《微专题04 利用基本不等式解决多元最值问题（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微专题04 利用基本不等式解决多元最值问题（解析版）.docx（16页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、微专题04利用基本不等式解决多元最值问题【方法技巧与总结】利用基本不等式求解多元最值的常用技巧(1)互倒模型(2)平方和与积的转换(3)条件等式求范围(4)换元消元法【题型归纳目录】题型一：互倒模型题型二：平方和与积的转换题型三：条件等式求范围题型四：换元消元法【典型例题】题型一：互倒模型例1.若2,b3,则十的最小值是()a-2力-3A.16B.18C.20D.22【答案】C【解析】因为。2,b3,所以49=a-2+/?-3hFlOa-2b-3a2h2a1-4+4h2-9+94=4a-2b-3a-2b-3-2)-3)10=2(当且仅当=4R6时，等号成立)，所以，十三的最小值是20.故选：C
2、例2.设。勿0,那么J+1、的最小值是.b(a-2b)【答案】16【解析】因4Zh0,Mh(a-2b)=2ba-2h)-(2/?+2Z?)2=y,当且仅当给=-M,即b=时当且仅当片=即仁】时取，=，因此，=2)8x27J=168所以当=m4时，得取最小值故答案为：16例3.已知正实数源且+”2,三的最小值是（A.2B.IciD.【答案】C【解析】因为正实数db,a+2b=2t故3+l)+(3+D=4,所以W=*+D+侬+1)XWTj誓)“1+11z,2b+xa+lII2b+a+lI一故+=-(1+)+=-+-+-+2a+2b+4a+2h+44+l2b+41=544当且仅当。=I6=?时取得等
3、号，36故选：C例4.若正数,b满足1.+1=l,则上+普的最小值为一.aba-b-【答案】16【解析】因为正数m满足ab则有1.=-1.=!l,abh三=i11tz-l口r1七1b=1=,即启=-fbaaa-aMd*4164b16a、rUb16.,则有+=+2J=16,a-b-abVabb当且仅当竺=华即有b=2,又i+J=l,abab3即有=,b=3,取得最小值，且为16.2故答案为：16.例5.已知实数x2y0,z0,则r彳二十丁丁的最小值为x+2y2y+3z【答案】1+四【解析】因为x2y0,z0,所以%+4y+3zxx+2y2y+3zx+2y+2y+3zxx+2y2y+3z2y+3z
4、Xx+2y2y+3z1+23,+3z+xl+22y+3z=122x2y+3zV2x2y+3z当X=2yf2yh3z=X=2x=2y+3z,x=2y取等号“2x2y+3z综上所述：x+4)：3z+不；的最小值为+x+2y2y+3z故答案为：1+041例&已知当小赤m取到最小值时，-341【答案】4【解析】知。方0,当4a+丁三+/取到最小值时，a=42a+b2a-b4I41由题意知：4+-+-=2+Z+-+2a-b+-2a+b2a-b2a+b2a-b可+与T2j(2f)一=6，4131当且仅当2a+b=-,2a-h=即=,b=3;时取等，2a+b2a-b42故当44+42a+h有取到最小值时,3
5、故答案为：4.4例7.已知正数,人满足+b=l,cR,则r工+l+3的最小值为bc+babc+ah【答案】62-3【解析】由。+。=1,得6+2+=l,a0,00,r113a1c21/3。a2+2ab+b2xC21Aab小八？则一；+；+3c2=F(+)+3c2=F(+-+2)+3c2bc+bahc+abc+babc+ba-A7+3(c2+1)-36-3,当且仅当b=2。,-AT=3(/+1)时取“二”，c+lc+1所以当。=2乃=,。2=应-1时，停+1的最小值为6应-3.33bci+babci+ab题型二：平方和与积的转换例8。也C是不同时为的实数,则忐%的最大值为.【答案】y【解析】ab
6、+be_ab+bea2+2bi+c2a2+b2+b2+c2a2+b22abb2+c22bc当且仅当a=时取等号所以7%=占认旌W*7的最大值为1例9.若实数如满足病+4*，则金的最小值是【答案】J【解析】解析：令X=6,y=2，则_4恤一2刀.尸田+力=,因为（3T3=1.所以m+2n-x+y-x+y-1x+y-2J22-拒y从而当尸即g,当且仅当户尸当时，等号成立，故事的最小值为1-应.故答案为：1-例10.若实数满足42一=4,则5宗+2必的最小值为【答案】4解析】4/+=1，设+g=x,则x0,a-g,S/+2a/?=5x；（x+，）+（x+，）（x）=；（9f+4）+.x2+=4,等号
