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1、专题16复数的三角表示一、单选题1.下列各角不是复数36-3,的辐角的是【试题来源】人教A版(2019)必修第二册逆袭之路第七章【答案】C【分析】根据复数的模和辐角的含义求出模及辐角主值，从而得出结论.【解析】因为厂=J(3)2+(-3)2=6，COSsin，=-；,所以辐角主值6=二一，故可以作为复数3-3i的辐角的是二卜2kr,ZZ66所以当左=一1时，+(-2)=-:当Z=O时，+0=：6666当A:=2时，+4;F=史三；故选C.66【名师点睛】本题主要考查复数及其三角形式,计算出复数的模和辐角主值,是解答的关键,属于基础题.2.复数sin450-icos45”的辐角主值是A.45C.
2、225B.135D.315【试题来源】人教A版(2019)必修第二册逆袭之路第七章【答案】D【分析】先求出复数的模，再根据辐角的含义求值.【解析】因为尸所以辐角主值6=315，故选D.【名师点睛】本题主要考查复数的三角形式，属于基础题.工复数z=ss（+si吟的辐角主值是【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章复数的三角表示式【答案】B【分析】根据辐角主值的定义，结合题目，即可求得.【解析】由辐角主值的定义，知复数”崂+与吟的辐角主值吟故选B.【名师点睛】本题考直辐角主值的求解，属基础题.4.将复数4cos+zsin化成代数形式，正确的是A.C.4/D.-4;B.-4【试题来源】
3、人教A版（2019）必修第二册突围者第七章复数的三角表示式【答案】D11【分析】根据特殊角的三角函数值，化简即可.JT-43故选D.【解析】4cos+Zsin-I2J【名师点睛】本题考查复数的三角形式的化简，只需计算对应的三角函数值即可.5.11冗cos+zsn-Xcos.11+/sin3JA.1B.-1D.-I【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章第三节【答案】C【分析】根据复数的乘法法则，进行整理化简即可.(1111(4.万(11A.(1111【解析】cos+;sincos+zsn-=cos+zsn-(66八33)k63Jcos(-45)+isin(45)【试题来源】人教A
4、版(2019)必修第二册过关斩将第七章【答案】D【分析】复数的三角形式是Z=KCoSe+isin6),根据数和诱导公式化简，化为复数的三角形式，再结合故选择.【解析】依题意得=产+(_)2=6,复数z=l-i时应的点在第四象限，且COSe=因此，argz=315,结合选项知D正确，故选D.【名师点睛】本题考查了复数的代数形式和三角形式的转化，主要利用诱导公式化简，注意两种形式的标准形式，式子中各个位置的符号，以及三角函数值的符号.13 .若复数z=T-JM(i为虚数单位)，则mgz为A.-120B.120C.240oD.210【试题来源】人教A版(2019)必修第二册过关斩将第七章【答案】C【
5、分析】由Z=-1-J另求出对应值，即可求出答案.【解析】由Z=-I-有i，得复数Z对应的点在第三象限，且cos9=-g,所以argz=240.故选C14 .已知i为虚数单位，Z=在(COS60+isin60),z2=22(sin30-icos30),则zz2=A.4(cos90+/sin90)B.4(cos30+Zsin30)C.4(cos300-Zsin30)D.4(cos0+Zsin0)【试题来源】人教B版高中数学必修第四册【答案】D【分析】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可.【解析】.Z?=22(sin30-icos30)=22(cos300+isin300),.,.z1z2=0(Co
6、S60+Zsin60)2近(cos300+isin300)=4(cos360+isin360).故选D.【名师点睛】本题主要考查复数三角形式乘法运算法则，属于基础题.15.第数+Gi的三角形式是A.2cos+/sinJ511.511B.2cos；FIsinC.d511.5112cosFzsinD.28S业+3【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】A【分析】根据数的三角形公式z=cosO+Zsin。）求解或利用定义直接求解即可.【解析】解法一：设复数的三角形式为Z=cos。+ZSin6）,则z=J（Ty+（2=,ctan=-3，可取6=argz=y,从而复数7+后的
7、三角形式为2cos+Zsin-解法二：T+G=J(T)2+(J)23(-1)2+(3)2(-1)2+(3)2=2cos-+/sinI33【名师点睛】本题主要考查了复数的三角形式，属于基础题.16.复数z=-Sin2+icos2的辐角主值为1818A.C.5112119B.D.61197119【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】D（分析】化简Z=-sin+/cos利用诱导公式化成标准形式再判断即可.1818【解析】z=-sin-+Zcos-=cos-+zsin-,故复数Z的辐角主值为N工.故选D1818999【名师点睛】本题主要考查了复数的辐角主值的辨析，属于基础
