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1、专题一次函数与几何图形的综合问题类型一、面积问题例.如图，一次函数K会与反比例函数)，N的图象相交于A(2,8),B(8,n)两点,连接AO,B0,延长AO交反比例函数图象于点C.(1)求一次函数V1的表达式与反比例函数y2的表达式:(2)当XVy2时，直接写出自变量X的取值范围为4(3)点P是X轴上一点，当SaPAC=MSMOB时，求出点P的坐标.【变式训练1】平面宜角坐标系XOy中，经过点(1,2)的直线y=kx+b,与X轴交于点A,与y轴交于点B.(1)当b=3时，求k的值以及点A的坐标；(2)若k=b,P是该直线上一点，当OPA的面积等于AOAB面积的2倍时，求点P的坐标.【变式训练2
2、】如图，在平面直角坐标系中，直线m经过点(-1,2),交X轴于点A(-2,0),交y轴于点B,直线n与直线m交于点P,与X轴、y轴分别交于点C、D(0,-2),连接BC,已知点P的横坐标为-4.(1)求宜线m的函数表达式和点P的坐标；(2)求证：ABOC是等腰直角三角形；(3)直线m上是否存在点E,使得S.ACE=SABoC?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由.【变式训练3】如图，已知一次函数y=-；x+3与X轴交于点A,与y轴交于点B,点C与点A关于y轴对称.(1)求直线BC的函数关系式；(2)若点M在线段AC上，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P,交直线BC于点
3、Q.如图，当点M(a,0)在线段OA上时，ABPQ的面积为S,求S与a之间的函数关系式;连接BM,若4BMP=4BAC,求点P的坐标.【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，函数V=2x+12的图象分别交X轴、y轴于A、B两点.过点A的直线交y轴正半轴于点C,且点C为线段OB的中点.(1)求直线AC的表达式.(2)平面内是否存在点P,使得四边形ACPB是平行四边形?若存在，请求出点P的坐标.(3)若点Q为直线AC上的一点，且满足AABQ的面积为30,求点Q的坐标.类型二、几何图形存在问题例1.如图，在平面直角坐标系中，0A=0B=6,OD=I,点C为线段AB的中点.(1)直接写出点C的坐标为；
4、(2)点P是X轴上的动点，当PB+PC的值最小时，求此时点P的坐标；(3)在平面内是否存在点F,使得以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.例2.已知ABC中，NBAC=90。，AB=AC=6,D是AC中点，作直线BD.分别以AC,BC所在直线为X轴，y轴建立直角坐标系(如图).(1)求直线BD的表达式.(2)在直线BD上找出一点E,使四边形ABCE为平行四边形.(3)直线BD上是否存在点F,使aAPC为以AC为腰的等腰三角形?若存在，直接写出点F的坐标;若不存在，说明理由.例3.如图，正方形ABCD的顶点A(0,3),WlQ),点P在直线产
5、工上.(1)直接写出点C和点D的坐标：C,D.(2)Q为坐标平面内一点，当以0、B、Q、P为顶点的四边形为菱形，直接写出点P和对应的点Q的坐标.【变式训练1】如图，直线AB交X轴于点B,交y轴于点A,过点A另一条的直线交X轴于点C,且AB=BC,线段0C、Be的长是方程2-6x+5=0的两个根.(1)求A点坐标;(2)若过点0(2,0),E(OJ)的直线DE交直线AC于点F,求经过点F的正比例函数解析式;(3)在(2)的条件下，点P在直线AB上，点Q在直线AC上，使以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标.【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线4h=-x+5与V轴
6、交于点A,直线4与X轴、轴分别交于点6(-4,0)和点C,且与直线4交于点。(2M).(1)求宜线4的解析式;(2)若点E为线段BC上一个动点，过点E作轴，垂足为F,且与直线4交于点G,当EG=6时,求点G的坐标；(3)若在平面上存在点“，使得以点A,C,D,H为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点”的坐标.类型三、最值问题例.如图，在平面直角坐标系中，A(-1,4),B(-3,3),C(-2,1).(1)已知AAiBiCi-ABC关于X轴对称，画出ABC;(2)在y轴上找一点P,使得APBC的周长最小，点P的坐标为(I)W.ABC向左平移3个单位后的图形MB1C1；(2)作点P,使P到A、
