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1、专题34单变量不等式能成立之最值分析法【方法总结】单变量不等式能成立之最值分析法遇到/WN(X)型的不等式能成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数MK)=r)-g(x)或“右减左”的函数(X)=g(x)-(K),进而只需满足G)maxO或(x)miW0,将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论.注意“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即危)沟3)对于XZ)恒成立，应求TW的最小值；若存在xO,使得KX)2（八）成立,应求兀到的最大值.在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样
2、也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值.注意与恒成立问题的区别.特别需要关注等考是否成立问题，以免细节出错.【例题选讲】I例1设函数/(x)=210v-/加2+1.(1)讨论函数/(%)的单调性；(2)当/(x)有极值时，若存在沏，使得/(即)?一1成立，求实数m的取值范围.解析(1)函数/(x)的定义域为(O,),f,(x)=2nx=一4T当m0时，/(x)0,(x)在(0,+8)上单调递增；当亦0时，令/(x)0,得OV坐,令广(x)v,得Q坐，,f(X)在(O,曲上单调递增，在怦，+J上单调递减.(2)由(1)知，当/(x)有极值时，?0,且/(x)在(0,呼)上单调递增，
3、在+oo)上单调递减.V(x)ma=/(*)=21需-m+I=-In机，若存在即，使得1成立，贝!(x)maxn-1.即一lnnm-1,Inm+m-10成立.令g(x)=x+Inx-I(QO),g(x)=l+%O,g(x)在(0,+上单调递增，且g(l)=0,0w)e-l成立？解析当=l时，J(x)=-nxt()=+ln2,/(x)=lp所以曲线y=y(x)在点G，+ln2)处的切线的斜率为了(，=】一；=-1.2故所求切线方程为丁一+也2)=一(工一,，即x+y-ln2-l=0.(2)假设当时，在已，e内存在一实数xo,使风ro)e1成立，则只需证明当Xme时，)mae-1即可.a-a2-x
4、+(-l)(-l)1.(-l)1./(X)=1+-2-=p=p(QO),令/(x)=0得，x=l,X2=-l,当时，.当1)时，/(x)e1或13e1即可.a1(e1)(1a)上、*(e)-(el)=e-ea(e1)=0,.*.(e)e-1成立.所以假设正确，即当时，在彳VJ内至少存在一实数配，使Uo)e-l成立.例3已知危)=*，一$2x+1,a0.(1)当。=|时，求yu)的单调区间；(2)若法仑1,使人必)/成立，求参数。的取值范围.解析当a=l时，(x)=xer-yx+1,所以a)=er+xe-x-l=(exl)(x+D由/(x)0,得XV-I或Z0;由/(x)V0,得一l0时，因为应
5、1,所以/(x)0,所以人幻单调递增，即KX)min=7(1)./(l)=efl-即eaO),（八）=ea-10.所以g3)ming(0)=e-0=l0,即ea恒成立，即g（八）O,所以不等式e-a0;当x(,一)时，/(*0;当X仁(一%+时，。()X)函数兀0在(-8,0)上单调递增，在(0,一O上单调递减，在(一、+，)上单调递增.且10)=10,由知/(i)多亘成立，若也后1,使人V1则-5，-la0r-la0f所以1,1.la所以/2,/2一7+五+lrVl2alV?解得l-2孑Va0.综上所述，参数的取值范围为(1-0).例4已知函数y(x)=-HnX菅+r,R.(I)当。0时，讨
6、论人r)的单调性；(2)设g(x)=y)+4(x),若关于X的不等式g(x)we+，+(aI)X在口，2上有解,围.AryI1.八maxex-ex,-e)(-1)解析(I)依题设，/(x)=-2+a=p(xX),当a0时，v-ey)恒成立，所以当Ql时，/(x)0,故函数y()在(o，D上单调递增，在(i，+8)上单调递减.(2)因为g(x)=HM(x),所以g(x)=HnXex+laxa,由题意知，存在Xol,2,使得8(即)e%+，+31)的成立.则存在XoW1,2,使得一Hn&+(+l)xo一1一00成立,令人(x)=lnx+(+1)4一与一,Xe1,2,r1l,a,1(-)(x1)则(
