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1、第九章期权的定价复习思考题9.1.股票价格为50元，无风险利率为每年10%,波动率为每年30%。请按时间间隔为一个月构造三步二叉树模型。9.2.目前指数为495,无风险利率为年率10%,波动率为每年25%。构造一个四步（每步为半个月）的二叉树图。9.3.目前指数为495,无风险利率为年率10%,波动率为每年25%,如果股票指数红利率为每年4%,构造一个四步（每步为半个月）的二叉树图。9.4.股票市价为70元，年波动率为32%,该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息，市场无风险利率为10%。请按时间间隔为一个月构造二叉树模型。9.5.本章（9.19）式中给出了三叉树模型中驱动价格运动的随机
2、因素的分解，请给出至少两组其他的基向量。9.6.假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%,年波动率30%,该股票当天收盘价为50元，求：（1）第二天收盘时的预期价格，（2）第二天收盘时股价的标准差，（3）在量信度为95%情况下，该股票第二天收盘时的价格范围。9.7.假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16$,年波动率30%,该股票当天收盘价为50元，求：（1）30天后收盘时的预期价格，（2）30天后收盘时股价的标准差，（3）在量信度为95%情况下，该股票30天后收盘时的价格范围。9.8.变量Xl和X2遵循普通布朗运动，漂移率分别为l和2,方差率分别为ol2
3、和220请问在下列两种情况下，X1+X2分别遵循什么样的过程？（1）在任何短时间间隔中Xl和X2的变动都不相关；（2）在任何短时间间隔中Xl和X2变动的相关系数为p。9.9.股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格为42元或38元。连续复利无风险年利率为8%。请问风险中性概率分布如何？如何构建股票和期权的风险对冲策略？1个月期的行权价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？9.10.如题9.1至题9.4中信息，如果每一步标的资产上涨或下跌的真实概率各为1/2,请给出每题中真实概率变换为风险中性概率的测度变换形式。9.11.标的资产如题9.1,无红利股票的美式看跌期权，行权价格为50元，有效
4、期为3个月，为期权定价。9.12.标的资产如题9.2,两个月期限的基于该股票指数的美式看跌期权，执行价格为500,为期权定价。9.13.标的资产如题9.3,两个月期限的基于该股票指数的美式看涨期权，执行价格为500,为期权定价。9.14.标的资产如题9.4,现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为65元，有效期8个月。请讨论在这两个除息日提前行使该期权是否最优，并请计算该期权价格。9. 15.不支付红利的股票的市价为50元，无风险利率为10%,该股票的年波动率为30%,用布莱克-斯科尔斯公式求该股票行权价格为50元、期限3个月的欧式看跌期权价格。并给出股票和期权的风险对冲策略。讨论题9.1.
5、在离散多步二叉树模型中，如果Ut和小是随机的，那么驱动资产价格运动的风险因素有哪些？如果Ut和dt是非随机但时变的呢？9.2. 在离散二叉树模型的收益率形式中，如果波动性参数。t是随机的，就将增加一个风险因素，与离散三叉树模型的风险因素有何区别或相似之处？9.3. 请写出多步四叉树的收益率形式，并讨论驱动价格运动的随机因素的可能形式。9.4.布朗运动X的漂移率和方差率都是时变的，那么X（t）-X（O）是否服从正态分布？为什么？如果漂移率和方差率都是随机的，结论如何？9.5.请思考：如果在真实概率环境下不相关的两个布朗运动，在风险中性概率环境下的相关性是否会改变？为什么？复习思考题答案9.1.股
6、票价格为50元，无风险利率为每年10%,波动率为每年30%。请按时间间隔为一个月构造三步二叉树模型。答：多步二叉树第n步的第j个节点（上涨j步下跌n-j步）上股票价格为SUjdn总是可以构造二项分布的概率分布使得平均对数收益率为0,因此有：U=,d=e-。0代入。=0.3,以及At=1/12,可得：u=1.090d=0.917代入相关参数得到三步二叉树各步节点上的股价为：第一步各节点：50u=54.52,50d=45.85；第二步各节点：50u2=59.46,50ud=50,SOd2=42.05；第三步各节点：50u3=64.83,50u2d=54.52,50ud2=45.85,50d3=38
