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1、概率论与数理统计复习题（一）一.填空1 .P（八）=O.4,P(B)=0.3。若4与8独立，则P(A-8)=；若已知A3中至少有一个事件发生的概率为0.6,则P(A-B)=o2 .p(AB)=p(AB)JlP（八）=0.2,则P(B)=O3 .设XN(q2),且p2=PX2,P2X0=.4 .E(X)=D(X)=Io若X服从泊松分布,则PXhO=;若X服从均匀分布，则PXnO=5 .设Xb(n,p),E(X)=2.4,D(X)=1.44,则PX=6 .E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=2,E(XY)=1,则D(X-2丫+1)=.7 .XN(0,9),yN(l,16),且X与Y独立,则
2、P2X-Y1=(用表示),Pxy=8 .已知X的期望为5,而均方差为2,估计P2XE(肉)，则其中的统计量更有效。10 .在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈愈好，而置信区间的长度愈愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是。二.假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0。1.乙河流泛滥的概率为0。2;当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0。3,试求：(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率；(2)当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率。三.高射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立)，每发炮弹击中敌机的概率均为0.3
3、,又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0。2,若敌机中两弹,其坠毁的概率是Oo6,若敌机中三弹则必坠毁。(1)求敌机被击落的概率；(2)若敌机被击落，求它中两弹的概率。四.X的概率密度为/O)=鼠且E(X)=.(1)求常数k和c;(2)求X的分布函数F(x);五.(X,Y)的概率密度0,y)=FM2+y),2x4,0I-P（八）-P(B)=OP（八）=O.23/=2px0=0.8分析：px2=Px2nPx2=l_Px2n2Px2=lnPxF(2)=0.5(=0.5=0=a=2P2xF(4)-F(2)=0.3.=Px=().8().8IbJPx=1-Px=l-F(O)=1-4.px0=l-px0=l
4、P(x=k)=enIk!px0=l-Px=0丸k分析：a.X服从泊松分布,则Ph二短Ex=Dx=1=2=1Px0)=l-eb.X服从均匀分布,属连续分布,则Px=0=0=Px0=l-Px=0=l5 .Px=n=0.46分析:Ex=npXb(n,p)=Ox=np(1-p)E(x)=2.4D(x)=1.44nn=6p=0.4xb(n,p)=Px=n=C：PrIqE=Pnpx=n=0.466 .D(x-2y+1)=6分析：D(x-2y1)=D(x-2y)=Dx+D(2y)cov(x,-2y)=Dx+4Dy-2cov(x,y)=D(x-2y+1)=6=Ox+4Dy-2(Exy-ExEy)E(x)=E(
5、y)=ODx=Dy=2Exy=IXNQ9)分析:yN(1,16)x,y相互独立7 .P-2x-y-l)=()-0.5Pxy=OE(x-y)=Ex-Ey=0-l=-1-y-N(-l,52)O(X-y)=Ox+Dy=9+16=25，P-2-y-l=F(-l)-F(-2)P-2-yPXy=Ox,y相互独立=cov(x,y)=0cov(x,y)pxy=I/78.P2x8-P(-Exl-分析：由切比雪夫不等式Ex=5=P2x8=Px-5Px-5E(O2)=E(O2)=E,=。(夕)。(仇)=仇更有八贮。(&)=E(4)2-(E6i)2=E(6)2=D(6)+(8)2分析：。(仇)=七(仇)2-(石仇)2
6、=E(O2)2=。(仇)+E(仇)E(Oi)E)10高,小,变大二.解:A:甲河流泛滥A2:乙河流泛滥B:某地区受灾P(B)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)P（八）=O.1IP(A2)=O.2P（八）R.3n=0.3A1P(A1)=P(X1A2)=0.03=P(B)=0.1+0.2-0.03=0.27吟)P(A1A2)_0.03_n1.U.1DP(A2)0.2三.解：设4=敌机中了弹B=敌机被击落P鸟=0.2,Pg)=0.6,Pe)=1A443/?3P(B)=ZP（八）*P()=ZC*(0.3)i(0.7产*P(一)=0.2286i=lAi=lA吟=P(4)*P(。)