8、题.A. 3cos+ZsinI44B. 3&cos-+zsinI44C.32511.cos+zsn4511TJCa1111D.32cosFIsinI44【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】C【分析】根据复数的基本运算求解即可.【解析】原式二6XGcos+zsinf-+=3应cos+Zsin-V126J1126JI44故选C.冗JT18.复数Z=CoSTT+isin一是方程N-=0的一个根，那么的值等于31.+-Z2261.-122【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】B【分析】根据复数的三角形式的运算求解即可.【解析】由题意得，a=
9、fcos-+zsin-I=cos-+sin-=-+z,故选B.I1515J3322【名师点睛】本题主要考查了复数的三角形式的运算，属于基础题.19. 将复:数1+i对应的向量OM绕原点按逆时针方向旋转三，得到的向量为OMI,那么OMl对应的复数是A.2iB.2zC.也+也D.2222【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】B【分析】根据复数的三角形式运算求解即可.【解析】复数1+i的三角形式是0（cos?+isin?,向量OMl对应的复数R11112cosHsinXI44)(11.11cos+/sinI44；=2cos+zsinI22二J5i故选B3cos+isin
10、-I3333耳ih.f.=11.故选C.22(1111.(11乃丫cos+sn+(26j26JJ【名师点睛】本题主要考查了复数的三角形式运算，属于基础题.(11.rJ11.1120. cos+sn-3cos+ism=I22)I66)333.d33y3.2222n333.n33J.2222【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者（经验篇）第7章【答案】C【分析】先用多项式乘法展开，再用两角和与差的:角函数化简，分别求出COS丁,sin33再整理为。+罚的形式.【解析】R.TtJr(TC.TTrcos+sn-3cos+sn-=322)66；【名师点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式
11、的转化，两角和与差的三角函数,还考查了运算求解的能力，属于基础题.21. 9(cos3+isin3)3(cos211+isin211)=A.3B.-3C.3iD.-3i【试题来源】人教A版(2019)必修第二册突围者(经验篇)第7章【答案】B【分析】先将9(CoS37+isin3r)和3(cos2)+isin2;r)转化为代数形式，再求解.【解析】9(cos311+isin3r)3(cos2+isin211)=-93=-3.故选B【名师点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.22. J(CoS30o+isin30o)2(cos60o+Zs
12、in600)3(cos450+isin45)=3232.r3232.2222r3232.D33.2222【试题来源】人教A版(2019)必修第二册突围者第七章第三节【答案】C【分析】根据复数三角形式乘法的运算法则，进行计算即可.【解析】I(cos30o+isin30o)2(cos60o+isin60o)3(cos45o+zsin45o)=；x2x3cos(30o60+45o)+sin(30o+60o+45o)=3(cosl35o+sinl35o)=3Z=越+%.故选c.)22【名师点睛】本题考查复数的乘法法则，属基础题.f3(11.11A11.11,23.己知Z=耳85不+”SlnZj;2=2
13、coS1+snJ,贝乎2=A.iB.2iC.2D.3i【试题来源】天津市红桥区2019-2020学年第二学期高一期中考试【答案】D【分析】根据复数乘法运算的三角表示，即得答案.=二cos+/sin2cos+zsin-=2cos+/sin+【解析】I，2166jV33；2|_63J163=3cos+zsin1=3/.故选).I22)【名师点睛】本题考查复数乘法的三角表示，属于基础题.24.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix=cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥根据此公式，有下列四个结论：eisl=0;1.乌
14、=-1；2cosx=eJe*22/2sinx=elr-eix.其中所有正确结论的编号是B.D.A.C.【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高一数学(人教A版2019)【答案】A【分析】根据题设中的公式和复数运算法则逐项计算后可得正确的选项.【解析】因为e=cos;r+isin;r=-l，故e“+l=0，故正确.eur=cosxzsinx,er=cos(-x)+isin(-x)=Cosx-Zsinx,所以e1.v+eu=2cosx，elv-eu=2isinx.故正确，错误2019/.2019而一+1.i=cos+isin=e=e6i=cos673;r+isin673;r=-l.
