=a=PE74J2故MV与平面ABCD所成的角为arcsin十.【例3】如图，在直三棱柱为3C-4BG中，力C=3,BC=41AA1=4,点。是月3的中点，I求证：AClBC1;CII求证：力C/平面III求异面直线4G与8。所成角的余弦值.解析:I直三棱柱ABC-AlB】C】，底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,.AClBC,且BC】在平面ABC内的射影为BC,.AClBC1;II设CBl与CIB的交点为
7、E,连结DE,VD是AB的中点，E是BC1的中点，.DEAC1,.DEU平面CDBi,ACla平面CDBi,AC/平面CDB】；叫HDEACi,ECED为ACI与BIC所成的角,在ACED中,ED=-AC1=-,CD=-AB=-,CE=-CB1=22,22222.cosNCED=-二,222-52异面直线力G与31C所成角的余弦值彳一.闯关训练夯实根底1.107福建理m、n为两条不同的直线，11,3为两个不同的平面，那么以下命题中正确的选项是A.w,n,nzIl,n/=a/B.a/,nza,a,=mllnC.m_1.a,m_1.a=/?4aD.nIlm,111.a=na解析：A中m、n少相交条
8、件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在a内，不正确，选D2 .06福建卷对于平面a和共面的直线n,以下命题中真命题是A.假设m_1.a,mlnt那么naB.假设ma,nIlaf那么mnC.假设mua,nila,那么mnD.假设m、A与。所成的角相等，那么Am解：对于平面。和共面的直线加、,真命题是“假设mua/a,那么“n”，选C.3 .06湖南卷过平行六面体ABCD-AlBQQi任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有（）A.解：如图，过平行六面体ABC。-ABlClA任意两条棱的中点作直线，其中与平面。BBlR平行的直线共有12条，
9、选D.4 .（06重庆卷）假设P是平面a外一点，那么以下命题正确的选项是A.过P只能作一条直线与平面a相交B.过P可作无数条直线与平面a垂直C.过P只能作一条直线与平面a平行D.过P可作无数条直线与平面a平行解析：过平面外一点有且只有一个平面与平面平行，且这个平面内的任一条直线都与平面平行。应选D5 .如图，在三棱柱ABCABC,点E、F、H、K分别为AC、CB、AzB、BC,的中点，G为AABC的重心.从K、H、G、B中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，那么P为CA.KB.HC.GD.B6 .a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，那么a、b在上的射影有可能是两条平行直线；两
10、条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是,写出所有正确结论的编号解析：4。与5G在平面468上的射影互相平行；AB与BG在平面ABCD上的射影互相垂直；DD与BG在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点.答案：7 .Rt力3C的直角顶点。在平面。内，斜边ABHdAB=2瓜，AC.3。分别和平面Q成45和30角，那么到平面的距离为.解析：分别过&、B向平面。引垂线44、BB,垂足分别为月、B1.设44=BBf=xf那么4S=2=2上,sin45*BCfi=一-2=42.又ac+8Ci2=im,.62=262,=2.答案：2sin308、07江西右图是一个
11、直三棱柱以ABC为底面被一平面所截得到的几何体,截面为ABC.A1B1=B1C1=I,ZAiBiC1=90o,AA1=4,I设点。是AB的中点，证明：OC/平面AiBQi;II求二面角B-AC-A1的大小；I11求此几何体的体积；解法一：1证明：作0。AA交A1用于O,连CQ.那么。3玛CC-因为。是AB的中点，所以OO=g(A41+8BJ=3=CG那么OoGC是平行四边形，因此有ocG。.CoU平面GMA且OCa平面G4A,那么OC面AB.2如图，过B作截面84G面A8C，分别交A4,BBi=2,CC=30CG于4,C2.作8”J.&G于”，连CH.因为CGj_面即。2,所以CG1B”,那么
12、平面Ac.又因为43=乔，BC=2,AC=3=AB2=BC2+AC2.所以BC_1.AC,根据三垂线定理知C”_1.AC,所以NBcH就是所求二面角的平面角.因为BH=也,所以SinNBCH=跑=!，故,NBCH=3。，2BC2即：所求二面角的大小为3().3因为BH=与,所以SMGC8=U(1+2)&W=.2233222l2ci-2bc2=S4AiBICJBBl=2=1.3所求几何体体积为V=%一伙JC+匕的_a强=2解法二：1如图，以Bl为原点建立空间直角坐标系，那么4(0,1,4),8(0,0,2),C(l,0,3),因为。是AB的中点，所以OO,g,3),OC=1g,).易知，”=(0
13、,0,1)是平面A4G的一个法向量.因为oc=o,OC(Z平面ABIG,所以OC平面AqG.2AB=(0,-l,-2),c=(1,0,1),设m=(x,y,Z)是平面48C的一个法向量，那么y2z0那么A3=0,BCm=0得：/Jx+z=O取x=-z=l,？=(12-1).显然，/=(1,1,0)为平面AACC的一个法向量.那么CoS结合图形可知所求二面角为锐角.ml1+2+03pzyj2yf2所以二面角3-4C-AI的大小是30.3同解法一.培养能力9.如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中,ZABC=6Oo,PA=AC=d,PB=PD=行点E在PD上，且PE:ED=2:1.I证明PAJ_平
