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1、矢量分析与场论习题11 .写出以下曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。解：(1)r=cos+6sin),其图形是XOy平面上之椭圆。r=3sinti+4sin(+3cos设，其图形是平面4x-3y=0与圆柱面+?=32之交线，为一椭圆。4 .求曲线x=f,y=,z=gf3的一个切向单位矢量不。223解：曲线的矢量方程为r=Ei+7+-k那么其切向矢量为=i+2(+2t2k模为I警I=1+4Z2+4Z4=1+2/2dr于是切向单位矢量为苏dr2/+2t2kdt-12Z26 .求曲线X=sin2r,j=asin2(,z=cosf,在f=色处的一个切向矢量。4解：曲线矢量方程为r=asn2ti+a
2、sin2tj+acostk切向矢量为了=。sin2ti+2acos2tj-asintkdt.11fldr在，=一处，=4dZ=CllClK247 .求曲线X=J+l,y=4-3,z=26/在对应于，=2的点M处的切线方程和法平面方程。在的点小切向矢量解：由题意得(5,5,-4),曲线矢量方程为r=(/+l)i+(4/-3)j+(2/-6t)k,=2ri+4+(4f-6同一=*+4j+2A32于是切线方程为T=T=,即0=T=44222于是法平面方程为2(x-5)+2(j-5)+(z+4)=0,即8 .求曲线r=Ei+A上的这样的点，使该点的切线平行于平面+2y+z=4解:曲线切向矢量为T=多=
3、i+2(+3A,(1)平面的法矢量为=i+2+A,由题知得E=-1.-1.。将此依次代入式，得3.三三.-/J三k故所求点为(-1,1-1),(一;,3,一，)习题21 .说出以下数量场所在的空间区域，并求出其等值面。解：(1)场所在的空间区域是除AX+的+0+。=0外的空间。等值面为Jt;二=G或A+by+Cz+D-3=(KGWo为任意常数)，这是与Ax+By+Cz+DG平面AX+5y+Q+O=0平行的空间。(2)场所在的空间区域是除原点以外的z2x2+J2的点所组成的空间局部。等值面为面=(X2+y2)shl2c,(2+y20),当SillC0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外)；
4、当SinC=O时，是除原点外的XOy平面。222 .求数量场=箕匕经过点(1,1,2)的等值面方程。解：经过点(1,1,2)等值面方程为即Z=X2+/，是除去原点的旋转抛物面。3 .数量场=孙，求场中与直线m+2j-4=0相切的等值线方程。解：设切点为(X(Py)，等值面方程为4=C=Xoy0，因相切，那么斜率为k=-=-即XO=2汽/2点（Xo,盟）在所给直线上，有解之得典=1,=2故孙=24 .求矢量A=Xy2j+20+zy2A的矢量线方程。解矢量线满足的微分方程为Axdr=O,或dx=dy=dzxy2x2yzy2上,dxdz有xdx=ydy9=xz解之得E-V=G，(GC为任意常数Z=。
5、2工5 .求矢量场A=x2Z+y27+(x+y)zk通过点M(2,1,1)的矢量线方程。解矢量线满足的微分方程为=Xy(+y)z由”=%得1.=2G,XyXy按等比定理有华W=产1，即包Z=包.解得xy=Czz.-j(+y)z-jzj_j_+c故矢量线方程为Jt=74”又m(2,1,1)求得G=-1.a=IC2X-y=C2zj_j_故所求矢量线方程为7=7-2.x-y=z习题31 .求数量场Il=x2z3+2z在点(2,0,-l)处沿I=2Xi-xj2j+3z”的方向导数。解：因4w=(2xi盯2+3z%)=4i+3A43其方向余弦为COSa=,cos=0,COSy=一,55在点f(2,0,-
6、l)处有S=2靖=-4,=4jz=0,=3x2z2+Iy2=12,oxyz所以包=3(-4)+00+12=4l552 .求数量场U=3x2z-xy+z2在点M(1,-1,1)处沿曲线X=Ay=Tz=f朝f增大一方的方向导数。解：所求方向导数，等于函数般在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点M所对应的参数为E=1,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为dx出M31412其方向余弦为COSa=-f=,CoSA=-?=,cosy=1414u又不=-=-1=(3-+2MM=5。%,W于是所求方向导数为=(cos+cos+cosv)=7-j=+(-1)X-i=+5-i=-=xyz“141