7、=0.496A2P(B)四、解：由密度函数的性质及数学期望的定义，有由知X的密度函数为(2xOVXVl(O其他当xOIF(x)=O:当OVXVl时F()=/(r)Jr=jv2zJr=x2当X1时(x)=Jftyit=2,xdx=1OXMO/(X)=28VXVl五、由(X、y)联合密度的性质有：1XWl .JJ(X,y)tZx左=W .由可求出(,y)的联合密度：Aa)=层M2+y)2vxv*：v.yv2O其他(0y2)fx)=/Uy)dy二太(2+y)dy=xf(y)=X2+)依二(2+y)(2X4)/rOV2z、Xf2v)2x0故&y相互独立。 .由知(x,y)相互独立.Pxy=O六、略七、
8、解：令X为一年内死亡人数，题中100OO人投标,每人每年死亡率0。006且每人每年死亡相互独立，故xN(10000*0o006,10000*0o006*00994)即xN(60,59。64)设A：保险公司一年内的利润不少于60000元.即A：10000*12-1OOOx60000=X60MA)=P60=0(60)=of三l=6。(O)=0.5(59.64).该保险公司一年的利润少丁GOOOO元的概率为).5概率论与数理统计复习题(二)本复习题中可能用到的分位数：S95(8)=1.8595,Z095(9)=1.8331,r0975(8)=2.306,r0975(9)=2.2662。一、填空题(本
9、题满分15分，每小题3分)1、设事件A8互不相容，且P（八）=P,P(3)=%则P(XX)=O0x-l0.3-lxl2、设随机变量X的分布函数为：F(x)=八/0.61%21 x2则随机变量X的分布列为。3、设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(l,2)和N(0/)，则p(x+ri)=.24、若随机变量X服从-1,句上的均匀分布,且有切比雪夫不等式P(X-10,则4为()。（八）一；(B)一;(C)+1；(D)大于零的任意实数.Z?+lb-3、设随机变量X和Y相互独立,方差分别为6和3,则0(2X-Y)=O.（八）9;(B)15；(021：(D)27。4对于给定的正数a,0vl,设
10、/，/()，1.()，工(i，2)分别是N(OJ),/()，)，产(n2)分布的下a分位数,则下面结论中不氐确的是()（八）ua=-u_a：(B)z1A,x0为未知参数，试求；I的矩估计量和极大似然估计量。0,P(A11)=l-p-qP（八）=p,P(B)=q2、X-112P0.30.3Oo4分析:依离散型随机变量的分布函数可得.3、Px+yl=O=x+yN(l,3)=Px+yl=F=1-1(产)-(O)=Oo534、b=3,=2分析:X服从-l,b上的均匀分布nEx=-,Dx=2由切比雪夫不等式P(x-Exl-71题中已知：PX-1Ex=,必=3=2二。单项选择题I0D分析：（八）中，A和B
11、互不相容=P(AB)=0,但不能反推;(B)中，P(AB)=P（八）*P(B)OA、B相互独立；(C)中,P（八）=O或P(B)=O与P(AB)=O无关;(D)I,P(AB)=O=P(A-B)=P（八）1=32. A分析：由分布律的性质可知：O(义1且p=z=即/=1;k*=1Ui1由等比数列求和可知：=12=1Z?13. D分析：D(2x-y)=D(2x)+Dy-2cov(2x,y)=4D(x)+Dy-4cov(x,y)乂,丫相互独立=8丫3丫)=0=D(2-y)=27Dx=6Dy=34。B分析：由各对应分布的分位数性质可得.5。B分析：（八）X显然为总体期望的无偏估计(B) E(x1+x2
12、+xn)=EXI+Ex2+Ex“=n显然不是总体期望M的无偏估计;(C) E01(6X1+4x2)=E(0.6X1+0o4x2)=Oo6EX1+0.4EX2=0.6+04=(D) E(x1+x2x3)=Ex1+Ex2+EX3=/+/=/三.解答：设A为事件利率下调，那么可即为“利率不变”，记B为事件股票价格上涨，由题设P（八）=60%P（八）=40%P(BA)=80%P(BA)=40%于是P(B)=P(AB)+P(AB)=P（八）P(BA)+P（八）P(BA)=60%X80%+40%X40%=64%四。解：由密度函数的性质.DJ：f(x)dx=1=f(x)dx+f(x)dx+11_2) -1.
