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1、专题21立体几何初步章末重点题型复习(6知识点+10题型)知识点一：几何体结构特征1.空间几何体的有关概念(1)空间几何体的定义对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.例如，我们日常接触到的足球、篮球等，吐过只考了他们的形状和大小，他们都是球体，还有其他几何体如长方体、正方体等(2)多面体及其相关概念多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面Cozr等.多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱A，棱3万等.多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面
2、体的顶点，如图中顶点A,B94等.旋转体及其相关概念旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线ory绕。所在的直线旋转而形成的.旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线是该旋转体的轴.2、棱柱、棱锥、棱台的结构特征1、棱柱(1)定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱.(2)棱柱的特征有两个互相平行的面叫做棱柱的地面，它们是全等的多边形;其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形
3、；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.(3)棱柱的分类：按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等;按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为宜棱柱和斜棱柱；其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱.2、棱锥(1)定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.侧棱-/；W侧面/底面AR（2）棱锥的特征这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各个
4、侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图.棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点.（3）棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥.【注意】底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥3、棱台（1）定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台./七/底面（2）棱台的特征原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做楼台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点.【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；（2）侧
5、面都是梯形；（3）各侧梭的延长线交于一点.（3）棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台3、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征1、圆柱（1）定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱.（2）圆柱的特征旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线.【注意】（D底面是互相平行且全等的圆面；（2）母线有无数条，都平行与轴；（3）轴截面为矩形.2、圆锥（1）定义：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面
6、所围成的旋转体叫做圆锥.（2）圆锥的结构特征垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线.【注意】（D底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形；（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线；（3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成.（4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥.3、棱台(1)第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.第二种定义：以直角梯形与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形
7、成的面所围成的旋转体.(2)圆锥的结构特征上底面：原圆锥的截面.下底面：原圆锥的底面；上、下底面是互相平行且不相等的圆面轴：上、下底面圆心的连线所在的直线.侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面.母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分；有无数条母线，等长且延长线交于一点.【注意】(D圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面；(2)母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点；(3)轴截面为等腰梯形.4、球(1)定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.球心径i直径(2)球的特征球心：半圆的圆心叫做球的球心；半径：连接圆心与球面
8、上任意一点的线段叫做球的半径；直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.4、简单组合体及结构特征1.简单组合体的结构特征简单组合体的定义由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.简单组合体的构成形式由简单几何体拼接而成，如图所示.由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图所示.常见的几种组合体多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.多面体与旋转体的组合体：图中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.旋转体与旋转体的组合体：图中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.知识点二：空间几何体的直观图1、空间几何体的直观图的概念1、空间几何体的直观图
9、的概念直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形;直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.2、立体图形的直观图的画法（1）斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图.斜二测画法是一种特殊的平行投影画法.“斜在已知图形的M平面内与上轴垂直的线段，在直观图中均与广轴承45?或135?“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于V轴或丁轴的线段长度不变；平行于）轴的长度变成原来的一半，（2）平面图形直观图的画法及要求第一步建系：在已知图中取互相垂直的I轴和J轴，两轴相交于。点，画直观图时，把他们弧长对应的t轴和
10、轴，两轴相交于且使-xy=45（或135。），它们确定的平面表示水平面；第二步平行不变：已知图形中平行与K轴和J轴的线段，在直观图中分别画出平行与丁轴或）轴的线段；第三步长度规则：已知图形中平行于a轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半，（3）空间几何体直观图的画法与平面图形的直观图相比，多画一个与X轴、轴都垂直的Z轴，直观图中与之对应的是力轴；平面V。#表示水平平面，平面V。/和V。J表示竖直平面：已知图形中平行于Z轴（或在Z轴上）的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.（4）直观图与原图之间的变与“不变“三变J（1）
