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1、第17章勾股定理典型题解题策略讲解及变式训练第1题如图6-1所示在AABC中,ABC=150,AB=2,BC=2,以AB为直角边向外作等腰直角三角形BAD、以BC为斜边向夕M乍等腰直角三角形BEC,连接DE,求线段DE的长.解题策略因为ABAD是等腰直角三角形，所以易知BD=BC=2,NDBC=60。.进而可得ABCD是等边三角形.又因为BEC是等腰直角三角形，所以DE垂直平分BC然后分别求出OE和OD即可.解如图6-2所示,连接CD,设DE交BC于点O.VAB=AD=2,BAD=90,BD=2,ZABD=45o.BD=BC=2,ZDBC=ZDBA+ZABC=60o.ZXBCD是等边三角形.*
2、.BD=CD=2.、VBE=CE,DEBC,OB=OC.(BDE=-ABDC=30BED=乙BEC=45.22,：ZOBE=ZOEB=45o,BC=2,.OE=BO=BC=I.在RtBOD中.OD=FD2-OB2=22-I2=3,：.DE=OD+OE=yf3+l.解后反思本题考查等腰直角三角形、等边三角形的性质和判定、D图62勾股定理以及中垂线的判定.本题中ABED的其中两个内角分别为30。和45。,，通过作高即可得到两个特殊的直角三角形变式1如图6-3所示,已知BC=病,48=4=45的长.C/aB图6-3,所以只要知道ABED的任意一边的长，其他两边的长就可以求出.,求AC的长.如图6-4
3、所示,在AABC中,NB=6()o,AC=70,AB=30或BCA图67变式2在ZkABC中.已知AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,求BC的长.变式3如图6-5所示,在BC中.已知点D是BC的中点,AB=43j4C=2AD=3,求BC的长及ZkABC的面积.第2题如图6-6所示在AACB中,AD平分NCAB,CD=15,BD=25,求AC的长.解题策略看到题目中的“AD平分NCABQC_1.AC,马上想到角平分线的性质，故过点D作DElAB于点E,得DE=CD,进而易知AE=AC在RtBED中利用勾股定理求出BE.最后在RtACB中，利用勾股定理建立关于AC的方程，求出AC即可.
4、解如图6-7所示过点D作DEAB于点E,设AC=X.:AD平分NCAB,DC_1.AC,DEJ_AB,：DE=CD=15.:在RtACD和RtAED中，AC=JAD2-CD2tAE=yAD2-DE2.*.AE=AC=X.在RtBED中.BE=yBD2-DE2=252-152=20,.AB=AE+EB=X+20,BC=40.在RtACB中，VAC2+BC2=AB2,X2+402=(%+20)2.x=30.：.AC=30.解后反思本题考直角平分线的性质、勾股定理以及利用勾股定理建立方程模型求未知数.当直角三角形中的一条边a已知，而另两边b和C未知，但存在某种相关关系时，一般可设b=X,然后用含X的
5、代数式表示c,最后利用勾股定理建立关于X的方程，解得X的值即可求出b和c变式1如图6-8所示在RtACB中,已知Z-ACB=90。,CD14B于点D,AB=13,CD=6,求AC+BC的长.变式2如图6-9所示,已知AD1ABtBE1AB1AB=20,AD=8,BE=12,点C为AB上一点.且DC=CE,求AC的长.变式3如图6-10所示,在RtACB中,NC=90。,点D是BC上的一点.BD=9,AD=10,AB=17*BC的长如图6-11所示,在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A.C的坐标分别为(4,0),(0,3)将AOCA沿线段CA翻折得到ADCA.且DA交CB于点E.求证:EC=