7、.56；9.2.目前指数为495,无风险利率为年率10%,波动率为每年25%。构造一个四步（每步为半个月）的二叉树图。答：多步二叉树第n步的第j个节点（上涨j步下跌n-j步）上股票价格为SUjdnT。总是可以构造二项分布的概率分布使得平均对数收益率为0,因此有：U=e。疝，d=e-。而，代入o=0.25,以及At=I/24,可得：u=1.052d=0.950代入相关参数得到四步二叉树各步节点上的股价为：第一步各节点：495u=520.74,495d=470.25；第二步各节点：495u2=547.82,495ud=495,495d2=446.74；第三步各节点：495u3=576.31,495
8、u2d=520.74,495ud2=470.25,495d3=424.40；第四步各节点：495u4=606.28,495u3d=547.82,495u2d2=495,495ud3=446.74,495d4=403.60；9.3.目前指数为495,无风险利率为年率10%,波动率为每年25%,如果股票指数红利率为每年4%,构造一个四步（每步为半个月）的二叉树图。答：多步二叉树第n步的第j个节点（上涨j步下跌n-j步）上股票价格为SUjdnT。总是可以构造二项分布的概率分布使得平均对数收益率为0。但是，因为股票指数在每步（半个月）将有分红，因此每一步二叉树起始点的现货价需要在扣除掉这部分红利的除权
9、价基础上变动，也即S=Se一口加。但是在分红发生之前每个节点的股价并未实际扣除红利，因此要把红利贴现到相应时点的价值加回去。具体体现在用时间间隔At期间产生的红利去修正根据上涨下跌比例上，也即u=e面eqAt,d=e-qAt,代入o=0.25,q=0.04,以及t=1/24,可得：u=1.050d=0.948代入相关参数得到四步二叉树各步节点上的股价为：第一步各节点：495u=519.75,495d=469.26；第二步各节点：495u2=545.74,495ud=492.72,495dz=444.86；第三步各节点：495u3=573.02,495u2d=517.36,495ud2=467.
10、10,495d3=421.73；第四步各节点：495d=601.68,495u3d=543.22,495u2d2=490.45,495ud3=442.81,495d4=399.80；9.4.股票市价为70元，年波动率为32%,该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息，市场无风险利率为10缸请按时间间隔为一个月构造二叉树模型。答：因为股票在3个月和6个月后将有分红，因此二叉树分红之前的每一步股价变化是在扣除掉这部分红利的除权价基础上产生的，也即S=S-iDjeTE但是在分红发生之前每个节点的股价并未实际扣除红利，因此要把红利贴现到相应时点的价值加回去。因此，多步二叉树第n步的第j个节点（上涨
11、j步下跌n-j步）上股票价格为SUjdnT+iDie-r,enr,Ato总是可以构造二项分布的概率分布使得平均对数收益率为0,因此有：u=e。疝，d=e-tj红利价值增长比率q=eMt,代入o=0.32,r=0.1,以及At=1/12,可得：u=1.097d=0.912q=1.008代入相关参数得到二叉树各步节点上（走两步）的股价为：起始点：除权价为68.073,3个月后红利现值为0.975,6个月后红利现值为0.952第一步各节点：68.073u+0.975q+0.952q=76.618,68.073d+0.975q0.952q=64.025；第二步各节点：68.073u2+0.975q2+
12、0.952q2=83.878,68.073ud+0.975q2+0.952q2=70.031t68.073d2+0.975q2+0.952q2=58.577；以此类推，但是在第四步之后3个月后的红利已经支付，不再需要加上0.975q11这部分红利，只需要加上0952qn这部分红利；在第七步之后6个月后的红利也已经支付，也不需要加上0.952q11这部分红利。9.5.本章（9.19）式中给出了三叉树模型中驱动价格运动的随机因素的分解，请给出至少两组其他的基向量。答：在（9.19）式中给出的三叉树模型中驱动价格运动的随机因素的分解形式：-qp(p+q)0.pq(p+q).cosx+sinyW(1-
13、w)1et=cos-(1-w)w+sinIw(l-w)因子G的含义是以W的概率取得中值，以I-W的概率取得上值或下值；因子歹的含义是在取得上值或下值的条件下，以P的概率取得上值，以q的概率取得下值。类比于此，另外两组基向量可以构造如下：（1）构造因子7和歹，因子G的含义是以P的概率取得上值，以I-P的概率取得中值或下值；因子歹的含义是在取得中值或下值的条件下，以W的概率取得中值，以q的概率取得下值。也即：0-qw(w+q)wq(w+q)=cosx+siny一(i-p)pet=cosp(l-p)+sin.p(1-P).（2）构造因子7和歹，因子又的含义是以q的概率取得下值，以l-q的概率取得上值