15、22(33)故正确，故选A.【名师点睛】本题考查新定义下复数的计算，考查了复数的三角形式及其运算，本题的关键是理解定义中给出的计算方法.25.把更数Zl与Z2对应的向量OAoB分别按逆时针方向旋转:和芳后，重合于向量OM且模相等，己知Z2=T-6则更数Zl的代数式和它的辐角主值分别是B. -224C. -2-24D. -2+2Z,-4【答案】B再根据Zl对.4=【试题来源】辽宁省辽宁师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末也+且J1+i-(l+z)(l-/)T+1可知Zl对应的坐标为卜J,应），则它的辐角主值为T.故选B.【名师点睛】本题考查复数的三角形式，属于基础题.26.欧拉是
16、瑞士著名数学家，他首先发现：e=COSe+isin（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，ebr=A.1B.0C. -1D.1+/【试题来源】备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过【答案】C【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可【解析】由题意可知S=cos4+isin4=-1+0=-1,故选C.27.复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是A6rGj2222r+6Jn+31.2222【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】D【分析】根
17、据复数的三角形式求解即可.【解析】-i=cos+zsin22-+2k11-+2k11-i的立方根为22(其中Z=J2),cos-+1sin-33当二O时，得COSFZsin=i；当左=1时，cos+sin=-Z226622当2=2时，得COSU工+sin1工=一色一，故选D.662228.已知复数Z满足z=l,则IZ-4一34的最大值为A.4B.5C.6D.7【试题来源】山东省荷泽市2019-2020学年高一下学期期中考试A【答案】C【分析】设Z=COSe+sin6i,根据复数模长运算和三角恒等变换的知识可得到Iz-4-3zI=26-10sin(6),由此确定最大值.【解析】由z=1可设：z=
18、(X)s+sin/,/.z-4-3Z=(cos-4)+(sin-3)/,.,.z-4-3z=J(CoS4-4)2+(Sine-3)2=cos2+sin2-(6sin+8cos)+251 4=j26-10sin(e+)(其中tan*=),.当SiMe+0)=-l时，z-4-3zna=26+10=6.故选C.【名师点睛】本题考直复数模长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为三角函数最值的求解问题.29.复数Zl=1,N2由向量OZ绕原点。逆时针方向旋转而得到.则arg（至尹）的值为11ClA.-B.63c2114;TC.D.33【试题来源】2021年高考数学（文）一轮复习单元滚动双测卷【答案】C【
19、分析】写出复数Zl=I的三角形式Zl=CoSO+isinO,绕原点。逆时针方向旋转?得到复数N2的三角形式，从而求得毛幺的三角形式得解.【解析】Z1=I,Z1=cosO+sinO,OZ2=OZ1（cos+=+.三二幺=（+且i），所以复数在第二象限，设幅角为。，tan6=-3.2222s.6=-,故选C3【名师点睛】在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.二、多选题1.任何一个复数z=+初（其中。、beR,i为虚数单位）都可以表示成：z=（cos6+isin6）的形式，通常称之为复数Z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：zn=r（cos+zsin）J=rn（cosn+isinnnWN）,我
20、们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是AJZTKI2TTB.当厂=1，。=彳时，Z=Ic.当=,e=g时，z=z1.-H-i3 22D.当厂=1，。=工时，若为偶数，则复数z”为纯虚数4【试题来源】山东省济南市2020年7月高一年级学情检测(期末)【答案】AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数W,可判断C选项的正误；计算出可判断D选项的正误.【解析】对于A选项，z=r(cos6+isin6),Mz2=r2(cos2+Zsin2),可得z2=r2(cos2+sin2)=r2,z2=r(cos+zsin)=产
21、，A选项正确；对于B选项，当r=l，=-时，3z*=(cos9+isine)3=cos39+isin3e=cos4+isin4=-l,B选项错误；*j于C选项，当厂=1，时，Z=COs-+Zsin-=+z33322则W=1.-史,C选项正确；22*j于D选项，zn=(CoSe+isin。)=cosn+isinn=cos+isin,取=4,则为偶数，则24=以)5+心苗二-1不是纯虚数，D选项错误.故选AC.【名师点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共挽复数的运算，考查计算能力，属于中等题.三、填空题1 .复数z=31cosisinj的模是.【试题来源】人教A版(2019)必修第二册
