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1、黄金冲刺大题02数列(精选30题)1. (2024江苏南通二模)设数列,的前项和为S”，若SZf-Ta“=+i,gn求q,d2,并证明：数列如+4用是等差数列；求SV).【答案】(1)6=4,%=2,证明见解析：(2)420.【分析】(1)直接代入=1可得4=4,再代入=2,结合可的值求出的=2；再由S-gzf=+仿写出Sn-in,i=(n-)2+f作差后得到q+为_|=4-2,即可证明结果.(2)由(1)知数列a.+4为等差数列，然后代入等差数列的前项和公式求解即可.【详解】(1)当=1时，由条件得4-gq=2,所以q=4.当=2时，由条件得(+/kg%=5，所以a?=2.因为S一g=2+1
2、，所以SrJT-gfj=(-1),+1(n2),两式相减得：。“-(。”+3。小=2-1,即4+4=4一2,所以(%+4)-(q+%)=45+1)-2-(4-2)=4,从而数列q向+4为等差数列.(2)由(1)知为+%_=4-2,所以4+勾川=4(+1)2=4+2,所以数列+0为等差数列，首项为4+%=6,所以Szo=(q+%)+Q+,)+(%+o)=Xkq所以S20=(4x2-2)+(4x42)+(420-2)=1x6+7=420.2. (2024福建福州模拟预测己知数列“满足4=2,alt=an,l+2n(w2).求数列0的通项公式；记数列，卜勺前项和为S”，证明：Sn1.【答案(l)11
3、=11+lN*；(2)证明见解析.【分析】(I)根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前项和公式求解即得.(2)利用裂项相消法求和即可得证.【详解】(1)数列中，当2时，an=an,x+2n,即a,*=2，则为=4+(%4)+(/一4)+(4-1一。“-2)+(4-6,11-)an=2+4+6+伽一2)+2/1=2；2)=.2+,而“=2满足上式，所以数列.的通项公式是勺=/+，hN*.,/、1Ill(2)由(1)知4=犷+=(+1),HGN则二-二(皿=77，C111I因此Sfl-1fI-1223(-1)”(/?+1)illIlll,1H=1一一+-+=1,Ifijwl,则11,223n-n
4、nzz+1n+n+所以S“2f,+1-bn=2(Srt)a,=2bn+2,gp+1=3+2.又&=O也=2,也符合年=34+2,所以m1时，+1=3+2,即2.+1=3(0+1).又4+1=1h0,所以2+1hO,所以把?=3,所以数列也+1成等比数列.(2)由(1)易得d=3T_l.由4=24+4可得q=2,所以勺=2.所以anbn=2(3T-I)=23-2,所以T=203+23+332+311,)-(+1).M=l30+23,+332+z3f则SM=1-*+2-?+?+113n.所以2M=-(3+3+32+3w,)+3”=3-yy=,所以I=2M-n(n+)=-?3+1_(+).5.(20
5、24浙江杭州二模)已知等差数列/的前项和为S“，且S4=4S2,%=2为+1(N)(1)求数列0的通项公式；a9数列%满足2=3,令%也=4+2,向，求证：X=5bn.,2n-bn2-3bn12-51b112w+3,b.2+1,b22-l,十l十，,.bnbn.b、2-32一5利用累乘法可得：4=在产-=-%-2U2/2+12n-l99rl1Az二（2-1）伽+1）=丸C,+Js冈，伉=3也符合:式,4=1=b1+.,+所以%4一击退6.（2024浙江二模）欧拉函数（M（N）的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数,例如：夕(1)=1,(4)=2,。=4,数列,*的足zt=(2Xn)
6、（1）求卬，4，%，并求数列0的通项公式；记a=（）g警1.,求数列出的前和S”.a2n【答案】（1）G=1，/=2,%=4,an=26206S1.石+西可【分析】（1）根据题意理解可求%,生,%,结合与2互素的个数可求数列q的通项公式;(2)求出数列的通项公式，利用错位相减法求和即可.【详解】(1)由题意可知4=0(2)=1,a2=(4)=2,=W=4,由题意可知，正偶数与2不互素，所有正奇数与2互素，比2”小的正奇数有2个,所以%=0(2)=2T；(2)由(1)知。”=“2)=2T,所以%,=e(22)=22i,所以以=(T)*=(-1)墨二=(T)Qf*=(4-2=+,所以S.=2x（一