7、B的距离相等，B=PC;(3)点Q在y轴上，当QA+QB最小时，点Q的坐标为.【变式训练2】如图，直线AB与反比例函数y=K(x0)的图象交于A,B两点，已知点A的坐X标为(2,4),4AOB的面积为6.(1)反比例函数的表达式；(2)求直线AB的函数表达式；(3)若动点P在y轴上运动，当IPA-PBl最大时，求P点坐标.课后训练1 .如图，一次函数y=mx+l的图象与反比例函数y=&的图象相交于A、B两点，点C在X轴正半X轴上，点D(l,-2),连接OA、OD、DC、AC,四边形OACD为菱形.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，X的取值范围
8、；(3)设点P是宜线AB上一动点，且SAoAP=TS芟形OACD,求点P的坐标.2 .如图，在平面直角坐标系中，已知AABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为(-5,-1)3-4)、(-1,-3).(1)SABC=；(2)画出ZkABC关于y轴对称的AAiBiCi;(3)已知点P在X轴上，且PA=PC,则点P的坐标是.(4)若y轴上存在点Q,使AQAC的周长最小，则点Q的坐标是3 .如图，直线AB：y=-x+n分别与X,y轴交于A(6,0)、B两点，过点B的直线交X轴负半轴于C,且OB：0C=3：1.(2)求直线BC的函数表达式；y=-x-(Z:0)(3)直线叱：2交直线AB于E,交直线BC于点
9、F,交X轴于D,是否存在这样的直线EF,使得S即=S9?若存在，求出女的值；若不存在，说明理由.专题一次函数与几何图形的综合问题类型一、面积问题例.如图，一次函数VRb与反比例函数的图象相交于A(2,8),B(8,n)两点,连接AO,B0,延长AO交反比例函数图象于点C.(1)求一次函数X的表达式与反比例函数y2的表达式:(2)当为时，直接写出自变量X的取值范围为4(3)点P是X轴上一点，当SaPAC=,SaAOB时，求出点P的坐标.【答案】一次函数y=r+10,反比例函数y=T；(2)x8或OX8或0VV2,故答案为x8或0VV2;(3)解：由题意可知AC关于原点成中心对称，MOA=OC,.
10、SAPC=2SA0P,如图，记AB与X轴的交点为D,把y=0代入y=-x+10得，O=-X+10,解得X=I0,D(10,0),:SfOB=S-=；x10x8-gIOx2=30,44,SMAC=-SMO8=mX30=24,.2SA0P=24,.2x；OPX)，a=24,即2xgPx8=24,.0P=3,.P(3,0)或P(3,0).【变式训练1】平面宜角坐标系XOy中，经过点(1,2)的直线y=kx+b,与X轴交于点A,与y轴交于点B.(1)当b=3时，求k的值以及点A的坐标；(2)若k=b,P是该直线上一点，当OPA的面积等于AOAB面积的2倍时，求点P的坐标.【答案】(IM=-1,A(3,
11、0)；(2)点P的坐标为P(l,2)或(一3,-2).【解析】(1)解：当b=3时，y=kx+3,将点(1,2)代入可得：2=八3,解得：Z=T,一次函数解析式为：y=-x+3,当y=0时，x=3,.(3,0);(2)解：,k=bt.y=kx+k,将点(1,2)代入可得：2=k+k,解得：k=l,y=x+l,当x=。时，y=l,点B(0,1),BO=I,当y=0时，X=T,点A(T,0),04=1,%Sg.=;OAO8=g,设P(XM,且y=+i,如图所示，连接OP,M=2,.y=2,当y=2时，2=x+l,解得：x=l,.P(1,2):当y=-2时，2=x+l解得：X=3,P(-3,-2)；
12、综上可得：点P的坐标为P(l,2)m(-3-2).【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线m经过点(-1,2),交X轴于点A(-2,0),交y轴于点B,直线n与直线m交于点P,与X轴、y轴分别交于点C、D(0,-2),连接BC,已知点P的横坐标为-4.(1)求宜线m的函数表达式和点P的坐标；(2)求证：ABOC是等腰直角三角形；(3)直线m上是否存在点E,使得S.ACE=SABoC?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)直线m的解析式为y=2x+4,点P的坐标为(-4,-4)9Q1AQ-k+b=2解得(2)见解析；(3)(-,或(一一?)【解析】(1)解