6、EA.求点E的坐标.解题策略(D由矩形OABC和翻折可得。川8C,NOAC=NCAe.通过“倒角”易知ACE=KC4瓦故CE=AE.(2)要求点E的坐标.只需求CE的长即可.由知CE=AE,设CE=x,则AE=x.BE=4-x.然后根据勾股定理建立关于X的方程，最后求出X的值即可.解(1):四边形OABC是矩形，OA=BC,AB=OC,OA/BC,.ZOAC=ZACe.,.OCA翻折得到ZkDCA,：ZOAC=ZCAe.：ZACE=ZCAe.CE=AE.(2)设CE的长为X,则AE=x,BE=4-x. 点C的坐标为(0,3),AB=OC=3.在RtABE中，BE2+AB2=AE2,(4-x)2
7、+32=x2,25:X=.8 点E的坐标为(个，3).解后反思本题考酰形、翻折变换、勾股定理以及通过建立方程模型求线段的长.当题目中出现翻折操作时，一定要先标出或指明由翻折可以得到的结论：相等的角、相等的线段和对应点.这些结论对思考问题非常有益.翻折操作经常以直角三角形或矩形为背景进行，一般需要借助勾股定理建立方程模型求一些线段的长.变式I如图6-12所示，一张直角三角形ACB的纸片，两直角边AC=6,BC=8,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.图6T?_.变式2如图6-13所示.在矩形ABCD中8=6fBC=8,l先把它对折，折痕为EF,展开后再沿B
8、G折叠.使点A落在EF上的点.必处，求第二次折痕BG的长.图6-13变式3如图6-14所示，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8,BC=Io,求EC的长.D三6-14某市政府计划在宽为28米的海堤公路的路边安装路灯.如图6-15所示,路灯的灯臂CD长为3米,且与灯柱CB成120。角.路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线AD与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线AD通过公路路面的中轴线时,照明效果最理想.应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果（精确到OO1）?（下列健供参考：21.414,61.732,52.236.）解题策略因为.乙BCD=120。,乙WC=90。,，所以分别延长A
9、D.BC交于点E,易知RtABE和R（CDE是两个含30。的直角三角形.然后利用含30。角的直角三角形的性质和勾股定理即可求出BC的高度.解:如图6-16所示,分别延长AD.BC交于点E.1.BCD=120, 乙DCE=60.又NCDE=90。， ZE=30o.CE=2CD=6（M）.B=90。ZE=30,48=282=14（米），.AE=2AB=28（米）.在RSABE中.BE=1E2-AB2=282-142=143（K）.:BC=BE-CE=143-618.25（米）.解后反思本题是一道考查勾股定理应用的实际问题，题目考杳的图形是一个含特殊内角（120吓口90。）的四边形.求解方法是借助特
10、殊钝角120。的邻补角60。,，分别延长四边形的两边得到两个含30。角的直角三角形.当题目中出现特殊锐角（30。,45。和60。）时，经常需要作高或补全图形来构造含特殊角的直角三角形.当题目中出现特殊钝角（120。,135。和150。）时，经常需要借助其邻补角来构造特殊的直角三角形.变式1如图6-17所示,在四边形ABCD中,AB=AD=6,A=60。,DC=150,已知四边形的周长为30,求四边形ABCD的面积.图6-17变式2如图6-18所示.在四边形ABCD中.AB1BC,AB=1,8C=2,CD=2,AD=3,求四边形ABCD的面积.变式3如图6-19所示,在四边形ABCD中,AB=2