7、414143 .求数量场=Jr，/在点(2,一。处沿哪个方向的方向导数最大?解：因友=(grad)Z=gradMCOS6,当e=o时，方向导数最大。即函数沿梯度gradUlAf=Ti-4j+12k方向的方向导数最大最大值为IgradIIlMI=176=411。4 .画出平面场口=；(炉一/)中的等值线，并画出场在M(2,I)与点时2(3,0)处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：(1)梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；(2)在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向增大的方向。x2-j2=O,x2-j2=1,解：所述等值线的方程为：/-y2=2,-y2=3,其中第一个又可以写为2-J
8、2=4,X-j=0,x+j=0为二直线，其余的都是以QX轴为实轴的等轴双曲线(如以下图，图中G=graduM,G2=graduw,)由于gradU=Xi-力，故由图可见，其图形都符合所论之事实C5 .用以下二法求数量场=盯T(1)直接应用方向导数公式;(2)作为梯度在该方向上的投影。解：(1)点P的矢径r=i+2j+3A,其模H=11其方向余弦为CoSa=-T=,cosS=-F=,cos/=-F=又141414tzuu_u、=(cos+cosp+CoSy)=&办&P5-+4-=+3-=三-o1414141444ruIO1.l/2.322故=gradU,r5-j=+4-7=+3-j=-j=olr
9、lp141414146,求数量场=/+2y2+3#+盯+3x-2y-6z在点O(0,0,0)与点A(UJ)处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为0?解：gradu=(2x+j+3)i+(4j+x-2)j+(6z6),其模依次为：32+(-2)2+(-6)2=7,62+32+02=35于是gradill。的方向余弦为COSa=67gradu4的方向余弦为COSa=2A1TrCOSP=TrcoSy=0.2x+y+3=0,求使gnzdu=O之点，即求坐标满足4y+x-2=0,之点，由此解得X=-2,y=1.z=I故所6z6=O7.通过梯度求曲面x2j+2xz=4上一点(l,-2,3)处的法线方
10、程。解：所给曲面可视为数量场”=y+2xz的一张等值面，因此，场在点M处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即故所求的法线方程为=2-l-=212习题41 .设S为上半球面x2+j2+z2=a2(z0),求矢量场r=xi+yj+zk向上穿过S的通量。【提示:注意S的法矢量n与r同指向】I=JjrS=JJrtldS=JjMdS=affdS=aZTmI-lm3.SSSS2 .设S为曲面+y2+/=-(0z力),求流速场v=(x+j+z)在单位时间内下侧穿S的流量Q.解：Q=jj(x+y+z)dxdy-jj(x+y+x2+y2)dxdy,其中D为S在XOy面上的投影区域：SD2h.用极坐标计算，有O=-
11、JJ(帝+rSinG+/)rdrdD(r2CosB+r2sing+rJ)dr=-(cosG+sin6)-+?招=-；就2.3.设S是锥面Z=yx2+y2在平面Z=4的下方局部，求矢量场A=4x8+7方+3水向下穿出S的通量0解：略4.求下面矢量场A的散度。(1) A=(x3+yz)i+(y2+xz)j+(zi+xy)k;(2) A=(2z-3j)+(3x-z)+(j-2x)k;(3) A=(1+ysinx)i+(xcosy+y)j.解：(1)divA=3x2+2j+3z2(2) divA=O(3) divA=jcosx-xsinj+15.求divA在给定点处的值：(1)A=*3+/+2-”在点
12、乂(1,0,-1)处；(2) A=4x2肛/+/A在点M(l,l,3)处；(3) A=Xwr(r=xi+0+水)在点M(l,3,2)处；解：(1)divAw=(3x2+3j2+3z2)z=6divAw=(4-2x+2z)vy=8(4) divA=xyzdivr+grad(xyz)r=3xyz+(jz+xj+xyk)(xiyj-dc)=6xyz，故divAIM=6盯WM=36。6 .=xy2z39=x2i+xzj2yzr,求div(uA).解：divA=2x2j故div(uA)=udivA+graduA7 .求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量：(1) A=X3i+V/+dA,S为球面/+F+j
13、=。2；,mX2V2T2(2) A=(x-y+z)i+(y-z+)j+(z-+y)k,S为椭球面+-+=abc解：=A-JS=divAdV=3(x2+J2+z2)dVS其中。为S所围之球域x2+y2+z2/今用极坐标X=rsin6cos,y=rsin。Sill仍Z=rcos8计算,有=3jr2r2sindrdd=3(即，sinft/jr4dr=-u(2)=(AdS=FfdivAdV=3-mbc=4mbc习题五1 .求一质点在力场尸=-yi方+xA的作用下沿闭曲线:x=cosf,y=sint,z=(l-co)从f=0到1=2乃运动一周时所做的功。解：功W=J户d=J-ydx-Wy+xdzII2