7、;）+6x（-；）+（4-6）x（-；）+（4-2）x（-；）,32011610-5（-4）w+,所以s620+6=+2525x（T）7.(2024重庆模拟预测)已知数列4满足4+2%+36+wzr=+l)!,weN(1)求4的通项公式;若力1023且AeN*,记”二，讨论数列出的单调性.akflI024-A【答案】(1)4,2,n=lw!,w2（2）当1A512,AN时，瓦单调递增；当512E024,tN时,4单调递减【分析】（1）分两种情况讨论，=1和2,即可求解；（2）先计算出A和如23,当21,4单调递增,%1024!1O23IO242!(1024-2)!512=4,所以当lWk512
8、,kN时，4单调递增;当513WA1024,kN时,又“10221024!1022!(1024-1022)!红512=3,所以当512Z1024,AN时，4单调递减.8.（2024河北邯郸二模）己知正项数列4的前项和为S“，%=3,且瓦=厄+底.求“的通项公式;45若包=%，求数列他的前项和沙.anan+【答案】%=2T得到Szt=2,利用+Ui【分析】(1)首先求出4=1,可证明数列JT为首项为1,公差为1的等差数列,4=f-Szt,1得到.的通项公式;(2)由(1)知，bn4,4anan+(2-l)(2w+l)，化简可得32e利用分组求和以及裂项相消即可求出数列也的前项和口【详解】(1)当
9、=1时，由6=后+6,即斤Z=2j1，解得：4=1,所以S=而=1，则数歹U#7为首项为1，公差为1的等差数列;当2时，atl=Sa-SZtT=-1)2=2/1-1,当=1时，4=2x1-1=1满足条件,所以M的通项公式为an=2-1(GN*)(2)由(1)知，4S“4cnan+x1.1)(2+1)所以“W故北=+g|14+1+；4-l111-+35=1(2w-l)(2n+l)212-12+12n-l211+l=rti2l12n+ln=11+2n+l即U?9. (2024福建三明三模)己知数列4满足y求数列.的通项公式;(2)设数列4的前项和为Sf,若不等式14Sj对任意的几eN恒成立，求实数
10、，的取值范围;(3)记5=丁二，求证：+组台忘(N).log24【答案】(IM=2,25-9,早(3)证明见解析【分析】(1)当=1时求出外,2时，用分二%：3U,即可求解；aa2an-(2)由4=2”得出S“，由144S：得(T)”fW,根据对勾函数的单调性及S“的值，即可求出，得范围；由得也$，则犹二悬m根据放缩法得7犷在出一看)即可证明【详解】(1)当=1时，q=(应=2,当2时，/=4.生4,%=感)；=(戊产=2,=1时成立，的(2yn-0+11-,所以勺=2.(2)由q=2得，S=生二变=2向-2,显然N时，S”单调递增，S11S1=2,12由(T)S,T4s2得，()ll,又好l
11、=S,+f2jw当且仅当S.=节时，即EJ=JiZ时等号成立，33“14id251414因为s=2,2=6,S3=14,S1Tu51+,.4所以当=1时，（T）Si+g=9,解得，-9,2142575当=2时，（T）4S2+不=可，解得,“）325所以，引-9,7.J1（3）证明：由（1）得“=嬴_J_b”-%_22+2_log?2?一五-IT2(rt+l)V2w因为nJn+yfn(n+)1二应二应2n(n+l)2yfn(n+)(+1)+诟(+1)在(J+1-五)_1)4nyn+(Jn+Vzj+1)4nJnyfnJn+_b.-b-ib-t-Z?,所以kk+/7z11111111.72方-/丁耳
12、+一忑+忑一E)=2(1-rJ=)3+2,S4=+2.求“和也的通项公式；设=+4,求数列q的前项和工.【答案】（1）q=，bn=2n-in-72商【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式可得+1=92、6d+2=,解之即可求解；（2）由（1）得=*-J+21,结合裂项相消求和法和等比数列前项和公式计算即可求解【详解】（1）设数列,的公差为d,数列也的公比为q（q0）,由4=1,S3=4+2,S4二为+2得3d+1=d,6d+2=,两式相除得9=2,所以3d+l=4,d=l,所以=4=+=，bn=biqni=2nt(2)由(1)得4=,S“=-,=2T,1,2所以=“八而用+2w,=-+2n