11、,CD=1,乙4=60。ZB=ZD=90。,求四边形ABCD的面积.图6-20图6-21第5题如图6-20所示,在ZkABC中.AB=AC=5,BC=6点D在BA的延长线上,且CD=CB,求AD的长.解题策略要求AD的长，需要构造出包含AD的直角三角形，因为CD=CB,所以借助等腰三角形三线合一的性质作高，过点C作CEBD于点E,设AE=x.然后借助RtAEC和RtBEC的公共直角边CE,建立关于X的方程，求出X的值，即可得到AD的长.DD解如图6-21所示过点C作CElBD于点E,设AE=x.：BC=CD,BE=DE=5-x.在RtAEC和RtBEC中.CE2=AC2-AE2=S2-x2,C
12、E2=FC2-BE2=62-(5-x)2f:52-x2=62-(5-X)2.解得X=371Q.FE=DE=5x=5-=.AD=DE-AE=解后反思本题考查等腰三角形三线合一的性质,勾股定理以及根据两直角三角形的公共边，建立方程模型求线段的长.一般来说，要求一条线段的长，经常需要利用勾股定理来求，而在利用勾股定理前，首先找到包含所求线段的直角三角形，如果不存在，需要作高来构造包含所求线段的直角三角形，有时当直接求一条线段比较难操作(即使已经作高)，可以采用间接法，先求与之相关的线段，然后再翻过来求所求线段.变式1如图622所示,在AAOB中,乙4。8=90,AO=3,BO=6,AOB绕顶点0逆时
13、针旋转到AQB处，此时线段AB与BO的交点E为Bo的中点，求线段.夕E的长.图6-22变式2如图6-23所示,在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=4,点P是AD上一动点.且PE14C于点E,PF1BD于点F,求PE+变式3如图624所示,在ABC中,乙SB=120。,AB=4,AC=2,AD1BC.,点D是垂足,求AD的长第6题如图6-25所示,在AABC中.AB=AC点P是BC上的一点.求证：AC2=AP2+CP-BP.解题策略因为所证的等式中含有线段的平方项，所以需要构造包含AC和AP的直角三角形,故过点A作ADlBC于点D,可得AP2=AD2+PD2fAC2=AD2+CO?化简ac2_
14、Ap2=i4D2+CD2-(AD2+PD2)6PrJ.A解如图6-26所示,过点A作AD_1.BC于点D/VAB=AC,/BD=CD.图6-25在RSADP和RtADC中.AP2=AD2+PD2tAC2=AD2+CD2.AC2-AP2=AD2+CD2-(AD2+PD2)=CD2-PD2=CD2-(CP-CD)2图6-26=-CP2+2CPCD=CP(-CP+2CD)=CP(BC-CP)=CPBR：.AC2=AP2+CP-BP.解后反思本题考查勾股定理、整式的化简和等腰三角形的三线合一性质.当所求问题是含线段平方项的若干条线段之间的数量关系时，首先通过作高构造出含平方项的线段的直角三角形.在直接
15、构造直角三角形行不通时，可以尝试添加适当的辅助线将其转化为其他线段，然后用勾股定理将其替换并代入所求问题中,最后一步一步化简即可.变式1如图6-27所示,在R(ACB中“=90。,点D为AB的中点,点E.F分别在AC.BC上,且DE_1.DF.求证:AE2+BF2=EF2.变式2如图6-28所示,ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=乙DCE=90。,点D为AB边上一点.求证:AD2+AE2=DE2.图6-28变式3如图6-29耐在ZiACB中,乙C=90。,AM=CM,MP1AB于点P.求证：BP2=AP2+BC2.图6-29第7题如图6-30所示，在平面直角坐标系中，RtOAB的直角顶
16、点A在X轴的正半轴上，ZF=60AB=百,点C的坐标为90）,点P为斜边OB上的一个动点，求PA+PC的最小值.解题策略求PA+PC的最小值是最短距离问题，故作点A关于OB的对称点D.连接CD交OB于点P.连接AP,则此时PA+PC的最小值为CD.过点D作DNl04于点N,根据乙B=60。,AB=G利用勾股定理求出AM和AD,DN和CN,最后根据勾股定理求出CD.解如图6-31所示,作点A关于OB的对称点D,雌CD交OB于点P,连接AP,过点D作DNl0力于点N,此时+PC的值最小.：DP=PA,PA+PC=PD+PC=CD.,在ROAB中,NB=600,AB=yf3,.OB=2AB=23tO
