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1、2024经验之中有规律的教学涵义1“经验之中有规律”的教学涵义经验之中有规律，是我们认识问题的一般过程和方法，也阐明了一个简单但很深刻的教学原理。“经验”是具体的，“规律”则是抽象的。“规律”不是从天而降的，而是从具体经验中经过不断归纳、概括才能得到的。如何才能培养学生“从经验中发现规律”的能力呢？我想，如下两点很要紧：首先，要培养学生“从一般规律的高度考察具体事例”的意识，逐步养成“透过现象看本质”的习惯。这是观念问题，是思维习惯问题，也是思想方法问题，需要一个长期的、潜移默化的过程，需要有意识地培养。其次，要让学生掌握观察事例、从经验中归纳规律、把具体事例中得到的东西概括到全体中去的基本方
2、法，使他们逐步学会归纳、学会抽象、学会概括，进而形成“从经验中发现规律”的能力。众所周知，“具体”中蕴含的信息具有丰富性、多样性,观察也可以有不同角度，因而从同一事例中可发现不同规律；同时，表面的东西大家都能看到，“藏”在背后的才有“含金量”。所以，面对具体事例，关键是“你怎么看？”这是看问题的角度、高度以及切入点，需要知识的支撑，还需要历练。学生经常出现“不是做不到，而是想不到”的尴尬，主要是他们的阅历还不足以使自己“想得到”。这似乎是一层“窗户纸”，但捅破它却并不容易，需要有数学知识、思想方法的灵活运用能力。例如对于公式1+2+=如则，2能将右边看成个等相加的结果，进而想到空是数列1,22
3、2,，的“等差中项”，是这个数的“平均数”，并最终形成对等差数列求和具有一般意义的“利用平均数，将求等差数列的前项和转化为个相同数的求和”，这就体现了看问题的高度，需要很好的把握等差数列的性质(特别是“当m+n-p+q时,am+an=的+QJ)O把简单的事情搞清楚,并能从中发现规律，这是需要高层次思维和高水平能力的。再看“二项式定理”的例子。从乘法公式的角度，通过整式运算，学生在初中就知道(a+b)2=a2+2ab+b2和(+与3=。3+3。23加+。如何升华这些经验,使之能用于“归纳规律，获得猜想”呢？这里需要一个新的观察角度，要用排列组合的观点分析原始运算过程：对于(a+b)2=a2+2a
4、b+b2,还原至!j(a+b)(a+b)=a2-2ab+b2,分析展开式(从什么角度？)，看项数、每一项的次数和系数。因为目标是要得到3+为的展开式，因此要有“从特殊性中寻找一般性”的思想：=2时,项数3,次数2,每一项的形式是/A=o,1,2)(这是“一般化”的观点，需要归纳，需要教师引导)。接下来的关键是要用组合知识对“如何获得展开式的某一项”作出解释。当k=0时，产0=/,是由2个（a+b）都不选b得到的,相当于从2个（+Z）中取O个b（即都取）的组合数或；当=1时，a2-kbk=ab9是由一个（+方）选，另一个（+8）选方得到的，由于b选定后，Q的选法就唯一确定，因此，M出现的次数相当
5、于从2个（+8）中取1个方的组合数，即共有G个;当k=2时,a2-kbk=b29是由2个（+b）都选力得到的，相当于从2个（0+b）中取2个b的组合数量。最终有：（a+b）2=Ca2+Cab+C-b2。显然，学生具备上述分析过程中用到的所有知识，但他们缺“看问题的高度”，不会“从新角度看旧问题”。因此，为了有利于学生找到“规律”，需要进一步提供经验支持，即让学生仿照上述过程独立完成对的展开式的探究。顺便提及，代数中的公式和定理，绝大部分都是用归纳法由低次到高次，由一元、二元到多元逐步归纳而发现，然后再用归纳论证去确立其正确性。因此，代数教学中，一定要强调让学生积累“归纳地去探索、发现，再归纳地
6、定义、归纳地论证”的经验。1.已知当l,3,不等式2-Ml恒成立，则的取值范围是.解法一：结合/（x）=2的图象分类讨论：当2al,即。二时，a-ll-2a,解得会223当23,即,时，a-l2a-3,解得“2Ia.d一1当1v27v3,即白1时，a10,解得；1时，有2a-Ma-I=K-2aa-1或x-2a-a进而有：a(W或a(x-l)VD11n所以a2或a23综上：al或a之22.设实数。使得不等式2x-a+3x-2a2对任意实数.,恒成立，则满足条件。组成的集合是O解法一：S/(%)=2x-|+3x-2a1.r,a5X+3a,x一2当a0时，/(x)=-x+ai所以加(X)=华制所以?