14、.求矢量场A=一+与+CR(C为常数)沿以下曲线的环量:(1)圆周X?+j=Ra,?=0；(2)圆周(x-2)2+/=r2,z=o解：11)令X=ACoS夕，那么圆周X?+y2=r2,z=0的方程成为X=RCoSay=RSiIIaZ=0，于是环量(2)令x-2=KCoS6,那么圆周(*-2)2+/=/?2=0的方程成为X=KCOS6+2,y=Asin&z=0,于是环量3 .用以下两种方法求矢量场A=X(Z-y)i+y(x-z)+z(y-X)A在点M1,2,3)处沿方向n=i+2j+2k的环量面密度。(1)直接应用环量面密度的计算公式；(2)作为旋度在该方向上的投影。nn122122解：(1)=
15、w=i+/+A,故的方向余弦为COSa=,cos2=一,cosy=.h333333又P=x(z-y),Q=y(x-z),A=z(y-x)根据公式，环量面密度/WAm=(z+j)+(x+z)+(x+j)Arw=5i+4j+3A,于是4 .用雅可比矩阵求以下矢量场的散度和旋度。(1) A=(3x2y+z)i+(y3-XZ2)j+2xyzk;(2) A=yz2i+ZX2j+xy2k;(3) A=P(x)i+Q(y)j+R(z)k.6xy3x21解:ZM=-Z23y2一2xz,故有mA=6xy+3+2Xy=(8x+3y)y,IyzIxzIxyOZ22yz(2) DA=2xzOx2，故有divA=O+O
16、+O=O,y22xyOP(X)OO(3) DA=O(J)O,故有divA=P(x)+Q(J)+R(z).OOR(Z)wfA=o05.=e*,A=石2，+尤2/+3a,求zfuA.解：rotuA=wrotA+gradIIXA,O O2zDA=2xoo.,有A=2yi+2q+2xk,urotA=e*(2yi+24+2x),O 2yO习题六1.证明以下矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。(1) A=ycoSXJi+Xcos肛/+sin水;(2) A=(2xcosJ-j2sinx)+(2jcosX-x2sinj)y.解：(1)记P=ycos孙,。=XCOSXJ,A=sinz那么rotA=
17、&aazR.Jeay。ialaxp=O/+0+(cosxy-XySillxy)一(cosxy-盯Sinxy)k=O所以A为有势场。下面用两种方法求势函数y：I0公式法：V=-JvP(x,0,0)dx-jv(x,yfi)dy一二R(MMZ)dz+G2。不定积分法：因势函数U满足A=-gu,即有将第一个方程对X积分，得y=-sinxy+Q(y,z),对y求导，得匕,=-xCoSxy+“),(MZ),与第二个方程比拟，知y(y,z)=0,于是0(y,z)=3(Z),从而v=-sinxy+(z).再对Z求导，得乙=(z),与第三个方程比拟，知(Z)=-Sinz,故必Z)=CoSZ+C.所以P=CoSZ
18、-SiilxJ+C(2)记P=2xcosy-y2sinx,=2jcosxx2SiiIy,R=0.那么rotA=&a&Kjaay2A为有势场。下面用两种方法求势函数u：I0公式法：V=一P(x,0,0)dx-jv(x,yfi)dy-R(X,Mz)dz+C2不定积分法：因势函数独满足A=-g11zdu,即有将第一个方程对X积分，得y=-X2COSJ-J2COSx+(y.z对y求导，得1.=2siny-2ycosx+y(y,z),与第二个方程比拟，知(Py(y,Z)=0,于是e(MN)=3(Z),从而V=-X2COSJ-J2cos+(z)再对Z求导，得匕=(z),与第三个方程比拟，知(z)=0,故V
19、(Z)=C.所以U=-X2COSJ-J2cosx+C.2 .以下矢量场A是否保守场？假设是，计算曲线积分JAdl：I(1) A=(6孙+z2)i+(3/-z)j+(3x/-丁成，的起点为A(4,0,1),终点为3(2,1,-1);(2) A=2xzi+2yz2j+(x2+2y2z-i)k,/的起点为A(3,0,l),终点为以5厂1,3).6y6x3z2解：OA=6xO-1,有rof4=(-1)-(-1#+(3/-3/)/+(61-61)女=0,故4为3z2-16xz保守场。因此，存在Ad7的原函数按公式=Odx+j3x2dy+(3xz2-y)dz=3x2y+xz3-yz,于是Adl=(3xj+
20、Xz3-JZ)=7。A(4,0,l)/2zO2x(3) DAO2z2472，,有利人=(4玫-4玫+(21-2工)/+0女=0,故4为保守场。因此,2x4yz2y2存在Ad的原函数人按公式=Odx+J；(x2+2y2z-l)dz=2z+y2z2-Z,于是,3,6(5l1,3)Adl=(xz+y2z-Z)=73.oU(3,o,nI3 .求以下全微分的原函数：(1) du=(x22yz)dx+(y22xz)dy+(z22xy)dz;(2) du=(3x2+6xy2)dx+(6x2y-i4y3)dy.解：由公式=P(x,O,O)dx+。(占MOMy+R(x,y9z)dz+C(1) w=rX2dx+y2dy+z2-2xy)dz+C131131/333._=/+,+/2yz+c+y+z)-2+C;(2) z=r3x2(x,HO)力+jR(X,j,z)dz+C