7、x)=丁+a+lx=17，xg,2.当l时，,(x)O,所以函数力(X)在1,2上单调递减，所以j(x)min=力(2)=-Hn2+a0成立，解得0,所以0.当l0,解得lx0;令(x)v,解得rv2.所以函数Aa)在1,上单调递增，在。，2上单调递减，又因为力(I)=所以(2)=Hn2+t0,解得00,与l0时，若在1,e(e为自然对数的底数)上存在一点m，使得火回)Vg(xo)成立，求实数的取值范围.解析(1)：函数及0=*(。+3)x+3”111居/。)定义域为(0,+),13a(x-3)(-67)W=X-(67+3)+y=-_:当=2时，令/(x)=(l3)l2)=o,解得彳=2或=3
8、,当X(0,2)U(3,+oo)时，f(x)O;当x(2,3)时，/(x)V0,加)在(0,2),(3,+8)上单调递增,HX)在(2,3)上单调递减,21函数兀0的极小值为汽3)=6In3一2，函数凡r)的极大值为/(2)=61n2-8.(2)令尸(x)=v)-g(x)=x+-1-HnX,在1,e上存在一点xo,使得儿WVgaO)成立，即在1,e上存在一点xo,使得F(M)V0,即函数F(x)=x+i-alnX在1,e上的最小值小于零.,1o+1.h+la(xl)x-(+1)由尸(X)=x+X-0lnX传尸(X)=1FV0,a+ll,又x(0,+),x+l0,当K(0,+l)时,Fra)V0
9、;当XW(+1,+s)时，Fa)0,当l+lVe,即OVaVe-I时，尸(4)在1,+l)上单调递减，在+l,e上单调递增,.*.F(x)mi11=Fa+1)=+2ln(+1),V0ln(+l)l,OIn(fl+l)2,此时尸(+1)VO不成立.当+le,即e-1时，Fa)在1,e上单调递减，尸(x)min=F(e).由F(e)=e4+1_.ZHe2+1e21e2lV0可得：，Ve-l,/.综上所述：实数。的取值范围为(高，+J.【对点精练】1.已知函数兀0=加+山.(1)讨论/)的单调性；(2)若mx(O,+功使Ax)0成立，求。的取值范围.1 .解析(1)函数Rr)的定义域为(0,+8),
10、/()=2Or+；=汽土1,40时，/(戏0,函数y()在区间(0，+m)上单调递增；VO时，由2at2+l0得0x0,3x(0,+)使人60成立；0,得，(-*0),；由得(-*，+8).2 .己知函数/(x)=-Hnx,g(x)=幺F(R).若在1,e上存在一点Xo，使得Kro)g(xo)成立，求的取值范围.3 .解析依题意，只需Xro)-g(xo)min0,M)W1,e即可.a,l4+14wh(x)=f(x)-g(x)=xalnXxl,e,mia。+1far-(+l)x(l)(xI).za则厅(X)=I-Q-7-=厂l=-_2v1.令f(x)=O,得X=+l.若a+ll,即比0时,(x)
11、O,力(X)单调递增，min=(l)=a+20,得。一2；若lvz+l2,x(0,e1)与h(x)O不符,故舍去.若+le,即aNe1时，力(x)在1,e上单调递减，则z(x)min=Me)=e0+咛，e2l令(e)e-e-1成立.综上所述，0的取值范围为(一8,2)U(M1 ex3.已知函数y(x)=Mln-1),g(x)=.17求证：当0rrW,J(x)x2-JXi(2)若存在xo(O,M,使AXO)g(M)W0,求加的取值范围.743 .解析(1)由题得於)的定义域为(0,+),x(lnX-l)x2-p:,即Inxx+于0,4 1-X设函数尸口)=ln-+g,则尸)=,故函数尸(X)在(
12、0,1)上单调递增.当02时，F(x)7f)=T-o,即J(X)一%,eCyDeD(2)f(x)=nx,故函数r)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，当0nl时，y(x)min=y(w)=w(inm-)=mnmn,依题意可知)g(，)W0=2nn7z(ew-2/771)O.构造函数：(m)=en,-2tn-l(0m1),则有,(m)=Qn,2.由此可得：当m(0,ln2)时，f(m)09即0(M)在?e(0,In2)时单调递减，7(ln2,1)单调递增，注意到：9(0)=0,(1)=0,因此9(tm)0.同时注意到2mlnn0,故有2mlnn(em-2m1)0.当m时，危)Jni