11、坐标轴的夹角改变；（2）与）轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变.“三不变：（1）平行性不改变；（2）与工轴和二轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变.3、直观图与原图多边形面积之间的关系若一个多边形的面积为S原，它的直观图的面积为SK则有Sa=差S原，S原=2e直举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为。，高为h在直观图中，h：。多,S=-a,h,=-a-h=宜224在直观图中,知识点三：几何体的侧面积、表面积和体积1、多面体的表面积、侧面积(1)多面体的表面积、侧面积定义：因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之
12、和.(2)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长；棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成；棱台的侧面张开图由若干个梯形组成.人棱柱的表面积：S校柱=Sfly+2S在；棱锥的表面积：几悔=Sftl+S底；棱台的表面积：S梭台=Sfw+S上底S下底2、棱柱、棱锥、棱台的体积(1)棱柱的高和体积棱柱的高：两底面之间的距离，即从一个底面上任意一点，向另外一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面之间的交点)之间的距离，也就是垂线段的长.棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积兀和高的乘积，即%柱=S底(2)棱锥的高和体积棱锥的高：棱锥的顶点到底面之间的
13、距离，即从顶点向底面作垂线，顶点到垂足(垂线与底面之间的交点)之间的距离，即垂线段的长.棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积兀和高的乘积的：，即九惟=：S底X%(3)棱台的体积：V=(SSr+T)3、圆柱、圆锥、圆台的表面积(1)侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图J?加;扇G侧面积公式S住M=211rSHw=11rS.令r=7r(r+r2)/(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤；解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：得到空间几何体的平面展开图.依次求出各个平面图形的面积.将各平面图
14、形的面积相加.4、圆柱、圆锥、圆台的体积(1)圆柱、圆锥、圆台的体积公式：圆柱的体积公式：%柱=S底Xh圆锥的体积公式：惟=；S帐X人圆台的体积公式：V=(Sj5Sr)(2)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V=Sh5、球的表面积和体积(1)球表面积S=4万R2(2)球体积公式V=WM知识点四：点、线、面的位置关系(1点与线、面的位置关系的表示A是点，I9是直线，a9是平面.文字语言符号语言图形语言A在/上A皿i/A在/外AI/1在“内A团”A在外AiaAzC7(2)直线与平面的位置关系位置关系直线。在平面”内直线a在平面a外直线。与平面”相交直线与平面”平行公共点无数个公共点一个公共点没有
15、公共点符号表示ClUao0c.bc作用：证明两条直线平行(2)直线与直线的平行方法利用三角形中位线证明线线平行构造平行四边形证明线线平行利用平行线的传递性证明线线平行利用相似三角对应线段成比例证明线线平行利用线面平行的性质定理证明线线平行2、直线与平面平行的判定与性质(1)定义直线与平面没有公共点，则称此直线/与平面平行，记作/Q（2）判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线/线n线面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行一线面平行/,lUaIaa面面=线面如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个
16、平面aClUa=a/性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线/面二线线如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行ZyI/aIUB=1ll,3、平面与平面平行的判定与性质（1）定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和若a=,则。尸（2）判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理线面二面面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行一面面平行CIUa,bua,ab=Pa1ba线J面=面面（后面会学）如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两
17、个平面平行/1/llaC0aBll（3）性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）面面=线面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面ayaua=CInB性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行=线面平行”）NZa!Ia=c三a/b.面面=线_1.面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线aHI1.a=lt文字语言图形语言符号语言知识点六：直线、平面垂直的判定与性质1、直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂宜1ya,bUaaA.I
18、b1.lacb=P，=/_1.0面J_面回线_1.面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直Z：a1.acB=abuBbVa=bla平行与垂直的关系一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直./_/aJR平行与垂直的关系两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直gbab=blaa1.a2、直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行J7baliaauBac=b、=aMb文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行a=aar线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与
19、平面内所有直线都垂直/-1.aMUa=/.1.a3、平面与平面垂直的判定文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直bYafl4、平面与平面垂直的性质文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直g7a1.ac0=abub!.abYa题型.考点剖析题型一：常见几何体的几何特征解题思路：熟悉常见的多面体和旋转体的几何特征。一例1.下列命题中正确的是（）A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平
20、行四边形【答案】D【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确;对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有对面为底面，所以B不正确；对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确：对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确.故选：D.例2.下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（）A.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥B.有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部
21、分所围成的几何体叫做棱台D.棱台的各侧棱延长后必交于一点【答案】D【分析】由棱锥的定义可判断A,由棱台的定义可判断BCD.【详解】有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有个共同的顶点，则不是棱锥，故A错误；两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于点，故B错误，D正确；用个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所闱成的几何体叫做棱台，故C错误.故选：D.变式训练3 .下面关于空间几何体叙述正确的是（）A.正四棱柱都是长方体B.以直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥C.两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D.
