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1、第一章行列式第一节二阶与三阶行列式一、选择题XyO1.设x,y为实数且一)，XO=O,则(D)OX1（八）%=O,y=1(B)X=-l,y=l(C)x=l,y=-l(D)x=O,y=O【大纲考点】考查三阶行列式的计算.【解题思路】利用对角线法则.XyO【答案解析】解：-yXO=x2+=0=y=O,故答案选。.OX1【名师评注】二阶、三阶行列式的计算是基础，务必要掌握.二、填空题X232.设有行列式-IxO=0,则X=1,20X1【大纲考点】考查三阶行列式的计算.【解题思路】利用对角线法则.X23【答案解析】解：-1X0=f-3x+2=(x-l)(x-2)=0,解得x=l,2.0X1【名师评注】
2、二阶、三阶行列式的计算是基础，务必要掌握.三、计算题143.计算二阶行列式23【大纲考点】考查二阶行列式的计算.【解题思路】利用对角线法则.14【答案解析】解：=l3-42=-5.【名师评注】二阶、三阶行列式的计算是基础，务必要掌握.1O54.计算三阶行列式143247【大纲考点】考查三阶行列式的计算.【解题思路】利用对角线法则.1 O5【答案解析】解：143=28+0+20-40-0-12=-4.2 47【名师评注】二阶、三阶行列式的计算是基础，务必要掌握.10-35.计算三阶行列式20-1.-342【大纲考点】考查三阶行列式的计算.【解题思路】利用对角线法则或者用行列式展开定理.10-3【
3、答案解析】解法一：20-1-24+4=-20.-3421 0-31_3解法二：20_=4x(_1)2_=4x(-5)=-20.-342一【名师评注】二阶、三阶行列式的计算是基础，务必要掌握.第二节全排列和对换一、选择题6.下面4个5阶排列中，逆序数为5的排列是(D).（八）21345(B)31245(C)54123(D)51243【大纲考点】考查逆序数的求法.【解题思路】计算一个排列的逆序数主要有两种方法：按排列的次序分别计算出每个数的后面比它小的数的个数，而后再求和；按自然数的顺序分别计算出排在1,2,3,前面比它大的数的个数，再求和.【答案解析】解：排列21345的逆序数为0+1+0+0+
4、0=1排歹IJ31245的逆序数为0+1+1+0+0=2排列54123的逆序数为0+1+2+2+2=7排列51243的逆序数为0+1+1+1+2=5,故答案选。.【名师评注】这是行列式定义的基础.7 .按自然数从小到大的为标准次序，那么排列21736854逆序数的是（八）.（八）IO(B)9(C)8(D)7【大纲考点】考查逆序数的求法.【解题思路】计算一个排列的逆序数主要有两种方法：按排列的次序分别计算出每个数的后面比它小的数的个数，而后再求和；按自然数的顺序分别计算出排在1,2,3,前面比它大的数的个数，再求和.【答案解析】解：排列21736854的逆序数为0+1+0+1+1+0+3+4=1
5、0,故答案选A.【名师评注】这是行列式定义的基础.二、填空题8 .排列517924的逆序数为7.【大纲考点】考查逆序数的求法.【解题思路】本题考查逆序数计算的方法.计算一个排列的逆序数主要有两种方法：按排列的次序分别计算出每个数的后面比它小的数的个数，而后再求和；按自然数的顺序分别计算出排在1,2,3,前面比它大的数的个数，再求和.【答案解析】解：排列517924的逆序数为0+1+0+0+3+3=7.故填7.【名师评注】这是行列式定义的基础.9 .排列13(2九一1)24(2)的逆序数为若1.【大纲考点】考查逆序数的求法.【解题思路】本题考查逆序数计算的方法.计算一个排列的逆序数主要有两种方法
6、：按排列的次序分别计算出每个数的后面比它小的数的个数，而后再求和；按自然数的顺序分别计算出排在1,2,3,前面比它大的数的个数，再求和.【答案解析】解：排列的逆序数为0+0+-1+-2+1+0=(-1)/2.,十(n-l)故填二乙2【名师评注】这是行列式定义的基础.第三节阶行列式的定义一、选择题10 .阶行列式的展开式中含41出2的项共有(C)项.（八）O(B)-2(C)(n-2)!(D)n【大纲考点】考查阶行列式的定义.【解题思路】阶行列式的通项为位于不同行不同列的个元素的乘积，即4力出入，%【答案解析】解：固定行标为自然排列，列标从3到进行全排列，有5-2)!种排法，故含4修22的项共有(