14、或中值；因子歹的含义是在取得上值或中值的条件下，以P的概率取得上值，以W的概率取得中值。也即：=cosx+sinyJq(i-q)1-Jwp(p+W)et=cosq(l-q)sin,pvv(p+W)1.-(i-q)ql09.6.假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%,年波动率30%,该股票当天收盘价为50元，求：（1）第二天收盘时的预期价格，（2）第二天收盘时股价的标准差，(3)在量信度为95%情况下，该股票第二天收盘时的价格范围。答：由常系数几何布朗运动的运动方程dlnSt=(-)dt+odzt可得:也即:ElnStInS0=-t,VarlnSt=2t设X为均值0方差1的
15、标准正态分布，则t时刻股价为:由正态分布特性可得：E(St)=S0et,Var(St)=So2t(e2t-1)Se2t2t按照一年365天，代入时间间隔1天，以及So=50,=0.16,O=0.3等各个相关参数得到：(1)第二天收盘时的预期价格为：SoeHt=50ei636550.022(2)第二天收盘时股价的标准差为：Var(St)Soeat=50e*=0.7855(3)在量信度为95%情况下，也即X的取值范围在T.96,1.96,代入股价公式可得该股票第二天收盘时的价格范围为：S0exp(-yjt-t*1.96,SOeXP(-+t*1.9648.500,51.5799. 7.假设某不付红利
16、股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%,年波动率30%,该股票当天收盘价为50元，求：(1)30天后收盘时的预期价格，(2)30天后收盘时股价的标准差，(3)在量信度为95%情况下，该股票30天后收盘时的价格范围。答：由常系数几何布朗运动的运动方程dlnSt=(-)dt+odZt可得：也即:ElnStInS0=-)VarInSt=2t设X为均值0方差1的标准正态分布，则t时刻股价为:St=S0exp(-yjt+由正态分布特性可得：E(St)=S0et,Var(St)=So2t(e2t-1)Se2t2t按照一年365天，代入时间间隔30天，以及So=50,=0.16,。=0.3等各个相关
17、参数得到：(1) 30天后收盘时的预期价格为：SoeUt=50ei6*3o365ss50.6620.1630(2) 30天后收盘时股价的标准差为：Var(St)S0eti=50eF-*0.3*4.357(3)在量信度为95%情况下，也即X的取值范围在T.96,1.96,代入股价公式可得该股票30天后收盘时的价格范围为：Soexp11ytt*1.96,S0expf-yt+tt*1.96=42,645,59.7439.8.变量Xl和X2遵循普通布朗运动，漂移率分别为l和2,方差率分别为ol2和a22。请问在下列两种情况下，X1+X2分别遵循什么样的过程？(1)在任何短时间间隔中Xl和X2的变动都不
18、相关；(2)在任何短时间间隔中Xl和X2变动的相关系数为p。答：(1)的情况是变量Xl和X2之间独立，因此X1+X2是漂移率为l+2,方差率为2+22的布朗运动；(2)的情况是变量Xl和X2之间具有相关性，因此X1+X2是漂移率为l+2,方差率为ol2+22+2pl2的布朗运动。9.9.股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格为42元或38元。连续复利无风险年利率为8%。请问风险中性概率分布如何？如何构建股票和期权的风险对冲策略？1个月期的行权价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？答：根据题中信息，可以用二叉树模型求解。u=4240=1.05,d=3840=0.95,r=exp(0.0
19、812)1.007o据此可得：风险中性概率分布为：H=(r-d)/(u-d)=57%,1-11=(u-r)/(u-d)=43%期权到期时的收益记为Cu和Cd,那么行权价格为39元的欧式看涨期权到期收益为：Cu=3,Cd=O一单位股票和h单位期权构建风险对冲策略，对冲比率h为：h=(uS-dS)(Cu-Cd)=(42-38)/(3-0)=4/31个月期的行权价格为39元的欧式看涨期权价格为：C=11Cu+(1-11)Cdr=0.57*3/1.0072.69元9.10.如题9.1至题9.4中信息，如果每一步标的资产上涨或下跌的真实概率各为1/2,请给出每题中真实概率变换为风险中性概率的测度变换形式
20、。答：真实概率各为1/2情况下，按照题9.1至题9.4的U和d的构造方法，可以得到平均对数收益率为Oo根据二叉树模型下真实概率和风险中性概率之间的关系：tt-rtt_(ut-l)-rttut-dtU1.dttt-rltrtt-(dt-l)=p=ut-dtut-dt其中山和R是简单收益率，需要表示为对数收益率的形式。代入相关参数可得各题的测度变换形式。题9.1中，相关参数为：u=1.090d=0.917t1+rtt=e01/12=1.008,因此风险中性概率为：rtt-(dt-l)1.008-0.917八(ut-l)-rtt1.090-1.008n.P=0.526,q=0.474yut-dt1.