7、在冬即叫竽小一半或竽三竽时成立.所以5/+2必的最小值为4.故答案为：4例11.)已知0,则M=/：；15+j(2-/)的最大值为a+tzl1,11=;=-=【解析】当O“2时,a2-a2=Ja?(2-/)，二；匕=1,当且仅当/=2-/时，即当=1时，等号成立.因此，当。=1时，M取得最大值，即MnIaX=：+1=；.故答案为：,.4例12.若次，XZ均为正实数，则,斗：,的最大值是.x+y+z【答案】亚2【解析】因为,y,z均为正实数，XVVZ_xy+yz所以+4+Z?一评+92)+(；/+/,即初,Z=芋y时等号成立.xy+9y2=l,则x+3y的最大值为.3153i?X=X=当且仅当x
8、=3y,即2或F时，等号成立，51515U15I15221io.(+3,)2=x2+6xy+9y2=1+Ixy1+7-=,.215_215.-x+3y一$一，X+3)，的最大值为名叵.5故答案为：巫.5Xy+yz,19例4不等式号七对任意正数z恒成立,贝普的最大值是一【答案】1，版土二YI.1、/Xy+户_Xy+)Z-1、cC-cX+2y+zX+y+y+z2xy+2yz2、3）；?+z2的最大值是、，即l+g-423,解得-gl,所以的最大值是1.故答案为：1例15,若0,bOf且他=3a+劝+27,则必的最小值为（）A.9B.16C.49D.81【答案】D【解析】由题意得=3+3A+276疯
9、+27,得而一6而-27=（痛一9）（向+3）0,解得疯9,即时81,当且仅当a=6=9时，等号成立.故选：D例16,已知实数。力，且而0,则21”2R的最大值为.+h+ab+4【答案】IO【解析】由+z2bo,所以22岸土OJa+b+ab-+42ab+ab+4ab1,11又由2昉+W+42+ah+6,abVab当且仅当=6时，等号成立，所以可一产HJ.a-+b-+a-b-+46故答案为：!6例17.设x0且则;了的最大值为【答案】空4【解析】由题意，x0,l+y20由均值不等式，当0,0时，a2+b22ababO,yO,x+y-y2=4,则/+；的最小值等于()A.2B.4C.gD.-24【
10、答案】B【解析】)x+y-x2y2=4,可得x+y=fy2+4且xO,yO,匚匚“11x+yx2y2+44、CI4.xyxyxyxyyxy4当且仅当Xy=一时，即肛=2等号成立，所以的最小值为4.故选：B.例21.已知实数X,满足f+V=3,则(2二Y)2+(Tzv7的最小值为4【答案】-解析】设(2x+y)2=tn,(m0),(x-2y)2=n,(n0)可得m+=(2%+y)2+(x-2y)2=5(x2+/)=15,lll111zsz11.lz-n叭、1z_In?、4则r+r=(m+)(F)=(2+F)(2+2.1)=.(2x+y)2(x-2y)215mn15mn15Nmn15当且仅当W,即
11、机=与时，等号成立.mn24故答案为：4X+3V例22.已知x0,y0,且x+2y=2,则一十的最小值为.X3y【答案】3+逑3【解析】因为+2y=2匚山、I4x+3y2x+4yx+3y_4yxCCqC43所以一+1=4+=l=3+-+-3+2J-=3-X3yX3yx3jV33公=二r当且仅当X一3旷，即=3-Iy=农二i时，取等号，x+2y=2所以&+甘红的最小值为3+生叵.X3.y3故答案为：3+生叵3例23,若正数小人满足为+人=1,则不?+工的最小值是2-2a2-b【答案】巫-1.32【解析】设=2-2,y=2-0,则。=三口=2-口，可得+y=3(%vO),2所以2-2a+2-b,l
12、-wb_2十三+“3(小)二VMV23uV2当且仅当V=6-30,=3点-3时，等号成立，取得最小值.故答案为：2巨一321O例24.若2,b-1,且满足出?+。一=6,则一+二二的最小值为.a-2b+l【答案】3解析由(-2)S+l)=+_勿_2=6_2=4又2,b-1,则20,b+10所以198当且仅当一g二=以及ab+a2b=6,即=不。=5时取得等号.a-2b+31Q所以一1.?+的最小值为3a-2b+故答案为：3例25.已知正实数mb,满足4+8=6,则一*二+4的最大值为一.a+lZr+1【答案】11典6【解析】因为正实数叫b,满足+b=6,r1,labab2+a-vb+a2b6(
13、ab+l)6(ab+1)6(ab+1)_=7/+从+(2+)(,2+i)(ab)2+a2+b2+(ab)2-2ab+37(Z-1)2+36因为a+匕=6,a0,Z?0,所以0000,则2(+b)=而22,可得H16,当且仅当a=b=4时取等;又由+b+c=，加。可得C=ab-ab_112cb-222ab-2由必16可得00,力0,且/匕+3从=3+Z?,则+3?的最小值为.【答案】4【解析】由题得时(。+幼)=3+A,.+3h=3+!,Obba所以(+3b)2=(3+1.)(+3b)=10+9l0+2j=16.babaNba(当且仅当=8=1时取等)因为+3b4,所以+外的最小值为4.故答案为