13、=,dx-arcsinx2=-(+-47冗一十万6( 111 X落在(一，一一)内的概率为一。2233) X(-1时F(X)=O-1xl时F(X)=Cf(t)dt=-xl时F(X)=Cf(t)dt=f=dx=O“V1.1F(x)-15一lxl1j/=I=1.Qr公)31.Xllarcsinr=-arcsnx11-111e-x9x00,xO五。解答题见资料六.解：X服从指数分布，其密度函数为f（X,2）=/.Ex=-加一多1.iJOJoJo乃AAI.Ex=X./1二于为4的矩估计量42n+x2+)极大似然估计：1.（八）=AeIn1.()=HIn-(x1x2.xw)令ln1.()nn11.、c丁
14、Ta+-.+MOAr言.+m)=x土为4的极大似然估计量七.解:设X为青少年犯罪的年龄，依题中各样本值知:-22+17+19+25+25+18+16+23+24二二9由于。2未知,故适用T=XJ,得置信区间为21,S2100115戊二丁/J%,F(叫即525221-2306-,21+2.306-33所求犯罪青少年年龄的置信区间为（18。44,23.56）概率论与数理统计复习题（三）一.选择题（18分，每题3分）1 .设A,B为随机事件，且P(3A)=1,则必有（八）A是必然事件：(8)P(B)=O:(C)Au3；(D)AB2 .口袋中有6只红球,4只白球，任取1球，记住颜色后再放入口袋。共进4
15、2610行4次,记X为红球出现的次数，则X的数学期望E(X)=16244（八）；(B)；(C)；(D)1010103 .设随机变量X的分布密度函数和分布函数为/(x)和尸(X),且f(x)为偶函数，则对任意实数。，有()F(-a)=-j(x)dx(B)F(-a)=l-faf(x)dx(C)F(-a)=F（八）(D)F(-a)=2F（八）-l2JoJo4 .设随机变量X和y相互独立,且都服从(0,1)区间上的均匀分布，则仍服从均匀分布的随机变量是（八）z=x+y(B)z=x-(C)(x,y)(0(x,y2)5.已知随机变量X和y都服从正态分布:XN(,42),yN(,32),设Pl=(X+4),
16、p2=P(y4-3),则（八）只对的某些值，有Pi=Pz(B)对任意实数4,有pPz(D)对任意实数,有p=%6 .设*77(，。2),。2未知，则4的置信度为95%的置信区间为(4) (Xr=0.025)(8)(Xr=1().O25)7n7n一(TS(C)(X三玲05)(0(X-rhos)二.填空题(21分,每题3分)ynTn1 .已知随机事件A,8有概率P（八）=O.7,尸(8)=0.8,条件概率尸(后I4)=0.6,则P(AuB)=.2 .已知随机变量(X,丫)的联合分布密度函数如下，则常数K=/(,y)=K)(17)某人射击直到中靶为止，已知每次射击中0,其匕。靶的概率为0。75o则射
17、击次数的数学期望与方差分别为E(X)=,D(X)4 .已知二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示概率P(XayYb)=_.5 .设X,X2,X3是取自八(Z4D的样本，“=kX+3X2+(2-2幻X3是的无偏估计量则常数A=6 .设(X”Xz，X6)是来自正态分布N(0,l)的样本，36y=(X,y+(,)2当C=时,cy服从/分布，E(/)=./=1i=47.设防散型随机变量(x,y)的联合分布律为(X,n(1,0)(1,1)2,0)(2,1)P0.40.2。b若E(Xy)=0.8,则cov(X,Y)=0三.计算题(54分，每题9分)1 .某种产品分正品和次
18、品，次品不许出厂。出厂的产品件装一箱，并以箱为单位出售。由于疏忽,有一批产品未经检验就直接装箱出厂，某客户打开其中的一箱，从中任意取出一件,求：(1)取出的是件正品的概率；(2)这一箱里没有次品的概率2 .设二维随机变量(X,Y)在区域G=(x,y)0xl,yx上服从均匀分布。求：边缘密度函数x(x)Jy(y)3 .已知随机变量(X,Y)N(0.5,4；0.1,9；0),Z=IX-Y,试求：方差.D(Z),协方差COV(X,Z),相关系数夕XZ4 .学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不合格者得1分。根据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不
19、合格的,各占20%、70%、10%。现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率。(1.856)=0.9680)5 .设X,Xz,X是取自总体X的一个样本，总体Xj(X,),(夕()0,X(0,1)试求：(1)未知参数。的矩估计量。；(2)未知参数e的极大似然估计量4；(3) E(X2)的极大似然估计量.6 .某种产品的一项质量指标XN(4,2),在5次独立的测试中,测得数据(单位：cm)1.231o221.201.261.23试检验(=0.05)(1)可否认为该指标的数学期望=1。23cm?(2)若指标的标准差b0.015,是否可认为这次测
20、试的标准差显著偏大？附分布数值表(1.45)=0.926,(1.62)=0.9474,(l.30)=0.9032,(2.33)=0.99，0.025(4)=2.7764,025(5)=2.5706,r0,05(4)=2.1318,r0,05(5)=2.0150Zao25(4)=H.143,=0.484,/煦=9.488,力黑(4)=0.711概率论与数理统计复习题(三)答案一.选择题(18分，每题3分)cbacdb二。填空题(21分，每题3分)1. 0.62；2.24；3.4/39/44. 1+F(a,b)F(a,+oo)F(+oo,b)：5. 4;6.1/32；7.0,1三。计算题(54分，
21、每题9分)1.解:令A=取出为正品,4=箱子中有t个正品,f=0,l,2,由已知条件，P(BJ=,P(AB,)=-tr=0,l,2,+1nIln1由全概率公式，尸（八）=ZP(B,)P(AB,)=Zr=-,r=on+n/=o2由限公式尸闻心臀I;肃2。解：fx(x)=2x0x10其他1+yl-y0-1y0y)=,0yo)2X=1.246,=0.02882,x=1.23,/=0.022424=1.242任卬，接受”。.7；=3.571W,拒绝儿(2)假设”2=0.015?;必：0.0152.当HO为真，检验统计量/2=芈二力2(一D不*5T)=总05(4)=9.488，拒绝域W=9.488,).