21、090-0.917Ful-dt1.090-0.917题9.2中，相关参数为：u=1.052d=0.950,1+rtt=e01/24=1.004,因此风险中性概率为：=rtt-(dt-l)=1.004-0.950=529(ut-l)-rtt=1.052-1.004=0471vut-dt1.052-0.950Ful-dt1.052-0.952题9.3中，相关参数为：u=1.050d=0.948,1+rtt=e01/24=1.004,因此风险中性概率为:=rtt-(dt-l)=1.004-0.948=549(ut-l)-rtt=1.050-1.004=0451yut-dt1.050-0.948ul-
22、dt1.050-0.948题9.4中，相关参数为：u=1.097d=0.912,1+rtt=e01/12=1.008,因此风险中性概率为：=rtt-(dt-l)=1.008-0.912=519(U1.l)fAt=1.097T008=0481yut-dt1.097-0.912ul-dt1.097-0.9129.11.标的资产如题9.1,无红利股票的美式看跌期权，行权价格为50元，有效期为3个月，为期权定价。答：根据题9.1解答和题9.10解答，可以构造美式看跌期权的二叉树，利用单步二叉树定价以及多步反向迭代可得期权价格。美式期权单步二叉树定价迭代公式为：ft=maxQ+；At(PfAt+0理&)
23、(K-St)+)其中p=0.526,q=0.474,1rtt=1.008代入相关参数，反向迭代得到三步二叉树各步节点上的期权价格过程如下：第三步各节点：(50-64.83)+=0,(50-54.52)+=0,(50-45.85)+=4.15,(50-38.56)+=11.44；第二步各节点：maxG(526*O+0.474*0),(50-59,46)+)=O,max(高(0.526*O+0.474*4.15),(50-50)+)=1.951,max(高(0.526*4.15+0.474*11.44),(50-42,05)+)=7.95(提前行权)；第一步各节点：max(焉(0.526*0+0.
24、474*1.951),(50-54.52)+)=0,917,max(高(0.526*1.951+0.474*7.95),(50-45.85)+)=4.756；第O步：f0=品(0.526*0.917+0.474*4.756)=2.7159.12.标的资产如题9.2,两个月期限的基于该股票指数的美式看跌期权，执行价格为500,为期权定价。答：根据题9.2解答和题9.10解答，可以构造美式看跌期权的二叉树，利用单步二叉树定价以及多步反向迭代可得期权价格。美式期权单步二叉树定价迭代公式为：ft=maxQ(PfAt+q*At),(K-St)+)其中p=0.529,q=0.471,1+rtt=1.004
25、代入相关参数，反向迭代得到四步二叉树各步节点上的期权价格过程如下：第四步各节点：(500-606.28)+=0,(500-547.82)+=0,(500-495)+=5,(500-446.74)+=53.26,(500-403.60)+=96.4；第三步各节点：max(高(0.529*0+0.471*0),(500576.31)+)=0,max(焉(0.529*0+0.471*5),(500-520.74)+)=2.346,max(高(0.529*5+0.471*53.26),(500-470,25)+)=29.75(提前行权)，max(高(0.529*53.26+0.471*96.4),(5
26、00-424,40)+)=75.60(提前行权)，第二步各节点：max(高(0.529*0+0.471*2.346),(500-547,82)+)=1,101,max(高(0.529*2.346+0.471*29.75),(500-495)+)=15.193,max(焉(0.529*29.75+0.471*75.6),(500-446,74)+)=53.26(提前行权)，第一步各节点：max(高(0.529*1.101+0.471*15.193),(500-520,74)+)=7.708,max(高(0.529*15.193+0.47153.26),(500-470.25)+)=32.991,
27、第0步：f0=焉(0.529*7.708+0.471*32.991)=19.5389.13.标的资产如题9.3,两个月期限的基于该股票指数的美式看涨期权，执行价格为500,为期权定价。答：根据题9.3解答和题9.10解答，可以构造美式看跌期权的二叉树，利用单步二叉树定价以及多步反向迭代可得期权价格。美式期权单步二叉树定价迭代公式为：ft=max(:A(PfAtq*At),(I-K)+)其中p=0.549,q=0.451,1rtt=1.004代入相关参数，反向迭代得到四步二叉树各步节点上的期权价格过程如下：第四步各节点：(601.68-500)+=101.68,(543.22-500)+=43.