7、,解得()a!335x+3a,X3当av时，/(x)=*x-a-2所以几G)=/停H所以-g解得-2033_.11综上，a一33解法二：由齐次化思想，令X=皿rR）,则原不等式为同2-l+d3-2/转化为同2f-1+3r-2|对任意tR恒成立B(2r-l+3z-2)m,n=所以同g,解得Tg2015年浙江第18题3.设函数/(x)=X2+ax+b(a,bR),记M(,b)为y=(x)在一1,1上的最大值(1)设2,求证：M(a,b)2(2)若M(峭2,请求出同+网的最值。证明：(D因为对称轴=-l或A)=-$1Va)1.=max(F,f=maxl+q,+矶证法一：规划视角|a+/?+l|1-+
8、|(?+1)2+2t7(/?+l)+a2(?+1)2-2t(/?+1)+(/?+)0故V(X)1.X=max|1+。+4，|1。+4=，Z7+l+,4a(b+l)0.,又结合“2,M+l-,4a(b+l)011可以从规划视角来解题，以。为横坐标，为横坐标建系,目标函数l+4=拒也全视为可行域内的点（。力）到直线x+y+l=O的距离的6倍,显然当（。力）取点（一2,-1）时M+1+Mhl=企=2画出可行域；4(b+l)0MN2如图1所示,目标函数卜4+b=0上“营”视为可行域内的点(到直线r+y+l=O的距离2的拒倍,显然当()取点(2,-1)时I1-.=2综上，M(a9b)2证法二：绝对值不等
9、式V(X)1.=max(-1)中(1)=max1+4+研l+闿+|一+方|。+1)-(+)|=i2-2l解法三：M(o,/?)=maxl+项1-4+矶令。+1=/,则M(a=g(f)=max,+4Jf-在同一个坐标系中画出=+4和%=一。|的图象，两者取其大，则显然当，=0时，g(%T42故历(,0)2(2)解法一：规划视角(1)=+z.+12(-l)=-6+l2O一2。+匕+12-2-a+b+i2一8-488-a-3b-a-a-3ba+22JJ44显然又是一个规划问题了。以。为横坐标，为横坐标建系，画出可行域如图中ABC的蓝色部分。这里画图时注意到上下两条抛物线恰与两条直线相切(这里命题人命
10、题时可能又是两边夹的应用)M()24l+6+Z7+l-tz+2+2=-3Z7l(i)若Obl,则14+网2+l=3Gi)若一3b0,则弋-l,l,f-=+b-Ma.b)-222（Il2所以06-2+%,从而同+M同+2-三=一四一1+334412,当且仅当=2,=一1时，/（x）=x2+2x-l,（a,b）=2,同+网=3综上，同+网的最大值为3,最小值为0。解法三：显然向+M0,而=0时，/(x)=x2,M(o,Z?)=M(0,0)=l6一1)=+,=1(1)(-1)2故同+例=3|/(1)一/(一1)|+；|/(1)+一1)+2区3|1)一/(一1)|+；|川)+/(-1)|+1故4+Wv
11、+/I或同+同+(T)I又(土)归2,故问+M34.(2015重庆理科第16题)若函数Fa)=IX+l+2x-的最小值为5,则=.解法一：按照VTmT两类分类讨论，画出力=卜+1|+2k-4的折线图，图象最低点的纵坐标为5,求得=-6或=4解法二：由题意得x+l+2x-5,从而r-g-设X(X)=K-(X)=I-g（x）=-的图象是以（,0）为顶点的开口向上的“图。MX）=3一曲!1的图象是以（为顶点的开口向下（开口比g（x）=k-a的图象开口大）222）的“V”形图，且与,、轴交点的坐标为（0卜（4,0）。当=-6或=4时，,一闻之与工，所以若函数力=x+l+2x-的最小值为5,则=-6或=