22、平行于同一直线的两直线平行【答案】AD【分析】根据正四棱柱定义判断A,根据圆锥定义判断B,根据特例判断C,根据平行公理判断D.【详解】因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故A正确；以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故B错误；两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体，不是棱柱，故C错误;由平行关系的传递性可知，平行于同一直线的两直线平行，故D正确.故选：AD4 .（多选）下列说法正确的是（）A.圆柱的底面是圆面B.经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面C.圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交D.夹在圆柱的两个截面间的几何体
23、还是一个旋转体【答案】AB【分析】根据圆柱和圆台的结构特征，依次判断选项即可.【详解】A：圆柱的底面是圆面，故A正确；B：如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，故B正确；C：圆台的母线延长相交于一点，故C错误；D：圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故D错误.故选：AB5 .下面说法不正确的是（）A.多面体至少有四个面B.平行六面体六个面都是平行四边形C.棱台的侧面都是梯形D.长方体、正方体都是正四棱柱【答案】D【分析】根据各选项中的几何体的结构特征即可判断.【详解】对于A：最简单的多面体是三棱锥，有4个面，所以多面体的面数大于等于4,所以“多面体至少有四个面”正确，
24、故A正确；对于B：由平行六面体的定义可知：平行六面体六个面都是平行四边形，故B正确；对于C：由棱台的定义可知：棱台的侧面都是梯形，故C正确：对于D：按照正四棱柱的定义，底面必须是正方形，所以底面不是正方形的长方体就不是正四棱柱，故D错误.故选：D.题型二,空间几何体表面路径最值问题解题电路：学会几何体展开图，再利用几何关系（两点之间线段最短等方法）求最值。例1.如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为3km,山高为3m,B是山坡SA上一点，且AB=7km.现要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡,当公路长度最短时，公路上坡路段长为（）AA.10.
25、2kmB.12kmC.kmD.km1313【答案】D【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求最小值.【详解】依题意，半径为3km,山高为3i5km,则母线SA=后不后=12，底面圆周长2兀r=6兀，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角。=兽=】，如图，是圆锥侧面展开图，显然AB=712?+52=13,由点S向48引垂线，垂足为点，此时组为点S和线段A8上的点连线的最小值,即点为公路的最高点，AH段为上坡路段，段为卜.坡路段，由百角三角形射影定理知SA2=AA8,即122=13AH,解得A=1km,144所以公路上坡路段长为音km.故选：D例2.如图，在直角梯形ABC。中，AB/CD
26、,AB=2CD=,AD=3t以BC边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.求该几何体的表面积；一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A,求蚂蚁爬行的最短距离.23【答案】弓兀4(2)6.【分析】(1)得到几何体为上底面半径为4=8=：,下底面半径弓=A8=1,母线长/=3的圆台，求出表面积；(2)将圆台的侧面沿母线AZ)展开，得到如图所示的一个扇环，作出辅助线，设与OA=*根据弧长得到方程,求出二g兀，进而得到aoa2为等边三角形，求出最短路径为线段4A，得到答案.【详解】(1)如图所示，满足题意的直角梯形ABC0,以BC边所在的直线为轴，其余三边旋转
27、周，形成一个上底面半径为4=CO=;,卜底面半径5=A8=1,母线长/=3的圆台，其表面积为S=11(j2+a2+)=y11.（2）将圆台的侧面沿母线AO展开，得到如图所示的个扇环,因为圆台上下底面半径的关系为4=3弓，所以A4=2RZ,0A=20D,又EIAA=3,团OA=6,0OD1-3,设ZA2。A=a,则AiA2的弧长=aOAi=6a=211r2=211,解得=g11,连接&A，Z0A4为等边三角形，0AA?=6所以蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周，回到点A的最短路径即为线段AA,所以蚂蚁爬行的最短距离为6.变式训练3.如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3,一只小虫从圆锥的