7、2)!项，显见答案选C.【名师评注】理解阶行列式的定义，知道阶行列式的三要素(通项，符号，总项数).000-100-1011.阶行列式。二000,当二(C)时，0.-1000（八）3(8)4(C)5(D)7【大纲考点】考查阶行列式的定义.【解题思路】阶行列式的通项力加2二。矶的符号由列标的逆序数的奇偶决定,奇数为负号，偶数为正号.【答案解析】解法一：排列321的逆序数为3,故2=(T)(-1)=1排列4321的逆序数为6,故2=(T)6(7)4=1排歹U54321的逆序数为10,故。$=(T)K),(-1)5=-1排列7654321的逆序数为21,故Q=(-1/(T)=1_111(n-l)h(
8、11+)解法二：Dtl=n3=(-1)-.(-If=(-1)-1nn457w(n+l)/,当=5时，。=一1=-5,则下列行列式中，等于一10的是(O).（八）21,22,2a3,26r4(B)+aj(C) ap1a2,a1+a2+a3,a1+a2+a3+a4(D) Ia+%+%+。4，&一【大纲考点】考查抽象行列式的计算.【解题思路】利用行列式的性质，结合方阵对应的行列式的性质来得出计算结果.【答案解析】解：由Z)=Iala23=-5W,(A) D1=2a12a22%2a4=24a1a2a3=24D=-80(B) D2=1+2a2+3a3+4+cl-C2+C3-Q.I0a2+3%+%4+%=
9、0(C)Z=alal+a2al+a2+aial+a2+a3+a4%+?3a4cfIqFI=Ialala2al-ka2+ay&I=IalQfII=%a2%(x4=D=-5(D)D4=l2a2+%+4%-囚|=Iala2+3a3+44-al+2a23a3+a4a4-a1=A+6A=rlal。2a、a4=DQF3+1与丁Zrla2%4-蜀二(T厂14%/a1=。即得2=A+4=。+。=2D=TO,故答案选D【名师评注】熟悉行列式与矩阵的联系与区别，区别它们性质的不同之处是解题的关键.二、填空题22 .各列元素之和为O的n阶行列式的值等于O.【大纲考点】考查行列式的性质与计算.【解题思路】【答案解析】
10、把各列都加到第一列上，出现O歹U,得行列式的值为0.填0.【名师评注】熟悉行列式的性质是解题的关键.解：D11=a1,2,J=l+2+,pa2,an=,a2,an=O,故23 .一个阶行列式。的值为d,若将。的所有元素改变符号得到行列式小，则悭(T)d.【大纲考点】考查行列式的性质.【解题思路】结合原行列式，给每行提取公因子，得到新行列式和原行列式的关系得结果.【答案解析】解：O“二卜四,_%，=(-1)”%=(-故填(一l)d.【名师评注】熟悉行列式的性质是解题的关键.24.如果=1,则a-351b-321c-3141【大纲考点】考查行列式的性质.【解题思路】利用行列式与其转置相等和倍加不变
11、性可得结果.【答案解析】解:a3I11l1H=llbO1a-3b-32c-341.【名师评注】熟悉行列式的性质是解题的关键.25.如果即21%2,则2&2al2-213为222a22-2a232旬2422。33=-16.【大纲考点】考查行列式的性质.解:2出2%2a32【解题思路】利用行列式的拆项，成比例为0的性质，再提取公因子，即得结果.【答案解析】2%-2%2a22-2a23=21Ia2Ia2-2a3=231a2a2-a32%-2%3=8(a22+1a2-a3)=8(-A)=-16【名师评注】熟悉行列式的性质是解题的关键.三、计算题12326.计算行列式D=O12【大纲考点】考查三阶行列式