13、,n/1+1C222222l-211-l所以Z=+=2+.,1223n+11-2/1+111. （2024全国模拟预测）已知数列4满足4+2%+3%+”=吐-1）2+1.（1）求数列.的通项公式;n2+3n+2,求数列4的前项和S”.【答案】（1）%=2小*lSFT【分析】（1）利用数列的和与项的关系构造，两式，相减即得数列的通项;（2）求出父，将其裂项后，进行求和，消去中间项即得.【详解】(1)当=1时，6=1.依题意，4+2/+3%+nan=(w-l)2rt+I当2时，4+2%+3/+(-=(-2)21+1.一得nan=(-1)2+l-2)2T+l=w2nl(2),所以%=2i(“2).因
14、=1时，该式也成立，故q的通项公式为凡=2，(2)由(1)知%=21,由e=一出一犷+3+2可得-2_2、5+1)5+2)-n+2n+2l12. （2024全国模拟预测）己知数列4满足3”-+32%+.+341+/=4”，wN求数列.的通项公式；,Il17Q）若a证明：彳+百+723,w=1由/I=”因为4-1=3x42+42-13x4”-2（w2）,所以十忌W（2），当2时，M1.+=+.+-+f-1.lijab2b,t34l-l42-l4rt-,-l33144,4z,-2J41117综上，对任总的N*,-+,+7cO-U力2913. （2024全国模拟预测）已知数列%的各项均不小于1,前项
15、和为S=1,2S”-叫是公差为1的等差数列.（1）求数列.的通项公式.（2）求数列黑的前项和Tn.【答案】（1）q=：4/?2+8(+1【分析】（1）利用前项和与通项公式之间的关系判定“是等差数列，再求通项公式即可.（2）对需要求和的数列先进行化简，再利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）由4=1,得2Sa；=l.因为2S“-吗是公差为1的等差数列，所以2S”-d=l+5-l）=z.当2时，25w-1-1=W-I.两式相减，得2。”一片+。3=1，所以07）2=q*又0f,l,所以a”1=一，则。“一%=1,所以“是首项为1,公差为1的等差数列，所以4=1+（-1）=.（2）由（1）可知，S=
16、则Ql_4吁伍_1S；/(“+1)21/5+1)2z1111111=4卜中+中丁-(y1-I4+8/7=417=(1)(w+1)14.（2024安徽模拟预测）已知数列4的首项4=2,且满足+”=3x2”.求”的通项公式;已知求使也取得最大项时的值.（参考值：21.26）【答案】（1）2=2（2）4【分析】（1）由递推关系将己知等式变形为凡u-2*=-q-2），即可求出通项;（2）由已知可设，代入人解不等式组求出即可.IA+【详解】因为1+4=3x2”,所以*2向=-3-2）,又4=2,所以42=0,所以%一2”=0=q=2.（2）由（1）有q=2,所以a=:=*,设=k时，最大，k班(k-l)
17、2kk+k4.853.85又无自Z,所以k=4,所以使他取得最大项时的值为4.15. (2024辽宁一模)已知S”为数列4的前项和，满足S.=；d+ga”-l(wN),且“吗吗吗，成等比数列，当5时，an0.求证：当5时，/成等差数列；求叫的前项和S”.【答案】(1)证明见解析；l-(-l),ln4,N*S”=(125CyWn+2,5,/?N122【分析】利用。用=+1-*得到和%的关系即可证明；结合(1)中结论得4+为=0e5),求出和公比，得到4通项公式，从而根据等差和等比数列前项和公式即可求解.【详解】(1)VSn=l+n-l(1N),2S”=a；+%-2,2Sn+1=%+on+2两式相
18、减,得2+=+-j+zr+-4,即(乌山+4)(4+1-4IT)=。.当5时，z,0,J,an+l-an=f当八5时，qj成等差数列.(2)由q=ga；+ga|-l,解得q=2或=-1,又卬出，的，。4，%成等比数列，由(1)得4t+qt=0(5),进而q=T,而60,q0，从而4=2=%，2(-l)n1,l114；4=，一3,5Sn=,I-(T),14,N*n2-n+2,n5,nN.2216. （2024湖南岳阳三模）已知等差数列/满足：4=2,且q,%,%成等比数歹J.求数列,的通项公式;（2）若等差数列&的公差不为零且数列也r满足:b=”k-0k)求数列也的前项和【答案】（IM=2或=2