22、点=14.86W,拒绝儿.概率论与数理统计复习题(四)一.判断题(10分，每题2分)1 .在古典概型的随机试验中，P（八）=O当且仅当A是不可能事件()2 .连续型随机变量的密度函数/(x)与其分布函数F(x)相互唯一确定()3 .若随机变量X与Y独立，且都服从=0.1的(0,1)分布，则X=Y()4 .设X为离散型随机变量，且存在正数A使得P(XQ=0,则X的数学期望E(X)未必存在()5 .在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时,犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少O二.选择题(15分,每题3分)1 .设每次试验成功的概率为(01),重复进行试验直到第次才取得Nlr)次成功
23、的概率为（八）crpr(-py-r;(b)Crnpl-pr;(c)MpFIw；(d)pr(-p-r.2 .离散型随机变量X的分布函数为F(X),则P(X=xk)=.（八）P(XJtTXxk);(b)F(x+1)-F(XJ)；(c)P(XjVXx+1)：(d)F(xjt)-F(xa.1).3 .设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=max(X,2003)的分布函数（八）是连续函数；(b)恰好有一个间断点；(c)是阶梯函数；(d)至少有两个间断点。4 .设随机变量(X,Y)的方差D(X)=4,O(Y)=1,相关系数PXy=O.6,则方差D(3X-2K)=（八）40j(b)34；(c)256；(d
24、)17.65 .设(X,X2,，X”)为总体N(l,22)的一个样本，M为样本均值，则下列结论中正确的是（八）()；(b)(X,.-1)2-FC/?,1)；2h4(C)-J-N(0,l);(d)(Xz-I)2-Z2(W)o24M二。填空题(28分，每题4分)1.一批电子元件共有100个，次品率为0。05。连续两次不放回地从中任取一个,则第二次才取到正品的概率为1 .设连续随机变量的密度函数为/Cr),则随机变量y=3e的概率密度函数为人(y)=3.设为总体XN(3,4)中抽取的样本(X1,X2,X3,XQ的均值，则P(-lX则条件密度函数为,当时，x(j)=(IJ-1.4105。设xf(m),
25、则随机变量y=2服从的分布为(需写出自由度)6.设某种保险丝熔化时间XN(,2)(单位：秒)，取=16的样本，得样本均值和方差分别为X=15,52=0.36,则的置信度为95%的单侧置信区间上限为7。设X的分布律为X123Pe22，(10(1。)2已知一个样本值区，“2，与)二(1,2,1)，则参数的极大似然估计值为三。计算题(40分，每题8分)1 .己知一批产品中96%是合格品.检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0。02；一次品被误认为是合格品的概率是0。05.求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2 .设随机变量X与丫相互独立，X,y分别服从参数为l,4(l)的指数分布，
26、试求Z=3X+2Y的密度函数yz(z)3 .某商店出售某种贵重商品。根据经验,该商品每周销售量服从参数为4=1的泊松分布。假定各周的销售量是相互独立的用中心极限定理计算该商店一年内(52周)售出该商品件数在50件到70件之间的概率.4 .总体XNJ,/),(X,X2，X”)为总体X的一个样本求常数A,使kXi-X为附无偏估计量.?=15 .(1)根据长期的经验,某工厂生产的特种金属丝的折断力XN卬,2)(单位：kg).已知b=8kg,现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值嚏=575.2kg.问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570kg?(=5%)(2)已知维尼纶纤