22、突围者第七章复数的三角表示式【答案】3【分析】根据复数的三角形式的定义，即可得到复数的模.【解析】发数z=3cos+isin/是三角形式，故Z的模是3.故答案为3.【名师点睛】本题考查由复数的三角形式，写出模的大小，属基础题.2 .82(cos45o+isin45)=.【试题来源】人教A版(2019)必修第二册突围者第七章第三节【答案】22+22/【分析】将8,化为复数的三角形式，再利用除法法则，进行计算即可.【解析】8/2(cos45o+isin45)=8(cos90o+isin90o)2(cos45o/sin45o)=4cos(90o-45o)+isin(90o-45o)=4(cos45o
23、+isin45o)=22+2y2i故答案为2+2ji【名师点睛】本题考查复数三角形式的除法法则，属基础题，注意本题中将纯虚数转化为三角形式的细节.3 .复数Z=-G+i化成三角形式为.【试题来源】人教B版(2019)必修第四册过关斩将第十章复数【答案】2fcos-+/sin166J【分析】利用复数的几何意义分析即可.【解析】如图，=2，COSe=，0,-3+z=2cos-+Zsin故答案为2cos-r+isinr.4. 2(s210o+isin210o)5(-sin30o+isin60o)=(用代数形式表示).【试题来源】人教A版(2019)必修第二册突围者(经验篇)第7章【答案】53-5i【
24、分析】先用多项式乘法展开，再用两角和与差的三角函数化简，分别求出cos330o,sin330再整理为方的形式.【解析】2(cos2100+isin2100)5(-sin300+isin600)=10(cos210o+isin210o)(cosl20o+isinl20)=lcos(2100+120o)+isin(210+120)(R1A=10(cos3300+isin3300)=10-i=53-5i故答案为5曲-5i22【名师点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5. 63(cosl35o+isin135)=.【试题来源】人
25、教A版(2019)必修第二册突围者(经验篇)第7章【答案】一-i【分析】先将6转化三角形式6(COS00+isin00),再用复数的除法求解.【解析】63(cosl350+isinl350)=6(cos00+isin00)3(cosl350+isinl350)=2cos(0o-135o)+isin(0o-135o)=2cos(-l35o)+isin(-l35)=.故答案为.【名师点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16. 复数一11一冗的代数形式是.cos+/sin33【试题来源】人教B版高中数学必修第四册【答案】上一立j22【分析】
26、根据复数的除法运算进行计算，即可化简为代数运算.1 11.1113.1/r【解析】=cos-.sn-=-/故答案为1.4.COSyISiny22【名师点睛】本题考查复数的三角形式的化简，属基础计算题.7. 2(cos15o+Zsin15o)5+1.=./【试题来源】人教A版(2019)必修第二册突围者第七章第三节【答案】52+52Z【分析】将代数形式的复数化为三角形式，再用乘法法则，即可求解.(R1、【解析】2(cosl5o+isinl5o)5+-/2(cos15o+/sin15o)5(cos30o+isin30o)=lcos(150300)+zsin(150+300)J=10(cos450+
27、fsin450)=10+=5+52z.故答案为5向5i【名师点睛】本题考查复数的乘法，涉及代数形式和三角形式的相互转化，属基础题.8. I(cos60o-Zsin240o)6(cos30o-zsin210)=.【试题来源】人教A版(2019)必修第二册突围者第七章第三节【答案】3i【分析】先将不是标准三角形式的复数化为标准形式，然后再用乘法法则计算，即可求得.【解析】(cos60o-Zsin240o)6(cos30o-isin210o)=g(cos60o+isin60o)6(cos30o+Zsin30o)=3cos(60o+30o)+zsin(60o+30o)=3(cos900+zsin900
28、)=3z.故答案为3i.【名师点睛】本题考查复数的三角形式的乘法,注意将非标准三角形式化简为标准三角形式.9. (；+争3(cosl200-zsin3000)=.【试题来源】人教A版(2019)必修第二册突围者第七章第三节【答案】1.立i66【分析】先将代数形式的复数，以及非标准三角形式的复数，都化为标准三角形式，再用除法法则计算.1/3【解析】1+-Z3(cosl200-sin3000)32)=(cos60o+Zsin60o)3(cos120o+Zsin120o)=cos(60-120o)+/sin(60-120)=cos(-60o)+isin(-60。)=臬-冬一乌，故答案为，一四.331
29、22J6666【名师点睛】本题考查复数三角形式的除法法则,属基础题,本题中需要将代数形式的复数，以及非标准三角形式的复数化为标准三角形式.10,复数Z=追则argz=.1-血【试题来源】辽宁省大连市普兰店区第一中学2019-2020学年高一5月线上教学质量检测【答案】W2【分析】利用复数的除法运算进行化简，再借助复数的辐角主值的求法进行求解即可.,1hi.13+/(+z)(l+3)3+3z+3Z24/.【解析】Z=F=(I_风+=J病2=TTr1.复数Z在复平面内，对应点的坐标为(U),点(U)在y轴上，所以argz=,故答案为.【名师点睛】本题主要考查复数的除法运算及复数的辐角主值的计算，属