19、；(2)Tn=n+n2+1【分析】（1）设数列公差，由条件列出方程，求解后运用等差数列基本量运算即得；（2）求出数列步“的通项公式，根据其形式结构进行拆项和裂项，利用分组求和法与裂项求和法即可求得【详解】（1）设数列,的公差为d,依题意，2,2+d,2+3d成等比数列，所以（2+4）2=2（2+3d）,解得d=0或d=2,当d=O时，an=2当d=2时，an=2+(n-l)2=2n所以数列M的通项公式为4=2或4=2.因为等差数列小的公差不为零，由（!）知2MN）则“G两4n2-l+l111lfl1、4-l?-1)(2+1)22由得S,r=2于是为=S“-Si=一,1,=1Tl2n设I=+,则
20、=,44%当2时，q=l+22+n22nt故gq=g+22T+n2,n,两式作差，得，7=9+2+22w)-2iw=-+2-12,-2lw2”2I72l-2,整理可得骞=7-5+2)x227.49故46,因此满足条件的最小正整数m为7.18. (2024,河北石家庄二模)己知数列4满足4=7,4用=收一3，?,2an,为偶数.写出。2吗，；(2)证明:数列%-6为等比数列；(3)若=，求数列(-3)的前项和S,.【答案】(1)4=4,6=8,a4=5(2)证明见解析(3)SzI=I+57)2【分析】(1)由数列的递推式，分别令=1,2,3,计算可得所求值；(2)推得2m-6=2(%l-6),由
21、等比数列的定义，可得证明；(3)求得,=3+2T,-(2-3)=小2”，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式,可得所求和.【详解】由=7,%+=源鲁，|2q，为偶数.可得。2=43=4：a3=2a2=8；4=tz33=5；(2)证明：由题可得出“+1-6=2。26=242“_1一66=2(%“一1一6),则数列-6是首项为1,公比为2的等比数列；(3)由(2)可得*-6=2j即%t=6+2,2=。2“=。21-3=3+2，n(bl,-3)n2n-it前项和S,r=l20+22+322+.+27,2S11=12+222+323+.+w21_o,r两式相减可得-S=1+2+22+.+2T
22、-g2=3-2,1-2化简可得S.=l+(-1)2”.19. (2024全国模拟预测)已知数列4的前项和为S。，且生=3,2Szf=(q+2).求数列.的通项公式；若存在WN*,使得=+=+?而+1成立，求实数义的取值范围.aa2a2a3Mr+l【答案】(1)q=+1；【分析】（1）当=1时，求得4=2,当“3时,得到2S1=（-1）（加+2）,两式相减化简得到念-怒=-2（七-=结合叠加法，即可求得数列4的通项公式；,111,11111（2）由（1）得到=一一-,求得+=-,4At+1+2a2a2a3anan2/7+2n_1解法1：根据题意，转化为2（：2）2结合2（+2）2=2（“+4），
23、结合基本不等式，即可求解;解法2：根据题意，转化为不7,结合二次函数的性质，即可求解.，（+2/（+2）【详解】（1）解：当=1时，2S=2q=4+2,解得q=2,当3时，2Sn=(a”+2),2Si=(z-l)(%+2),两式相减可得，(-2)%-5-l)%=-2,则J也=一2(-1.n-n-2n-2n-)n-2n-3n-3n-2-=-5+2),a2a3anan.l2(,t+2)11Q即人就广即则UF又由小广*H记,当且仅当=2时取等号，故实数义的取值范围为1-8,.1611111、“7解法2：由+=-(w+2),44a2a3anan.l2n+2可得人环一E=I而力+记当+2=4,即=2时，
24、则44故实数4的取值范围为1-8,士.16IoJ20. (2024湖北二模)已知各项均不为0的数列4的前项和为S“，且q=l,S,=*1.l.(1)求”的通项公式；(2)若对于任意eN24S”成立，求实数义的取值范围.【答案】(l)%=2-l(2)2I【分析】(1)根据题意，得到2时，4Sn.i=an,lan+t两式相减得到.一*=4,得到小吗及均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式；(2)由(1)求得S.=/,证得为a余恒成立，设包=最，求得数列的单调性和最大值，即可求解.【详解】(1)解：因为数列“的前项和为S”，且4=1,S=M；+1.即4Sr,=M+l,