28、22,(490.45-500)+=0,(442.81-500)+=0,(399.80-500)+=0；第三步各节点：max(高(0.549*101.68+0.451*43.22),(573.02-500)+)=75.014,max(高(0.549*43.22+0.451*0),(517.36-500)+)=23.633,max(高(0.549*0+0.451*0),(467.10-500)+)=0,max(康(0.549*0+0.451*0),(421.73-500)+)=0,第二步各节点：max(焉(0.549*75.014+0.45123,633),(545.74-500)+)=51.63
29、5,max(高(0.549*23.633+0.4510),(492.72-500)+)=12.922,max(焉(0.549*0+0.451*0),(444.86-500)+)=0,第一步各节点：max(高(0.549*51.635+0.451*12.922),(519.75-500)+)=34.039,max(高(0.549*12.922+0.451*0),(469.26-500)+)=7.066,第0步：f0=焉(0.549*34.039+0.451*7.066)=21.787本题是标的有红利的美式看涨期权，理论上存在着提前行权的可能。但是从迭代过程中看到，并没有出现提前行权。什么原因导致
30、呢？如果继续持有期权，投资者可以获得按照行权价500和无风险收益率每年10%而获得资金收益；但是如果提前行权，失去资金收益，不过可以获得股票指数带来的红利，按照股票指数价位和指数红利率每年4%o决定是否提前行权，就是比较资金收益和指数红利孰更占优。直观上看，指数红利率4%比无风险收益率10%小很多，除非未来指数是行权价500的10/4=2.5倍，也即指数大概涨到1250,指数红利比资金收益更大，这种概率是很小的。因为本题采用二叉树建模，在期权到期以前指数的上涨最大只到达601.68,所以没有出现提前行权的情况。9.14.标的资产如题9.4,现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为65元，有效期
31、8个月。请讨论在这两个除息日提前行使该期权是否最优，并请计算该期权价格。答：本题因为步数较多，计算期权价格比较繁琐，读者可以自行编程计算。判断标的支付红利的美式看涨期权是否提前行权，就是比较资金收益和指数红利孰更占优。如果t个月时提前行权，大约损失了本金为行权价格65元、按照年利率10舟的(8-t)12O.lt(期权剩余期限8-t个月)计算得到的利息，约为6948Ie-王-65元。t越大，损失的资金利息越小。考虑时间价值大约2.059超过了第一个除息日。因考虑时间价值大约1.017也超过了第二个除息日。在第一个除息日之前，如果提前行权，可以得到两笔股息，元。股息和资金利息相等是临界点，计算得到
32、t大约为4.26月，此不会选择提前行权。在第二个除息日之前，如果提前行权，可以得到一笔股息，元。股息和资金利息相等是临界点，计算得到t大约为6.14月，因此也不会选择提前行权。9.15.不支付红利的股票的市价为50元，无风险利率为10%,该股票的年波动率为30%,用布莱克-斯科尔斯公式求该股票行权价格为50元、期限3个月的欧式看跌期权价格。并给出股票和期权的风险对冲策略。答：相关参数为：S0=50,r=0.1,=0.3,T=O.25,K=50,代入欧式看跌期权的BS公式可得：dl=d2+T=0.242,d2=EG)+(=b)T=092T查表可得N(dl)=0.595,N(d2)=0.536,因
33、此期权价格为：P=Ke-rT(1-N(d2)-SO(1-N(d1)=50*e-0.1*0.25(1-0.536)-50(1-0.595)=2.37元股票和期权的风险对冲策略为：一单位股票对冲l(N(dl)7)=-2.47单位的欧式看跌期权。讨论题答案9.1.在离散多步二叉树模型中，如果Ut和小是随机的，那么驱动资产价格运动的风险因素有哪些？如果Ut和6是非随机但时变的呢？答：Ut和小是随机的情况下，驱动资产价格运动的风险因素除了1；0和0；1以外,还有Ut和小相关的因素，具体依赖于Ut和小有多少个取值。如果Ut和小非随机而只是时变，那么驱动资产价格运动的风险因素还是只有随机量1;0和0;lo9