12、45已知Z?eR,对任意满足0x0,y().若不等式x+历(x+2y)恒成立,则实数Q的最小值为，1+世X+解法一：a令E=则g()=lr1+2x+2y令1+f=相，则g(r)=1+/l+2r2m_11+2(/77-1)22w+-41_26+46+226-484故”的最小值为竽解法二：待定系数法解得k=#22故(+2y)1:2故”的最小值为竽7.已知函数/(%)=Or2+r+c(W0),且v?。/(x)0对VrR恒成立，则、,a+2b+4cM=b-a的最小值为解法一：齐次化思想根据条件有(),o,则一,则2+Ya2b-a2t-解法二：由题意可知=Zx2-4cK0,即4cZ.a+2b+4ca(a
13、+2b+4c)a2+2ab+4aca2+2ab+b2M=b-aa(b-a)ab-a1ab-a2此时已经转成齐次式了，所以分子分母同除小mi人八/+2+/r+2r+l14八。则M；=r-l+48ab-at-t-当且仅当T=3及43时，即ic时取得。解法三：根据条件有O,A(),贝!庐故4+24cJ”/b-ab-a庐.a+2H,.a,z.Z=a+b+c(I,Z4C令8=+f(0)得=4+-+8b-ab-aat当且仅当及,4时取得最小值即/半时取得。解法四：令+3+4c=f0),得=乂竺止竺辿，代入=后-痴心0b-a4=8得/(。+娟=(。+姨l2-)12a+(b-a)?221解法五：待定系数法假设
14、空空竺f,化简为(l+f)+(2-W+4c0b-a又4x%+4必+4c0故比对系数得4f=i+,4x=2-f,得X=-;=8因为/I-l0所以Wa彳方+cO=+3+4c8(一)因为”,所以a+2b+4cb-a8均值不等式兄弟四个同根生，老大名叫累平均;老二算术平均数，老三几何求平均,调和平均小弟弟，两两结合六出戏,一正二定三相等，最值证明要注意。解释：对于两个正数名力，我们称为。)的哥平均数，巴心为4步的算术2平均数，疝为。力的几何平均数，I2为泊的调和平均数。它们的大小关系是a1+b-i2,这四个平均数类似同胞兄弟，即“兄弟四个同根2a-+bl生，老大名叫累平均；老二算术平均数，老三几何求平
15、均，调和平均小弟弟”。这四个平均数两两结合可以产生六个均值不等式，即“两两结合六出戏”。利用这些均值不等式求最值或证明不等式的时候，需要考虑每个变量是正数；如果求和的最小值时，需要考虑积是否是常数，如果求积的最大值时，需要考虑和是否是常数；当且仅当=人时，这些不等式取等号。即“一正二定三相等，最值证明要注意”。例1.a,b,cwR,aa+b+c)+be=4-2y3t求2+力+。的最小值.解：.42J=S+b)(a+c)(+；+),.2+c2(51).当且仅当力=C且+b=百一1时，2+A+c取最小值2(行1).例2.已知/+M=I,X2+y2=4t求znr+Ajy的最大值.22.,14/n+X
16、47X,“22、23c解：.1=4(rfix+ny)4(m2+n2)+(x2+y2)=84n2+y24ny.x+ny2f当且仅当/n?=2=g且工2=2=2时，次+n取最大值2.CIlC例3.abcO,2a2+IoaC+25/的最小值.aba(a-b)解：原式=。2+_1+_!+(-5c)22-+!aba(a-b)aba(a-b)a2+ab+a(a-b)a2a=5c,当且仅当，ab=a(a-b),即4二2_4时，原式取最小值4.例4.a,bsR,求证：(a+)(/?+).ab4证明：容易看出当=b=1.时不等式取等号，所以可以构造以下不等式:2I13313a+=a+1+同理：/+1-.a4a4a4ab4?SW)2Y1+斗1+3PM+2a?14a人4b)b)6ab=121+6ab25T