27、度在正常条件下服从正态分布N(N,0.0482).某日抽取5个样品，测得其纤度为：1。31,1.55,1.34,1。40,Ie45。问这天的纤度的总体方差是否正常？试用=10%作假设检验。四.证明题(7分)设随机变量Xr,Z相互独立且服从同一贝努利分布3(1,)。试证明随机变量X+y与Z相互独立.附表：标准正态分布数值表%?分布数值表布数值表(0.2B)=0.6103/.05(4)=9.488r0025(15)=2.1315C(1.96)=0.9757嬴=0.711九os（三）=1.7531(2.0)=0.977205=IlD71%g(16)=2.1199(2.5)=0.9938/%=1145
28、依5(16)=1.7459概率论与数理统计复习题(四)参考答案一.判断题(10分，每题2分)是非非非是.二选择题(15分，每题3分)（八）(d)(b)(c)(d)三.填空题(28分，每题4分)1.1/22；2。f(y)=ln(y3)0y0y0；3.0.9772；4.当0XV1时rx(y)=，l(2x)0-Xy0更,、e-yy0八2wHo其他4o其他,1分)z0时，Fz(z)=O,从而z(z)=0;(1分)z0时，加Z)=Jxf(z-3x)/2dx(2分)_J-OO=We-uz-vdx=(eAz/3-e-z2)(2分)j03-2所以上(e-A/3e-/2)3/-220,z0z0z(z)=j2/-
29、320,z(2分)z03o设Xj为第/周的销售量，i=l,2,52X,P(I)(1分)则一年的销售量为Y=Xj,E(Y)=52,D(Y)=52.(2分)r=l由独立同分布的中心极限定理，所求概率为P(50y70)=pf1.96,118l故拒绝原假设Hq,即不能认为平均折断力为570kg.t0=5刀一浮2=02j=0632zj-1)=Zo.o5(4)=9.488或Z29.488,落在拒绝域内，=0.0538/0.6241=0.0860.711,落在拒绝域内，故拒绝原假设”0,即认为该天的纤度的总体方差不正常.(1分)五、证明题(7分)由题设知xx+yoi2PqpPq?2pqP?(2分)p(x+r
30、=o,z=)=P(x+r=O)P(Z=0)；P(X+Y=iz=)=pq2=P(X+Y=O)P(Z=1)；P(X+y=1,Z=0)=2=P(X+y=1)P(Z=0)；P(X+y=1,Z=1)=2pq2=P(X+Y=I)P(Z=1)；P(X+y=2,Z=0)=p/=p(+y=2)P(Z=0);p(x+y=2,z=1)=p3=p(x+r=2)p(z=i).所以x+y与Z相互独立.(5分)概率论与数理统计复习题(五)及参考答案1：6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个不同单位，每单位1人.则分配方法有利I.答(6543)=360.2:6个学生和一个老师并排照相，让老师在正中间共有种排法.解6!=720
31、.3：事件A,B相互独立，且P（八）=p,(OVPV1),P(B)=O(OV“VI),则PUB)=.答I-Pq-4：1-ex,x0;3欲使Fa)=是某随机变量的A-e-2x,x0.3分布函数，则要求A=.答1.5：重复独立地掷一枚均匀硬币，直到出现正面为止，设表示首次出现正面的试验次数，则的分布列P=k=.答(=1,2,3,).6：二维随机变量(4，)的联合分布函数”X,y)的定义是对任意实数,y,F(X,y).答P0,yo为随机变量(小，哈的联合概率密度，则常数A=.答10.8：设随机变量4的与OJ存在，对任意给定的0,则有概率P-E.答】-写.N9：若总体XN(,CF2)则Z=*/其中n为
32、样本容量.答N(0,1).10:设假设检验中犯第一类弃其错误的概率为a,犯第二类取伪错误的概率为B、为了同时减少和，那么只有.答：增大样本容量11：在房间里有10人,分别佩戴着110号的纪念章,任意选4人记录其纪念章的号码,求最大的号码为5的概率.解A表示事件“最大的号码为5”基本事件总数。自,A所包含的基本事件数量,12:P（八）=42102T5设每100个男人中有5个色盲者，而每I(X)OO个女人中有25个色盲者，今在3000个男人和2000个女人中任意抽查一人,求这个人是色盲者的概率.解A：“抽到的一人为男人”，3：“抽到的一人为色盲者”.351P（八）=-,P(BA),5100202P（八）=,P(BlA)=25l00400于是312131P(B)=P（八）P