13、：设直线m的解析式为y=6+由题意得:.自线m的解析式为y=2x+4,点P在直线m匕且点P的横坐标为-4,点P的纵坐标为-4x2+4=T,点P的坐标为（-4,-4）；（2）解：设直线n的解析式为y=k+4,.-4k,+b.=-4,二，解得A=-2b、=-2,直线n的解析式为y=gx-2,B是直线m与y轴的交点，C是直线n与X轴的交点，.点B的坐标为（0,4）,点C的坐标为（4,0）,.OB=OC=4,X.zB0C=90o,.BOC是等腰直角三角形；（3）解:设点E的坐标为（m,2m+4）A点坐标为（20）,C点坐标为（4,0）,.AC=6,SaceAC-yE=32m+4,Sce=Szs8oc=
14、:08OC=8,.32m+4=8,解得加=一!或m=一号，上1.AAH1.”/28r108点E的坐标为（一；，；）或（一Z-）.3333【变式训练3】如图，已知一次函数y=-；x+3与X轴交于点A,与y轴交于点B,点C与点A关于y轴对称.（1）求宜线BC的函数关系式；（2）若点M在线段AC上，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P,交直线BC于点Q.如图，当点M（a,0）在线段OA上时，ABPQ的面积为S,求S与a之间的函数关系式;连接BM,若NBMP=4BAC,求点P的坐标.【答案】（1）直线BC的函数解析式为y=gx+3;29aIS（2）S=/（OVaV6）：点尸的坐标为（-羡彳）或g，）
15、.【解析】由y=-g+3,令X=O得：y=3,B(0,3)由y=0得：-IX+3=0,解得x=6,二.A(6,0)2点C与点A关于y轴对称.c(-6,0),仿=3k=设直线BC的函数解析式为y=心+力，.al八，解得2,-6k+b=0.oIb=3直线BC的函数解析式为y=gx+3;(2).点M3,0),则点尸3,-；。+3),点。(&；3),过点3作8。_1.PQ与点Q,则力(43)则PQ=g+3-(-ga+3)=同，BO=IaI,.APQB的面积S=gPQBO=g/,即S=(OVaV6)如图，当点M在y轴的左侧时，点C与点A关于y轴对称，AB=3C,/.ZBAC=ABCA,BMP=ABAC,
16、/BMPt/BMA=骈,.ZB4+ZBC=90,NMBA=180o-(Z三4+ZBAC)=90,.BM2+BA1=MA2,设M(X,0),则P(x,gx+3),:.BM2=OM2+OB2=x232,MA2=(6-x)2,BA2=Oj+OB2=62+32=45,3X2+9+45=(6-x)2,解得A：=-,39飞4b当点在y轴的右侧时,31539al5同理可得P(j?),综上，点尸的坐标为(-力或弓，?)242424【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图象分别交X轴、y轴于A、B两点.过点A的直线交y轴正半轴于点C,且点C为线段OB的中点.(1)求直线AC的表达式.(2)
17、平面内是否存在点P,使得四边形ACPB是平行四边形?若存在，请求出点P的坐标.(3)若点Q为直线AC上的一点，且满足aABQ的面积为30,求点Q的坐标.【答案】y=x+6；(2)存在，P(6,18);(3)(410)或(16,-10)【解析】(1)函数y=2x+12的图象分别交X轴、y轴于A、B两点，令4=0,y=12,令y=0,=-6,.A(-6,0),3(0,12),点C为线段OB的中点，.C(0,6),6攵+b=0k=设直线Ae的表达式为尸质也一解得：故直线AC的表达式为、+6.(2)：四边形ACPB是平行四边形.PC=A1.PCA,PB=AC且尸8AC,如图1,过点P作y轴的垂线，垂足
18、为Q,NAOB=NPQC=90。.AB/PC,ABO=APCQ,在IOAe和AQPC中，=+y，Bo=BP代入可得0+=x+lO+f=y+0解得：t=l或t=0(舍去)， 点P的坐标为(1,1),点Q的坐标为(0,1), 综匕符合条件的P,Q的坐标为：63一或+乎曰卜堂一日(1考邛卜(1,1)，(OJ).【变式训练1】如图，直线AB交X轴于点B,交y轴于点A,过点A另一条的直线交X轴于点C,且AB=BC,线段OC、BC的长是方程2-6x+5=0的两个根.(1)求A点坐标；(2)若过点0(2,0),E(OJ)的直线DE交直线AC于点F,求经过点F的正比例函数解析式；(3)在(2)的条件下，点P在