12、的计算.【解题思路】利用对角线法则,或用倍加不变性化为上三角行列式.【大纲考点】考查行列式的性质.【解题思路】利用行列式的拆项，成比例为O的性质，再提取公因子，即得结果.103100201100+3100200+1【答案解析】解：D=199200398=200-1200400-2301300603300+1300600331001311=-1200-2=100-12-2=3200.13003133【名师评注】二阶、三阶行列式的计算是基础，务必要掌握.3111131128.计算行列式O二11311113【大纲考点】考查行列式的计算.【解题思路】这是属于各行（列）相加相等的类型，通用办法是先把各行
13、（列）都加到第一行（列）上，提取公因子再化为上（下）三角行列式.【答案解析】解：Q=6666=623=48.【名师评注】根据行列式的特点结合性质化为三角行列式是行列式计算的基本方法.29.计算行列式O=111112OO1O3O【大纲考点】考查行列式的计算.【解题思路】对于“爪”型行列式，计算的一般原则是利用行列式的性质消去第一列（行）的非零元素,将其转化为上三角行列式或者下三角行列式.【答案解析】解：D=I11112OO1O3O1O()41A-/=2.3.423OOO1234=2.234j【名师评注】根据行列式的特点结合性质化为三角行列式是行列式计算的基本方法.b+cc+aa+b30.计算行列
14、式Z）=bb2【大纲考点】考查行列式的计算.【解题思路】根据行列式的特点，把第2行各元素加到第1行的对应元素上，从第1行提出公因子，化为范德蒙德行列式.b+cc+ac+a+ba+b+c【答案解析】解：Dbb2=(a+b+c)b2c2bb2=a+b+c)(c-b)(c-a)(b-a).【名师评注】熟悉行列式的性质和范德蒙德行列式的特点和结论是解此题的关键.1230002031.计算行列式八30450001【大纲考点】考查行列式的计算.【解题思路】利用行列式按行按列展开定理.12300020z12【答案解析】解：D=l（-2）=12.JVzIJJVz0001【名师评注】熟悉行列式计算的降阶法即按行
15、按列展开是解此题的关键.1234234132.计算行列式O二34124123【大纲考点】考查行列式的计算.【解题思路】这是属于各行（列）相加相等的类型，通用办法是先把各行（列）都加到第一行（列）上，提取公因子再结合性质利用降阶法求解.1023412341234103411341011-3【答案解析】解：O=10-=10-1()412141201-311012311230-31111-3=101-31=160.-311【名师评注】根据行列式的特点结合性质利用按行按列展开是行列式计算的基本方法.21413-12133.计算行列式O=I2325062【大纲考点】考查行列式的计算.【解题思路】此行列式
16、无特点，利用倍加不变性把第一行加到第二行上，得到第二行与第四行相等，直接得计算结果.21412143-121506-1232-30-55062506【答案解析】解：。=0.1202【名师评注】对于无特点的行列式一般采用倍加不变性结合降阶法计算.ahcd2,221234 .计算行列式Z)=:;M.abcdb+c+da+c+da+b+da+b+c【大纲考点】考查行列式的计算.【解题思路】根据行列式的特点，把第1行各元素加到第4行的对应元素上，从第4行提出公因子，再依次对调行列式的相邻两行，将原行列式转化为范德蒙德行列式.abed-4.fj2C1d2【答案解析】解：D=333,3abcdb+c+da
17、+c+da+b+da+b+c=(a+b+c+d)bb2及17d2d23d,=-(a+b+c+d)1Ibcb2c2hyc31dd2diabCda1b2c2d2/dya+b+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+d=-(a+b+c+d)(b-d)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).【名师评注】熟悉行列式的性质和范德蒙德行列式的特点和结论是解此题的关键.第五节行列式按行列展开一、选择题35 .已知4阶行列式中第2行元素依次是-4,0,1,3,第4行元素的代数余子式依次为-2,5,l,x,则X=(B).（八）O(B)-3(C)3(D)2【大纲考点】考查行列式按行按列展开定理.【