28、底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为31.则这个圆锥的高为，体积为.【分析】根据最短路程为国链的侧面展开图中产产，山余弦定理求得NPoP=学及厂=1,再求得圆锥的高与体积.【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP,由余弦定理可得:竺Q匕号岁=+所以号设底面圆的半径为，则有211r=半3,解得r=l,所以这个圆锥的高h=所-1=2/2，体积V=11r2h=-11.故答案为：2;半11【点睛】关键点点睛：小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，该小虫爬行的最短路程为侧面展开图中PP之间的距离.4.如图，在长方体48
29、C。-4产。中，A5=4,AZ)=2,A1=3,一小虫从顶点A出发沿长方体的表面爬到顶点G，则小虫走过的最短路线的长为.【答案】41【分析】分三种情况，利用平面展开图求解可得.【详解】若小虫爬行路线经过棱A禺，则最短路程为142+(2+3)2=同;若小虫爬行路线经过棱3C,则最短路程为122+(3+4)2=屈.综上所述，小虫走过的最短路线的长为JJT.故答案为：“T5.如图，已知正方体48CD-AAGA棱长为2,其内壁是十分光滑的镜面.一束光线从A点射出，在正方体内壁经平面BCG反反射，又经平面AoAA反射后，到达GA的中点M,则该光线所经过的路径长为.【答案】33【分析】易得光线从A点射出通
30、过两次反射到达点则其路径在平面ABGA内，设光线在平面8CG4和平面A。AA内的反射点分别是尸,。，在矩形ABGA中，过点P作PEIAA于点E,利用相似比及勾股定理求出AP,PQ,QM即可.【详解】如图，光线从A点射出通过两次反射到达点M,则其路径在平面48GA内，设光线在平面BCClBl和平面A。AA内的反射点分别是尸,。，如图，在矩形48Ca中，D,=22,过点尸作PE1.A。于点E,则PQ=Z,WQE=AE,则与含=翳=g，所以。=2。，故答案为：/33-【点睛】关键点点睛：明确入射光线和反射光线是共面的，都在平面A8CR内，是解决本题的关键.题型三：立体几何直观图解题思路：(D空间几何
31、体直观图的画法与平面图形的直观图相比，多画一个与X轴、.轴都垂直的Z轴，直观图中与之对应的是d轴；平面V。发表示水平平面，平面y。/和fOY表示竖直平面；已知图形中平行于Z轴(或在Z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.(2)若一个多边形的面积为S原，它的直观图的面积为S直，则有Sa=乎S原，S原=2&S直例1.如图所示，梯形AbCDX是平面图形ABC。用斜二测画法得到的直观图，ATy=2,AE=&C=1,则平面图形48Co中对角线AC的长度为()【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度.【详解】由直观图知原几何图
32、形是直角梯形48Cd如图，所以AC=JAB、叱=H6故选：C.例2.图，四边形ABCO的斜二测画法直观图为等腰梯形A8CZ).已知ATr=4,CU=2,则下列说法正确的是()C.四边形ABC。的周长为4+2逝+25D.四边形A8C。的面积为6【答案】D【分析】过所作DE交。&丁点E，求出AT7,即可判断B,再还原平面图，求出相应的线段长，即可判机【详解】如图过W作疗E_1.O夕交09F点E,由等腰梯形且NZy=45:又ABz=4,S=2,可得ZiATXE是等腰直角三角形,即AO=AE=g(4-2)J=,故B错误；还原平面图如下图，0（八）FB则AB=ABz=4,CD=Ciy=2,AO=2AD=
33、20,故A错误；过C作交A8干点产，则4F=0C=2,由勾股定理彳JC8=J22+(22)2=23，故四边形ABCD的周长为：4+2+2+2J=6+20+2有，即C错误；四边形A8C。的面积为：(4+2)22=62,即D正确.故选：D.变式训练3 .如图，二ABC是水平放置的/BC在斜二测画法下的直观图.若BfC=2,A,Bf=2,A,C=30,则JlBC的面积为()BO,A.2B,22C.4D.42【答案】B【分析】先求出S.we，再根据SAK=2应SAWC求解即可.【详解】由已知得S40u=gx2x2xg=l,所以S皿=225ABC=2戈故选：B.4 .如图是水平放置的的直观图，W是-AE
34、U中BC边的中点，4。=45。,4氏47/,4仁三条线段对应原图形中的线段A8,ARAC,那么()C.最短的是Az)D.无法确定谁最短【答案】C【分析】利用斜二测画法规则，结合给定的图形分析判断得解.【详解】依题意，AZ)y轴，小力”轴，屏是5C的中点，由斜二测画法规则知，在原图形中应有AOIBC,且Ao为BC边上的中线，因此JSC为等腰三角形，Ao为BC边上的高，所以AB、AC相等旦最长，Ao最短.故选：C5 .一水平放置的平面四边形。SC,用斜二测画法画出它的直观图O3C如图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OMC的周长为.【答案】8【分析】把直观图还原为平面图形，根据斜