19、直线AB上，点Q在直线AC上，使以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标.Q21321714I【答案】(I)(0,3).(2)y=-彳(一W或或(一行?：【解析】（1）解：解方程X2-6x+5=0得，=5,x2=1,.OC=1,BC=5,AB=BC=5,0B=4,OA=JAB2-OB1=3A点坐标为(0,3).2k+b=Q一解得，(2)解：设直线DE的解析式为y=H+把0(2,0),E(OJ)代入得,一一5,直线DE的解析式为y=-；x+l,b=2同理，根据A(0,3),C(-1,0),求得AC的解析式为y=3x+3,141.X=V=x+1749把两个函数解析式联立得，
20、2,解得，/,点F的坐标为(-5彳)，y=3x+3y=y4994Q设经过点F的正比例函数解析式为丁=依，代入(-三；)得，3=解得，77774Q经过点F的正比例函数解析式为y=-x,4(3)解：根据A(0,3),B(4,0),求得AB的解析式为y=-1什3,设点P坐标为(P，-；+3),点Q坐标为(4画+3),根据平行四边形对角线互相平分，D(2,0),E(OJ),14当PQ为对角线时，,p+q=z3,p+3+3q3=1解得q=点Q坐标为（-卷，1）;rz1D3P=一15当PD为对角线时，p+2=q3,+4=4+4+1解得,2,一行2173,点Q坐标为华与)；4y1JzjIJIP=15当PE为
21、对角线时，P=2+q3,万+3+=3+3解得2-15一21328，点Q坐标为(一西，M)P=1521321714I综上，点Q坐标为(一石,彳)或(W，W)或(一话，?.【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线Qy=-+5与V轴交于点A,直线4与X轴、轴分别交于点8(-4,0)和点C,且与直线4交于点D(Zm).(1)求直线，2的解析式;(2)若点E为线段8C上一个动点，过点E作轴，垂足为F,且与直线4交于点G,当EG=6时,求点G的坐标；(3)若在平面上存在点“，使得以点A,C,D,为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标.【答案】(1)直线4的解析式为y=；x+2：(2)G(-2,
22、7);(3)H的坐标为：(2,0)或(2,6)或(一2,4)【解析】(1)解：.当x=2时，y=-2+5=3=m,.D(2,3).,2k+b=3k=,1设直线，2的解析式为产独+由题意得：zi八八，解得：2.直线，2的解析式为y=9+2.IAb=Ob=22(2)解：EFj_工轴，G,E的横坐标相同.设G(几f+5),则+2E为线段BC上一个动点，-j+50,n+20,I3FE=-n+2.EG=FG-FE=-n+3=6.解得：n=-2.G(-2,7).FG=-M+5,CAD,直线S的解析式为：y=-x+2.令X=0,则y=T0+5=5,/.A(0,5).ACO,.直线A的解析式为:y=-x+21
23、1.解得：、y=-x+52X=-224.TA如下图，当四边形AHDC为平行四边形时,O/AC,直线OH的解析式为x=2,A/Oe,直线A”的解析式为y=；x+5,.,.当=2时，y=l2+5=6,./(2,6).当四边形ADHC为平行四边形时，如下图，DH/AC,二百线DH的解析式为x=2,CH/AD,，直线C的解析式为：y=-+2,当x=2时，y=-2+2=0,H(2,0).综匕存在点，使得以点A,C,D，以为顶点的四边形是平行四边形，点”的坐标为：(2,0)或(2,6)或(-2,4).类型三、最值问题例.如图，在平面直角坐标系中，A(-1,4)B(-3,3)C(-21).(1)已知ZkAi
24、BiCi与AABC关于X轴对称，画出AAiBiCi;(2)在y轴上找一点P,使得APBC的周长最小，点P的坐标为9【答案】(1)见解析(2)(0,-)【解析】(1)解：如图所示，AAiBiCi即为所求.(2)如图所示，点P即为所求，点C关于y轴的对称点C(2,1),1.=_2-3k+b=3k5设BC所在直线解析式为y=kx+b,则”,解得q,Ib=-52999BC所在直线解析式为y=当x=0时，y=,所以点P坐标为(0,p.【变式训练1】在如图的网格中，只利用直尺作图：(1)将工AeC向左平移3个单位后的图形gG；(2)作点P,使P到A、B的距离相等，B=PC;(3)点Q在y轴上，当QA+Q8