18、解题思路】行列式的某行(列)元素与另一行(列)元素的代数余子式之积的和为零.【答案解析】解：由第二行元素与第四行元素的代数余子式之积即(-4)x(-2)+05+ll+3=0解得x=-3.故答案选8.【名师评注】利用按行按列展开定理是计算行列式的基本方法.36 .已知2阶行列式。的某一行元素及其余子式都等于则。=（八）.（八）0(B)-a2(C)2(D)2na2【大纲考点】考查行列式按行按列展开定理.【解题思路】行列式的值为某行(列)元素与其对应元素的代数余子式之积的和.【答案解析】解：行列式按某行展开即O=(T严+(T)+2.+1.a-X)i+2na2阶行列式每行有2个元素，不妨设某行为奇数行
19、于是有D=a2-a21.+a2-2=0,故答案选A.【名师评注】利用按行按列展开定理是计算行列式的基本方法.二、填空题一abedOOOab00037 .四阶行列式a八八OcOOOOJO【大纲考点】考查行列式的定义和按行按列展开定理.【解题思路】按定义该行列式只有一项非零，或者按行(列)展开.【答案解析】解法一：行列式的非零项为44%2%3而排列4123的逆序数为0+1+1+1=3,故行列式的值为D4=-abed.解法二：将行列式按第一行展开：bOO?OOOX=a(-l)i4OcO=-abed.OcOOOOJOOdo【名师评注】利用定义和按行按列展开定理是计算行列式的基本方法，同学们务必要掌握.
20、12338.设有行列式-1X0,则元素1的余子式“21=2-3X,元素2的代数余子式0X1A2=1【大纲考点】考查行列式余子式和代数余子式的概念和计算.【解题思路】某个元素的余子式即去掉元素所在行和列剩下的元素位置不变所得的低阶的行列式，代数余子式是给余子式冠以符号，符号由元素的下标和的奇偶决定.23【答案解析】解：元素一1的余子式Mzi=.=2-3x,X1.?-10元素2的代数余子式A,2=(T)0=1.【名师评注】会计算余子式和代数余子式是应用按行按列展开的基础.39.已知3阶行列式中第一列的元素依次为1,2,1,其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列【大纲考点】考查行列式按行按列展开定
21、理.【解题思路】行列式的值为某行(列)元素与其对应元素的代数余子式之积的和.【答案解析】解：行列式按第一列展开即。3=1x3-2x2+ll=0.【名师评注】已知某行元素与其对应的余子式或代数余子式即用按行按列展开定理.1234234140.设四阶行列式Q=342=(a,y),&表示元素%的代数余子式，则4123Au+2A243A544A44=0.【大纲考点】考查行列式按行按列展开定理.【解题思路】计算代数余子式的代数和时一定先观察行列式的特点和代数余子式的系数之间是否有对应关系再应用按行按列展开定理的推论计算.【答案解析】解法一：A4+244+3A34+4A44可看成。中第一列各元素与第四列元
22、素对应的代数余子式乘积之和，故其值为0.解法二：利用代数余子式与该元素自身取值无关，将第四列元素换成代数余子式的系数，利12312342用按行按列展开定理得A4+244+344+4Am=413=4124【名师评注】该题也可以先计算各个代数余子式，但是费时费力还容易出错，所以最好是用上述方法.141.设四阶行列式O=IaJ52 343 21A1C，为。中元素a，.(i,=l,2,3,4)的代0-121-16数余子式，则4A41+3A42+2A43-A44=0.【大纲考点】考查行列式按行按列展开定理.【解题思路】计算代数余子式的代数和时一定先观察行列式的特点和代数余子式的系数之间是否有对应关系再应
23、用按行按列展开定理的推论计算.【答案解析】解：利用代数余子式与该元素自身取值无关，将第四行元素换成代数余子式的系数，利用按行按列展开定理得4A41+3A42+2A43A44=4A413A422A43+A442A44=02A44312=4-11=012而A44=4310故4A41+3A42+2A43A44=0.【名师评注】计算AM也可以直接用对角线法则该题也可以先计算各个代数余子式，但是费时费力还容易出错，所以一般不采用.三、计算题4124120242.计算行列式O二105200-1-1-7【大纲考点】考查行列式的计算.【解题思路】此行列式无特点，利用倍加不变性把第一列除了1以外的元素都化为0,
