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1、-第一章 立体几何初步1.柱、锥、台、球的构造特征1棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。2棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面
2、、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。3棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的局部分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点4圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。5圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面
3、展开图是一个扇形。6圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的局部几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。7球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2.空间几何体的三视图定义三视图：正视图光线从几何体的前面向后面正投影；侧视图从左向右、俯视图从上向下注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。3.空间几何体的直观
4、图斜二测画法斜二测画法特点：原来与*轴平行的线段仍然与*平行且长度不变；原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。4.柱体、锥体、台体的外表积与体积1几何体的外表积为几何体各个面的面积的和。2特殊几何体外表积公式c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线3柱体、锥体、台体的体积公式4球体的外表积和体积公式：V= ； S=第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1.平面含义：平面是无限延展的2.三个公理：1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，则这条直线在此平面.符号表示为ALBL = L AB公理1作用：判断直线是否在平面.2公理2：过不在一条直线上的三点，有
5、且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面，使A、B、C。公理2作用：确定一个平面的依据。3公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P =L，且PL公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. 空间中直线与直线之间的位置关系1.空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面，没有公共点。2.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线abcb强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适
6、用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补.4.注意点： a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1.直线与平面有三种位置关系：1直线在平面 有无数个公共点2直线与平面相交 有且只有一
7、个公共点3直线在平面平行 没有公共点注意：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a来表示a a=A a2.2.直线、平面平行的判定及其性质 直线与平面平行的判定1.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面的一条直线平行，则该直线与此平面平行。(线线平行，则线面平行)符号表示：a b = aab 平面与平面平行的判定1.两个平面平行的判定定理：一个平面的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab = P ab2.判断两平面平行的方法有三种：1用定义；2判定定理；3垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1.直线与平
8、面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 (线面平行,则线线平行)符号表示：aa ab= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。符号表示：= a ab= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定1.定义：如果直线L与平面的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面互相垂直，记作L，直线L叫做平面的垂线，平面叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。PaL2.直线与平面垂直
9、的判定定理：一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线这一条件不可无视；b)定理表达了“直线与平面垂直与“直线与直线垂直互相转化的数学思想。平面与平面垂直的判定1.二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形Al B2.二面角的记法：二面角-l-或-AB-3.两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.32.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2.两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线与另一个平面
10、垂直。第三章 直线与方程1直线的倾斜角定义：*轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与*轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是01802直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示，即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线l与*轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线l与*轴垂直时, = 90, k 不存在.当时，； 当时，； 当时，不存在。过两点的直线的斜率公式：注意:(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通
11、过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。3直线方程点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于*1，所以它的方程是*=*1。斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：直线两点，截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为一般式：A，B不全为0注意：各式的适用围特殊的方程如：平行于*轴的直线：b为常数； 平行于y轴的直线：a为常数；6两直线平行与垂直当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行
12、与垂直时，要注意斜率的存在与否。7两条直线的交点相交，交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无数解与重合8两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则9点到直线距离公式：一点到直线的距离10两平行直线距离公式两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为第四章 圆与方程1.圆的定义：平面到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2.圆的方程：1标准方程：，圆心，半径为r；点与圆的位置关系：当，点在圆外当=，点在圆上当，点在圆2一般方程：当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。3求圆方程的方法：一般都采用待定系数
13、法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，假设利用圆的标准方程，需求出a，b，r；假设利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3.直线与圆的位置关系：与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：1设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；2过圆外一点的切线方程：k不存在，验证是否成立k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(*-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(*0，y0)，则过此点的切线方程为(*0-a)(*-a)+(y0-b)(y-b)= r24.圆与圆的位置关系：设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和差，与圆心距d之间的大小比拟来确定。a) 当时两圆外离，此时有公切线四条；b) 当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，公切线一条；c) 当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；d) 当时，两圆切，连心线经过切点，只有一条公切线；e) 当时，两圆含； f) 当时，为同心圆。注意：1.圆上两点，圆心必在中垂线上；两圆相切，两圆心与切点共线2.圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点. z.