25、最小时，点Q的坐标为.【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析(3)(。，：)【解析】(1)解：如图1；图1图2交点即为点尸：连接A3,.A(T,3),昭1)与y轴的交点。即为QA+QB最小时的点Q：设直线A,B的解析式为y=oc-b1.=_2将4(T,3),8(2,1)代入产质+力得k1./解得Zk+b=I,/Ih=-3将4=0代入得y=g,q(oJ)故答案为：(Og).27直线,B的解析式为y=-+-【变式训练2】如图，直线AB与反比例函数y=K(x0)的图象交于A,B两点，已知点A的坐X标为(2,4),4AOB的面积为6.(1)反比例函数的表达式；(2)求宜线AB的函数表达式：(3)若动
26、点P在y轴上运动，当IPA-PBl最大时，求P点坐标.Q【答案】(l)y=f(2)y=-x6:(3)P(O,6)【解析】(1)点A(2,4)在反比例函数y=(xO),X.k=2x4=8,.反比例函数的解析式为：y=-；X(2)设点B(m,5),过点A作AC1.X轴于C,过点B作BDJ1.X轴于D,直线AB与反比例函数y=(x0)的图象交于A,B两点，k=OCxAC=ODxBD,X*SAOC=SBOD,*SAOBz=S柿形ACDB,.-4+(m-2)=6,2VwJ.m0,解得m=4,B(4,2),设直线AB的解析式为：y=kx+b,4=2k+b2=4A+b解得k=-b=6直线AB的解析式为：y=
27、-x+6；(3)在APAB中，根据两边之差小于第三边，KPPA-PBAB,PA-PBl的最大值为线段AB,此时P点为直线AB与y轴的交点，当X=O时，y=6,P(0,6).课后训练1.如图，一次函数y=mx+l的图象与反比例函数y=&的图象相交于A、B两点，点C在X轴正半X轴上，点D(l,-2),连接OA、OD、DC、AC,四边形OACD为菱形.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，X的取值范围;(3)设点P是宜线AB上一动点，且SaOAP=TS箜形OACD,求点P的坐标.2【答案】(1)一次函数的解析式为y=x+l;反比例函数的解析式为y=;(
28、2)xl;X(3)P的坐标为(-3,-2)或(5,6)【解析】(1)解：如图，连接AD,四边形AoDC是菱形，.点A、D关于X轴对称，D(l,-2),A(1,2),将A(l,2)代入直线y=mx+l可得m+l=2,解得m=l,将A(l,2)代入反比例函数y=M解得：k=2；X2一次函数的解析式为y=x+l:反比例函数的解析式为y=-：X(2)解：当X=I时，反比例函数的值为2,当反比例函数图象在A点下方时，对应的函数值小于2,此时X的取值范围为：XVO或xl；(3)解：.OC=2OE=2,AD=2DE=4,二S葩形。Aco=gCA力=3x2x4=4,.,SOAP=S：OACDS0AP=2,设P
29、点坐标为(a,al),在y=x+l中，令X=0,则y=l,故F(0,l),.of=i,soaf=1ofxa=i=i,当P在A的左侧时，Sg=92,此时点P在F的左侧，ay=-x-k33I2.F为直线BC与EF的交点，y=3x+6y=k212,可得F(-,k-G6.6一”一)令y=0,则O=；x-k,解得：x=2k, 直线EF与X轴的交点D(2k,0), :点D为EF的中点， 利用中点公式可得(2k)+(-k-)=o,.k=I,aIld_2,_2当k=j也满足一丁故存作./乙K-2微信扫码，打开小程序，手机查阅，随时随地找资源！!微信扫码，打开小程序，手机查阅，随时随地找资源！!微信扫码，打开小程序版权声明21世纪教育网WwW.21C（以下简称“本网站”）系属深圳市二一教育股份有限公司（以下简称“本公司”）旗下网站，为维护本公司合法权益，现依据相关法律法规作出如下郑重声明：一、本网站上所有原创内容，由本公司依据相关法律法规，安排专项经费，运营规划，组织名校名师创作完成，著作权归属本公司所有。二、经由网站用户上传至本网站的试卷、教案、课件、学案等内容，由本公司独家享有信息网络传播权，其作品仅代表作者本人观点，本网站不保证其内容的有效性，凡因本作品引发的任何法律纠纷，均由上传用户承担法律责任，本网站仅有义务协助司法机