14、面ABCD;II求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角。的大小；m在棱PC上是否存在一点F,使BF平面AEC?证明你的结论.I证明因为底面ABCD是菱形，ZABC=60o,所以AB=AD=AC=a,在APAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PAlAB.同理，PAlAD,所以PAJ_平面ABCD.U解作EGPA交AD于G,由PAl平面ABCD.知EG_1.平面ABCD.作GH_1.AC于H,连结EH,那么EHlAC,NEHG即为二面角。的平面角.又PE:ED=2:1,所以EG=-a.AG=-a.GH=Gsin60=a.333从而tan=,/?=30.GH3C11I解法一以A为坐标原点，直
15、线AD、AP分别为y轴、Z轴，过A点垂直平面PAD的直线为X轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为21*31所以AE=(0,-,-a),AC=3322设点F是棱PC上的点，PF=APC=(当m。4,一。4),其中()21,那么=(a(-a(+2),a(1-2).令BF=Z1AC+2AE得113113解得4=-,A1=,A)=.即时，BF=AC-IAE.222222亦即，F是PC的中点时，BF.AC.族共面.又BFa平面AEC,所以当F是棱PC的中点时,BF平面AEC.解法二当F是棱PC的中点时，BF平面AEC,证明如下，证法一取PE的中点M,连结FM,那么FM/CE.由E
16、M=1.PE=ED,知E是MD的中点.2连结BM、BD,jBDnAC=O,那么O为BD的中点.所以BM/OE.B由、知，平面BFM平面AEC.又BFU平面BFM,所以BF平面AEC.证法二因为BF=BC+-CP=AD+-(CD+DP)22所以BF、AEsAC共面.又BFa平面ABC,从而BF平面AEC.探究创新10.如以下图，在正四棱柱力石84BCQl中，AA1=AB9点E、”分别为力出、GC的中点，过点4、B、”三点的平面4BW交GA于点N1求证：后”/平面4B1G2；2求二面角B-AN-B的正切值；3设截面4BAW把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为、V21=AR_2AN5在RtBlH
17、中，BIH=AIBnNHAB=2a_2_=_4_在RtZXBB/中，tanNBHBi=BBlBH_y5443解：延长4N与B】G交于尸，那么尸W平面且尸平面班CC又.平面AlBMJVn平面BBGC=BM,PSBM,即直线4MBC、BM交于一点P.又.平面MVG/平面BABy几何体MNClBABl为棱台.SMBBI=3*2aa=P,ShMNG=3*a*5=点,梭台MNCl-BAlBI的高为BICI=2a,%=g2a+卜.%+；=Z4,.cC73170.V17.%=2a2aas3s3.=.66V217思悟小结1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为
18、直线在平面外.2.辅助线面是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线面教学点睛1.必须使学生理解并掌握直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理及性质定理；结合本课时题目，使学生掌握解证线面平行的根本方法.2.证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行.拓展题例【例1】在直三棱柱43C-4BG中，AB=CG=a,BC=b.1设E、产分别为力8、BG的中点，求证：EFIIABC;2求证：A1C1IAB;3求点F1到平面ABC的距离.1证明：YE、尸分别为力3、BG的中点,.EFIIA1C1.A1C1IlAC9EFII
19、AC.：.EFII平面ABC.2证明：.B=CG,房BE.又三棱柱为直三棱柱，四边形ABBAAB,那么AB1.AB.又.FBJBG,平面ABC.,.AB1.AC.又4G1A4】，4G1平面AABB./.AC11AB.3解：,；AIBliIAB,.43/平面40G.4到平面ABC的距离等于Bl到平面ABC的距离.过4作4G14G于点G,4B1平面4CC4,.46,46.从而461平面力3。1,故4G即为所求的距离，即AG=N2.b评述：此题3也可用等体积变换法求解.2、07全国11如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SDI底面ABCD,E、F分别是AB、SC的中点。(I)求证
20、：EF/平面SAD;(11)设SD=2CD,求二面角A-EF-D的大小；解法一：1作FG。交So于点G,那么G为SO的中点.连结AG,FGWCD,又CDJ1.AB、WFGqE,AEFG为平行四边形.4EF/AG,又AGU平面S4D,Ma平面S4D.版所以斯平面S4D.1W2不妨设Z)C=2,/；DX那么SD=4,OG=2,4ADG为等腰直角三角形.lz取AG中点H,连结DH,那么DHAG,/:岑G.又ABJ_平面SAD,所以ABJ而ABAG=Af除、/BM所以。_1_面4所.yy取EF中点M,连结MH,那么HM工EF./*连结DM,那么DM工EF.Z第故NDMH为二面角A-E尸一。的平面角ta
21、nNZW=器邛=&所以二面角A-EF。的大小为arctan.解法二：1如图，建立空间直角坐标系力-孙z.设A(O,O),5(0,0,b),那么8(),C(0,0,0),EjF=(一&5).取SD的中点G(OQ,gj,那么AG=(,O,g).EF=AG,EF/AGtAGU平面SADMa平面SAD,所以所平面SAZ).2不妨设A(IQQ),那么5(U,0),C(O,1,O),S(0,0,2),E1,g,O),尸(,g,l).f11,111、EF中点M一,一,一，Mo二一，一一,fEF=(-lf0)fMD.EF=0fMD1.EF222J222j又EA=(O,g,)EAEF=0,EA1.EFt所以向量M。和EA的夹角等于二面角A-E/一。的平面角.JfTr*A*Acos=1；r=.所以二面角AEF1-。的大小为arccosmdE33