30、于基础题.71TT11 .复数Z=CoS行+isin不是方程x5a=0的一个根，那么。的值等于.【试题来源】人教B版高中数学必修第四册【答案】1.百i22【分析】由题意转化条件得=z5,再由复数:角形式的乘方法则即可得解.TTTT【解析】因为复数Z=CoS77+isin7是方程5-=0的一个根,所以=z=cosPzsin一=cosFZsin-=+-z-故答案为一十乂一iV1515j332222【名师点睛】本题考查了复数三角形式乘方法则的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.12 .一般的，复数都可以表示为z=r(cos6+isine)的形式，这也叫做爱数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结
31、合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果Zl=Aj(CoSa+isinq)，z?=弓(COSa+ising),那么平2=fcos(4+2)+isin(+2)，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：11.11+/sin44).(结果表示为+bi,bR的形式)【试题来源】江苏省徐州市丰县中学2019-2020学年高二下学期期中【答案】-I6+i6i【分析】根据棣莫弗定理计算即可.【解析】Vcos-+zsinyj2cos+/sin=V20cos311.3万+zsn44一旦国22=-io+io/.故答案为一M+i613 .欧拉公式*=CoSX+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明
32、的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥根据欧拉公式可知，e表示的第数在第平面中位于第象限.【试题来源】吉林省通化市梅河口五中2020届高三高考数学(文)六模试题【答案】三【分析】由欧拉公式可得*=cos4+isin4,则表示的复数在复平面中对应的点为(cos4,sin4),判断点(CoS4,sin4)所在的象限，即得答案.【解析】由欧拉公式可得*=cos4+iSin4，则*表示的复数在复平面中对应的点为(cos4,sin4)“4红2,:.cos40,sin40,点、(cos4,si
33、n4)在第三象限,即小表示的复数在复平面中位于第三象限.故答案为三.1/o（14.己知i为虚数单位，计算：2cos-Zsin-.Z1.2O2【解析】因为万所以=严21=i2J1.v33【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数【答案】-!+立i44【分析】先把2+也转化为COSW+isinf,再利用复数三角形式的除法运算法则即可2233求出答案.【解析】原式=11.乃)r冗.乃YICOSy+4Sl11yJ2COSy-ZSin-Jjcos+/sin233)故答案为一，+避4444【名师点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则，属于基础题
34、.Z1.2O2l15.复数Z=-I+1卢）的辐角主值为.【试题来源】人教B版（2019）必修第四册过关斩将第十章复数.3兀【答案】4Z1.X2021【分析】先化简z=T+山再根据辐角主值的定义求解即可.Ij-J所以z=-l+i=311311当+isin号,所以复数Z的辐角主值为史.故答案为龙.44J44【名师点睛】本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析，属于基础题.z11fZ-16若复数Z满足h=5,抑匕则Z的代数形式是Z=【试题来源】人教A版（2019）必修第二册突围者第七章复数的三角表示式【答案】1+旦371【分析】先写出一的三角形式，再进行化简整理即可.ZZ1【解析】设一=Z0Z则
35、IZOl=T,argZo=2,所以Zo1(11.兀、不=cos+sin=+2(33；4所以tZl=1+止,解得z=+造.故答案为1+史j.z443317 .已知更数Z满足z=l,则z+i+z-i的最大值是,【试题来源】河南省三门峡市外国语高级中学2020-2021学年第一学期高二期中考试【答案】2【分析】设Z=COSe+isina(09v24),则化简可得Q0QQz+z+z-z=2siny+cos+2sin-cosy；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果.【解析】设z=cos。+sina（0夕v2）.则Iz+4+1z-i=JCOS2A+(sin+I)2+Jcos?A+(si
36、n夕-1)2/T.c/u=2sin+cos222sin-cos2200211,0乃.2当0,（时,八,20sin-cos-222=J2(l+sin6)+J2(l-Sine)=所以z+i+z-i=2jcosg,z+i+z-i的最大值是2加：一也cos2也sil,2222所以z+j+z-i=27sin?,z+4+z的最大值是20:311(311)当5w,乃J时，一1COS纥-迫,0si叵22220所以sin-z+zz-Z=-22cos,z+Z+z-Z22.综上，z+z-i的最大值是2J故答案为2j5【名师点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，训练了利用三角函数求最值，是中档题.18 .设Z为更数，且