25、当2时，可得4S.t+1,两式相减得4%=an(4+%),因为凡工,故见+1.ql=4,所以4，%，。2.-1，及。24，均为公差为4的等差数列：当=1时，由4=1及S=4用，解得4=3,所以/i=1+45T)=2(2-1)-1,r=3+4(n-l)=2(2n)-l,所以数列M的通项公式为4=2-1.(2)解：由(1)知勺=2-1可得，因为对于任意N2rt-ASn成立，所以；I.恒成立，设=匕则%也=91.W=也毕1.n2+In2*22“.当1-0,1+应,即3N时，-+,QQ所以464么,故()max=4=7,所以27,OO即实数4的取值范围为小+8).21. (2024湖北模拟预测)数列氏
26、中，4=1,出=9,且。源+为=24向+8,求数列4的通项公式；(2)数列2的前项和为5,且满足Y=%,0,求S.【答案】%二42-4+1(2)答案见解析【分析】(1)依题意可得4+2-向=4用一凡+8,即可得到/为等差数列，即可得至UqlH-q=8，再利用累加法计算可得；(2)由(1)可得=(2-1),。也%0,得到与心2同号，再对年分类讨论，利用并项求和法计算可得.【详解】(1)因为4+2+4=2%+8,所以4+2-11=4+1-4+8,所以数列/凡是公差为8的等差数列，其首项为-4=8,于是叫%=8,则q一4li=8(-1),-2=8(-2),l,生一出=8*2,%一4=8,7、(+n-
27、l)(n-,所以fl-q=8(l+2+-l)=8-=4-4，所以4=4-4+152);而4=1符合该式，故q=42-4+1.（2）由（1）问知，an=（2-1）2,则=（2-1）,又与%0,则%0,即她40，为奇数1-2,为偶数因此2与2+2同号,因为4伪0,所以当4=1时，b2=-3f此时=当为奇数时，=(+)+(+)+(-2+-i)=-2-=2,当为偶数时，=(+)+(+)+(-1+)=-2-=-n;当4=一1时，4=3,此时=为奇数为偶数当为奇数时，=(+)+(+)+.+(.2+.1)+=+2=-i,当为偶数时，=(+)+(+)+(-+)=2=:综上，当=1时,S=(I)!；当=T时,S
28、11=(-l)w.22.（2024全国模拟预测）已知，是各项均为正数的数列“的前项和，0,.an,i-3an=0,竽=3,数歹J4是公比为3的等比数歹人.S3=al+a2+ai=a1+3a1+32a1=13,.*.=1,.,.arl=3n1.(2)由(1)知，=(411-I)311-,11b+,+=330+73+ll32+(4n-l)3n,3f=33732+ll33+(411-5)3nl+(411-l)311,一得-2=330+43+432+4311-,-(4n-l)3n=-l4(1-3)1-3-(42-1)3m=-(411-3)3,-3F二(24卜3+(23.(2024湖北黄石三模)已知等差
29、数列4的前项和为S，S7=56,/+/=2。，等比数列也满足4=%,H是勺，4的等比中项.求数列也的通项公式；设数列%满足czf=4,CoS十周如年，求数列qj前4项的和心.【答案】(1也=2或2=(2)Q=y(T)【分析】(1)根据题总结合等差数列可得4,，可得(，根据等比数列通项公式结合等比中项可得q,即可得；(2)由(1)可知：c11=2ncosy+2wsiny,利用分组求和结合并项求和分析求解.【详解】(1)设等差数列依的公差为d,S7=1(a,+3d)=56fa.=2由题意可知：VJM解得：4+6=2(4+41)=20d=2所以4=2+2(九-1)=2.设等比数列也的公比为/则A=q
30、=2,由题意可知：=28=64,则4=64,解得q=2,所以a=22=2或O,=2(-2)i=-(-2)z,.(2)(1)可知：cn=2ncos-+2nsin,22设卜CoSq前4项的和为A”，KSinTb前4项的和为其“，可知Q=A*+%,对任意mN,(4-3)11因为cosCCO.1111=Cos2n11-211+-=cos-=I220,(4zz-2)11-2=cos(211-211+11)=cos11=-lcs(42-l)11=coJ2w11_2兀+m=CoS型=0,2I2J24z11/cccos-=cos(2t11)=cosO=1(4-3)11(4n-2)11(4-1)兀4n11则n-3COSY1.-+aAn_2cos-+4rt_1cos-a4ncos=a4n-2+a4n=2d=所以4,=4n=4n,又因为sin?”=sinf2n11-211yj=siny=1(4-2)11sin-2=sin(2n11-211+1