24、然后按列展开，降为三阶行列式，利用对角线法则计算得结果.41240-72-4-72-412021202【答案解析】解：。=10520=0-152-20=-152-20=0.1170-1-1-70-1-1-7【名师评注】对于无特点的行列式一般采用倍加不变性结合降阶法计算.3040222243.设行列式O=_700,求行列式中元素5的余子式和代数余子式.53-22【大纲考点】考查行列式余子式和代数余子式的概念和计算.【解题思路】某个元素的余子式即去掉元素所在行和列剩下的元素位置不变所得的低一阶的行列式，代数余子式是给余子式冠以符号，符号由元素的下标和的奇偶决定.040【答案解析】解：元素5的余子式
25、.=xw+(-1)-,j000Xy00OX【答案解析】解：行列式的非零项为。（“-1乂”.1）。”和。12234n-l）%Dn=【名师评注】非零元素特别少（一般不多于2个），可直接利用行列式的定义求解.第六节克拉姆法则一、选择题x1x2+x3=146.三元一次方程组，2玉-9+3.=4的解中，未知数超的值必为(D).4x1+x2+9x3=16（八）1(B)-2(C)-(D)-36【大纲考点】考查求解非齐次线性方程组.【解题思路】用克莱姆法则，注意到系数行列式为范德蒙德行列式，利用公式求解方程.【答案解析】解：因为方程组的系数行列式是范德蒙行列式，于是有Illl1D=2-13=2-141922(
26、-1)213=(-1-2)(3-2)(3-(-1)=-12.3213=(4-2)(3-2)(3-4)=-2.32根据克莱姆法则，招二2其中DIllllD2=243=2441692242于是X,=1,所以应选(。).6【名师评注】注意到方程组的系数行列式是范德蒙德行列式的标准形会简化计算.二、填空题xl+x2+x3=0,47.三元一次方程组芭+4+曰=，有非零解，则4=1或2.2x1+Ix2+xi=0【大纲考点】考查齐次线性方程组有非零解的充要条件.【解题思路】齐次线性方程组有非零解的充要条件为系数行列式为零.【答案解析】解：因为D=12111Ia11闫1A2A2202-1Q+61二1A2+l1
27、=(-l)(-2),于是，根据齐次线性方程组有非零解的条件，(-l)(-2)=0,即/1=1或2=2.【名师评注】计算系数行列式时也可直接利用对角线法则.三、计算题48.用克莱姆法则求解非齐次线性方程V2xl-312+2x3=-3x1+4x2-3x3=6TtXx-X2-X3=X【大纲考点】【解题思路】【答案解析】考查求解非齐次线性方程组.用克莱姆法则.解：系数行列式2-3214-33-1-10-11140-138-38=-16.根据克莱姆法则，%=*,i=1,2,3其中-3612-3-1-610-I-154-178一38=16，-114-13-15=8.6-17于是有=4=1.,x2=2=,D
28、2D【名师评注】计算行列式时也可以直接用对角线法则，求解非齐次线性方程组也可以用初等行变换的方法.49.当；I满足什么条件时，非齐次线性方程组2x1+x2-x3=1xx-x1+x3=24x1+5x2-5x3=-1【大纲考点】考查非齐次线性方程组有唯解的充要条件.【解题思路】非齐次线性方程组有唯一解的充要条件为系数行列式不为零.【答案解析】解：因为-1O=(5+4)(-1),有唯一解.4于是，根据非齐次线性方程组有唯一解的条件，(5+4)(-l)0,即义工-1且4工1.【名师评注】计算系数行列式时也可直接利用对角线法则.0r1x2+x3=050.当。,。满足什么条件时，齐次线性方程组x1+bx2+xi=0只有零解.x1Ibx2+x3=0【大纲考点】考查齐次线性方程组只有零解的充要条件.【解题思路】齐次线性方程组只有零解的充要条件为系数行列式不为零.【答案解析】解：因为a11a-D=b=12h11于是，根据齐次线性方程组只有零解的条件，得l-4)w,即人WO且。工1.【名师评注】计算系数行列式时也可直接利用对角线法则.