35、二测法求出相应的线段长，即可求出原平面四边形的周长.【详解】把直观图OAQC还原为平面图形，如图所示，依题意OA=UC=I,o，*=JFTF=,所以O4=8C=1,OB=2O,B,=22则A8=OC=Jf+(2国=3，所以原平面四边形QABe的周长为2(l+3)=8.6 .如图，正方形ABCD是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形ABCQ的直观图，若OTy=,则四边形ABC。周长与面积的数值之比为.【答案】22J22【分析】根据直观图还原为原图，结合长度关系可得答案.【详解】根据平面图形的直观图还原为平行四边形如图所示，所以OO=2,所以A=AE=ATy=OA=OA=1,所以Az)=J(
36、2)2+F=3,所以四边形ABCO的周长为2x(l+3)=8,四边形ABCO的面积为l2=2,所以四边形ABCQ周长与面积的数值之比为8=27.故答案为：2U题型四：几何体的表面积和体积解题思路：(1)多面体的表面积是各面积之和；旋转体要掌握展开图计算表面积；(2)体积关键是找几何体的高；在利用公式求解。例1.在三棱锥尸-ABC中，ABC是边长为1的等边三角形，PA=PB=I,PC=显,则该棱锥的体积为()21-8B.33一8D.【答案】Br分析】取AB的中点E，证明ABS平面PEa利用匕F8C=%“C+匕-皿，结合棱锥的体积公式,即可求得答案.【详解】如图，取AB的中点，连接PECE,0AB
37、C是边长为1的等边三角形，PA=PB=I,0CEj1.A6,PEJ.A8,又PE,CEu平面?ECpECE=E,团PC2=PE2+CE,PE1.CE,叵VP-AHC=%-PEc+匕-PEC=WSQECAB=X不x-1=/JJO故选：B.例2.九章算术中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.现有如图所示的“刍童ABCDQG/,其上、下底面均为正方形，若瓦=2AB=4,且每条侧棱与底面所成角的正切值均为3拒，则该“刍童”的体积
38、为（）【答案】A【分析】根据题意，由线面角的定义即可得至广刍童”的高，再由棱台的体积公式代入计算，即可得到结果.【详解】连接”广，EG交于点。，连接AC,QA交于点3,连接。02，易知四边形ACGE为等腰梯形且AC7/EG,过C作CQ/002,交EG于Q,如图.因为“刍童Abcdefgh的上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的止切值均相等，所以002底面瓦GH,又CQHOa,所以CQl底面EPG”,所以NCGQ是“刍童Abcdefgh其中一条侧棱与底面所成的角，则tanNCGQ=3点，因为斯=2AB=4,所以EG=4,AC=2五，则QG=T(EG-AC)=,所以在Rt-CQG中，tan
39、NCGQ=冬=3,则CQ=3QG=6,即刍童ABCDEFGH的高为6,则该刍童的体积V=x6x(2x2+4)x2+(2x4+2)x4=56故选：A.变式训练3 .已知圆锥的母线长为2J,其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面面积是()A.nB.2C.3nD.4r【答案】C【分析】根据侧面展开的弧长与圆锥的底面周长相等，求得底面半径，进而即可得解.【详解】设圆锥的底面半径为r,则根据弧长公式慧=小解得r=J,所以该圆锥的底面面积为M2二3九故选：C.4 .已知圆锥Po的母线长为2,。为底面的圆心，其侧面积等于2技，则该圆锥的体积为()A.311B.y211C.11D.211【答案】C【分析】根据
40、圆锥的侧面积等于2岛，可求得圆锥的底面圆半径=有，再由体积公式求解即可.【详解】设圆锥Po的底面圆半径为，由母线长为2,侧面积等于2,得Tx2x2=2jJ11,解得r=JJ,因此圆锥的高h=y22-r2=J币)=1所以该圆锥的体积为V=l11r2=11()l=11.故选：C.5 .已知圆台QiQ的体积为1411,其上底面圆Oi半径为1,下底面圆。2半径为4,则该圆台的母线长为【答案】13【分析】由圆台的体积求得圆台的高山作出圆台的轴截面，由勾股定理可求得结果.【详解】圆台的上底面半径为1,下底面半径为4,设圆台的高为儿则该圆台的体积为V=;兀X(f+42+1x4)力=7M=I411,则=2,作
41、出圆台的轴截面如图所示，过。作M：_1.NC,则EC=4-1=3,又DE=h=2,所以圆台的母线长为)C=JD+及;2=垃+乎=JB.故答案为：Jl3-6 .已知正四棱锥底面边长为21.高与斜高夹角为30。，则它的体积为.【答案】12【分析】取BC的中点为E,连接OE,得到OE=有，在直角-OSE中，求得=3,结合锥体的体积公式，即可求解.【详解】如图所示，设正四棱锥的高为，斜高为“，因为正四棱锥的底面边长为2J,取BC的中点为E,连接。E,则。E=1.又因为高与斜高夹角为30。，即NOSE=30,在直角SE中，可得tan30=立，解得=3,OSh所以正四棱锥的体积为V=gsAfico=gx(25)23=12故答案为：12.7 .若一个圆锥的体积为迈E,用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为W,则该圆锥的侧32面积为()A.y211B.211C.2211D.4211【答案】C【分析】由体积求出圆锥的底面圆半径和高，母线长，即可计算圆锥的侧面积.【详解】设圆锥的底面圆半径为，高为力，由轴截面三角形的顶角为得r=h,所以圆锥的体积为丫=4=*=峥，解得r=1.333所以圆锥的母线长为=r=2,所以圆锥的侧面积为SlW=M=11J2=2缶.故选：C.8 .攒尖是中国古代建筑