17、A=3.VSoab=OAAB=OBAM,AM=W2.AD=2=3.VAMB=90,48=60,/.NBAM=30.：NBAo=90。，二NoAM=60。.VDNOA,NNDA=30.AN=-AD=-,DN=.22,2点C的坐标为6，0）,Cv=3-i-z=1.22在RtDNC中,DC=cjv2+DZV2=Ji2+（苧_亨，即PA+PC的最小值是亨解后反思本题本质上是一道最短路线问题，考查轴对称、勾股定理、含30。角的直角三角形性质以及作高构造直角三角形求线段的长.最短路线问题的特征是两定点分别到一条直线上的动点的距离之和，拓展的最短距离问题还有已知角（尤其平面直角坐标系内）的三角形周长最小问题
18、和四边形周长最小问题.变式1如图6-32所示,在ZiACB中.NC=900,NB=300,BC=8,D为AB中点.P为BC上TJ点.连接AHDH求AP+DP的最小值.变式2如图6-33所示,两个村庄A,B在河CD的同侧，A,B两村到河的距离分别为AC=1,BD=3,CD=3.现要在河边CD上建造一水厂、向A.B两村送自来水.铺设水管的工程费用为每千米20OOO元，请在CD上选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W.图6-33变式3请阅读下列材料：问题：如图6-34所示，点A,B在直线1的同侧，在直线1上找一点P,使得AP+BP的值最小.小明的思路：如图6-35所示,作点A
19、关于直线1的对称点.4,连接4氏则48与直线I的交点P即为所求.B图6-34A*请参考小明的思路，探究并解决下列问题：如图6-36所示.在图6-35的基础上.设与直线1的交点为C,过点B作BD11,垂足为点D.若CP=1.PD=2,AC=I,写出AP+BP的值：将中的条件AC=r去掉,换成“BDF-AC;其他条件不变写出此时,AP+BP的值；(3)请结合图形，直接写出(2m-3)2+1+(8-2m)2-4的最小值.如图6-37所示,点P是等边三角形ABC内一点将AABP绕点B逆时针旋转60。得至JaCBM.PA=2,PB=23,PC=4,ABC的边长解题策略由旋转的性质可知AABPgACBM.
20、易得APBM是等边三角形,所以CM=PA=2,PM=PB=21由勾股定理的逆定理可知NCMP=90。,故NCMB=I50。.借助其令肝卜角，过点B作BNICM交CM的延长线于点N,易求MN和BN的长.最后在RtCNB中,即可求出BC的长.解,ABP绕点B逆时针旋转60。得到ACBM,ABPCBM.CM=PA=2,PB=BM.：ZPBM=60o,.PBM是等边三角形.PM=PB=23.22+(23)2=42,.乙CMP=90o.ZCMB=150.如图6-38所示过点B作BNCM交CM的延长线于点N.乙BMN=180o-CMB=30,.BN=ABM=3.2由勾股定理可得MN=3,图6-38CN=M
21、N+CM=5.在RtCNB中,BC=yCN2+BN2=Js2+（3）2=27.解后反思本题综合考查旋转的性质（旋转全等）、全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、含30。角的直角三角形的性质以及借助特殊钝角的邻补角作垂线，构造含特殊角的直角三角形.当求一条线段的长时，一般把它看作某个含特殊角（钝角或锐角或直角）的三角形的一边，将所求问题转化为解三角形的问题.变式1如图6-39所示,在正方形ABCD中.点P是正方形ABCD内一点把ABP绕点B顺时针旋转90。狷ZkCBE,连接PE,PC.B知APB=135,PA=2,PB=1,求Pe的长.变式2如图6-40所示，已知点E为等边三角形ABC内任意一点，AE=XtBE=ItCE=百,求乙4EC的度数图6-40变式3如图6-41所示.48C是等腰直角三角形，AB=AC,.D是斜边BC的中点.点E.F分别是AB.AC边上的点.且.DE1DF.