34、.2.在离散二叉树模型的收益率形式中，如果波动性参数。t是随机的，就将增加一个风险因素，与离散三叉树模型的风险因素有何区别或相似之处？答：离散三叉树模型的风险因素是加法的线性分解方式得到的，而离散二叉树模型中增加的随机波动性参数Ot与二叉树随机因素Wt是相乘的关系，这是非线性分解方式。9.3.请写出多步四叉树的收益率形式，并讨论驱动价格运动的随机因素的可能形式。答：类似于二叉树和三叉树的收益率形式，四叉树中驱动价格运动的随机因素.是四维线性空间中的四维椭球(由方差为1确定)和超平面(由均值为0确定)相交得到的三维椭球表面上的点所对应的向量，&可以由三个基向量按照两个自由度线性组合而成。记.取得
35、最大值的概率P，次大值的概率明次小值的概率V,最小值的概率q,类似于二叉树和三叉树构造基向量的形式，可以构造三个正交的标准基因子文G和0为：(v+q)(p+w)-J(V+q)(p+w)一(P+W)/(v+q)-(p+w)(v+q).wp(p+W)-pw(p+W)0000qv(v+q)-vq(v+q)其中，标准基因子7的含义是判断取大值还是小值的二项分布，因子歹的含义是在取得大值的条件下判读取最大值还是次大值的条件二项分布，因子W的含义是在取得小值的条件下判读取最小值还是次小值的条件二项分布。还可以按照其他方式构造三个正交的标准基因子歹和W为：(w+v)(p+q)-J(P+q)(w+V)-(p+
36、q)(w+v).J(W+v)(p+q).0vw(w+V)-wv(w+V)0qp(p+q)00-pq(p+q)-其中，标准基因子大的含义是判断取最值还是次值(决定波动大小)的二项分布，因子产的含义是在取得次值的条件下(波动小的条件下)判断取次大值还是次小值(方向是大还是小)的条件二项分布，因子那勺含义是在取得大值的条件下(波动大的条件下)判断取最大值还是最小值(方向是大还是小)的条件二项分布。根据球坐标将.表示为三个正交的标准基因子束9和W的组合：et=coscosx+cossiny+sinz其中是相对于Xy平面的夹角(纬度)，是围绕Z轴相对于XZ平面的旋转角(经度)。9.4.布朗运动X的漂移率
37、和方差率都是时变的，那么X(t)-X(O)是否服从正态分布？为什么？如果漂移率和方差率都是随机的，结论如何？答：可以借助离散情形来理解。将X(t)T(0)分为0,t区间内的多个增量X(Tn)-X(in-l),，X(1)-X(),其中t=n,O=TOo区间k-l,1k的增量X(Tk)-X(TkT)变换为kT(k-k-l)+k-l(Zk-ZkT)O增量(Zk-ZkT)是均值为0,方差为(k-Tk-I)的正态分布变量。由此，X(t)-X(O)可由两部分组成，第一部分是多个kT(k-TkT)的和，第二部分是多个k-l(Zk-ZkT)的和。当k-l和OkT只是时变时，第一部分和是多个不同常数的和，第二部
38、分和是多个正态分布变量的线性组合，因此两者的和是正态分布变量。当kT和Ok-I是随机时，第一部分和是多个随机量的和，第二部分和是多个正态分布变量相应的乘以一个随机变量的线性组合，很显然第二部分不能保证仍然是正态分布变量，因此两者的和并不一定是正态分布变量。9.5.请思考：如果在真实概率环境下不相关的两个布朗运动，在风险中性概率环境下的相关性是否会改变？为什么？答：真实概率环境下不相关的两个布朗运动在风险中性概率环境下也是不相关的。根据真实概率向风险中性概率变换的测度变换因子的构造方法，可以看出二维的测度变换因子Z可以分解为两个一维的测度变换因子Zl和Z2的乘积的形式，Zl可以变换其中一个布朗运动的真实边缘概率为风险中性边缘概率，Z2变换另一个布朗运动的真实边缘概率为风险中性边缘概率，这样风险中性概率环境下的联合概率就等于两个边缘概率的乘积，仍然满足独立性，也即不相关。