13、n=/(D=-I，依据题意可知大加)一g(Mo=-Q-y)0=ew,3=lml,当XW(1,Xo州寸，恒有e+2x+eA(x-1)成立，求k的取值范围.4.解析(1)由已知可得(x)的定义域为(O,+oo).I11X*7W=-,/(I)=I-=0,.=l,*W=-1=令/(x)0,得OVXV1,令/()V0,得xl,!)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+oo).II不等式7(x)卞+2r+A(-1)可化为Inxy+-1A(-1).ax2111x2+(l攵)x+l令g(x)=ln-2+-2A:(xl)(x1)则g,(x)=x+1k=1令7(x)=-f+(l。r+il),则力。)的
14、对称轴为X=-.Ik当亍1,即Q-I时，易知力(X)在(1,M)上单调递减，力(X)V力(1)=1一七若Ql,则7(x)V0,.g0,必存在沏使得x(l,M)时g(x)O,.g()在(1,o)上单调递增，,g(x)g(l)=O恒成立，符合题意.Ik当丁1,即女V-I时，易知必存在X,使得刀(X)在(1,向)上单调递增./Ia)7()=1Q0,gO,g(x)在(1,Xo)上单调递增.g)g(l)=O恒成立，符合题意.综上，的取值范围为(一8,1).5.已知函数Kr)=2x1+Alnx.(1)当k二一3时，求Ax)的极值；若存在xl,e,使得标一负*一成立，求实数攵的取值范围.132x2-3x+1
15、(2-l)(-1)5.解析(1)当上=一3时，/。)=2+乒一(=p=p.VxO,J当X(O,JU(1,+8)时，/(x)O;当x&1)时，/(*0.AO的单调递增区间为(0,1),(1,+8),AX)的单调递减区间为Q,1),x)的极大值为g)=31n2-1,於)的极小值为负1)=1.k11.+4(2)若lrU,e,使得3x/(x)一成立，即3x一左lnxf=x+-J-&lnx0有解,设ZZ(X)=XT1+%Alnx,只需力(X)在1,e上的最小值小于0,h,(x)=1+kk(x+l)-(+l)当仁O,xl,e时，(x)0,力(X)在1,e上单调递增，A(X)min=%(l)=1+1O=AV
16、2.V20,k2.当lZ+le,即04e-l,xl,H-I)时，h,(x)O,r)在区间1,4+1上单调递减，在区间伙+1,e上单调递增，.,.(x)min=(l)=k+1+1攵ln(k+I)=A+2kln(A+1).Vl+Ie,Oln(+l)Oilln(jt1)2,不满足题意.当&+le,即Qe-1,xl,e,hx)Ot(x)l,e上单调递减,k+(x)min=A(e)=e+工一TQ,又Y斗ef.坦斗.e-1e-1实数k的取值范围是(-8,-2)U6.已知y(x)=x2+r-Inx+e,g(x)=2+e.(1)若a=-1,判断是否存在那0,使得ArO)V0,并说明理由;(2)设(x)=x)-
17、g(x),是否存在实数a,当x(0,e(e=2.71828为自然常数)时，函数力(用的最小值为3,并说明理由.6.解析(1)不存在xo0,使得儿VO)V0.理由如下：当a=-I时，i(x)=2-Inxe,(0,+),f(x)=2-=ZF-X-X(-l)(2xl)Xx(0,I),/(x)0,函数人X)单调递增,当X=I时，函数段)有极小值式处校,Mi=y(l)=e,此极小值也是最小值，故不存在的0,使得Am)V0.(2)因为/(x)=x2+arlnx+e,g(x)=x2+e,所以力(X)=久)g(x)=ar-Inx.则厅(x)=a假设存在实数。，使z(x)=ar-lnM%G(O,e)有最小值3,4(1)当空0时，,(x)0时，当OVW时,拉,Qa)Vo在(O,e上恒成立，所以力(X)在(O,e上单调递减，4(x)mi11=(e)=ae-1=3,a=,不符合题意.当J时，0VVe,当OVXVl时，eClClz,(x)O,力(x)在(：，e)上单调递增，所以7(x)min=力G)=I+lna=3,解得fl=e2.综上所述，存在=e2,使x(0,e时，z(x)有最小值3.