14、：4例28.若直线5-勿-3=0(0,b0)过点,则J+1+J2的最大值为【答案】23【解析】在线双一切一3=0过点(1,一1),则+6=3又0,b0,设r=+l+/+2,则f0t2=a+l+S+2+2j(+l)0+2)=6+2j(+l)R+2)由.+)伍+2)f+1+b+2=9,当且仅当+l=b+2,即=2为=1时等号成立.所以=6+2j(4+l)S+2)12,BP23所以7T+2的最大值为23,当且仅当=2,b=l时等号成立.故答案为：2石例29.已知0,bOt且+2+b+g=10,则:一，的最大值为.abba【答案】4【解析】因为。0，人0,且+2+h+M10,ab=10-又+d2j4=
15、4,当且仅当。=&,即=2时取等号,12=2,当且仅当=,即b=l时取等号，14（14、所以a+b+-+6,则10+b+一4,baba）52即;-一4,当且仅当。=2、人=1时取等号；ba故答案为：41Q例30.）已知m。为正实数，R+=6+-+y,则+匕的最小值为【笑】81Q【解析】因为。0、b0且+b=6+-+;,所以(+力)=I6+|(a+/?)=6(+/?)+10+6(+b)+10+2日=6(+8)+16当仅当2=即时取等号,即（+b）2-6（+b）-160解得。+力8或+6-2（舍去），当且仅当。=2、6=6时取等号;故答案为：8题型四：换元消元法例31.已知x0,j0,x+y+2x
16、y=2f则-2：_1.IQ的最大值为.Xy+3孙+18【答案】I【解析】12=x+y+2xy22x,=xy+-76,当x=y=2时取等,所以02=肛(0,4,故令r=Q,+l,则f0,5,Ay+1t_t_所以9丫2+3冷，+8_1)2+3_1)+8/+,+6_/+3+_21+1一，当上=4时，等号成立.rv11所以22的最大值为3Xy+3xy+189故答案为：例32已知正实数小人满足+2+【答案】A【解析】因为。+：=2,所以a=2-工0,所以0b2hb所以2+，=2卜-坊+工=2(26-1)+3，ab)2b-2b-I令2-l=r,则b=?,且T2+11132所以2M+1.2f+2=2f+1.
17、42,Q+1.3当且仅当2=五，即5,6=片=时，取等号,at2t2V2t22NqJ所以2他+的最小值是a2故选：A.例33.若正实数。，满足3吗2加则祟的最大值为一【答案】【解析】因为正实数小方满足b+3A=2/?,所以b2b-3,b+2K三3-22_1X川-V+b-2(厂5)+2b-3当!=:，即b=2时取得最大值b22故答案为：y.2x2例34.已知正实数y满足：+xy-=2,则3x+2y+一的最小值为yy【答案】42【解析】因为H+w+竺=2,y所以/+D+2=4,y2所以X(J+y)+(x+y)=4,y所以(x+y)+：)=4,x+y=m令24,X+=ym则3x+2y+2=2(x+y
18、)+1X+I=2/w+IAlm.=2而=4五,yy)mVM4当且仅当2团=一即Zn=m时取等号，m2所以3x+2y+q的最小值为4J.故答案为：4人.例35.若实数XQ满足3f_2xy-y2=,则CVT的最大值为.5.v+2xy+y【答案】也4【解析】令x+)=r,则3f-2y-y2=42一(丁+2盯+J)=?-/=1，即4产=+”,x+y_x+y_t_t以5f+2y+y24x2+(x2+2xyf+/)(l+r2)+r2l+2r,当Yo时，T*;当0时，TTV=匚1,rZA因为;+22jpT=2,当且仅当;=2f,即f=乎时，等号成立，_1二1=五所以5x2+2xy+y21.+2t2近4.t所
19、以W5的最大值为立5x+2xy+y4故答案为：巫.4例36)炉黑+7(”1)的最大值为【答案】y【解析】令x-l=f,则x=r+l,/0,x-ltt1/11所以“2-4x+7(r+l)2-4(r+l)+7r2-2+4f+i.22J7-22,当且仅当，=:，即，=2时，等号成立.所以7三7(l)的最大值为故答案为：,J.例37.设正实数八八Z满足八3盯+”=。，转取得最大值时，自苫的最小值为一【答案】2【解析】正实数“、八Z满足/一3个+4丁z=0,Jl)z=x2-3xy+4y2f孙二孙二1.1.i_-ZX2-3+4/2+”_32一3，当旦仅当x=2y时，等号成立,yXVyX所以，当x=2y时，
20、?取得最大值1,此时z=-3+4y2=2y2,z.+=+=+-2P=2,当且仅当=戊时，等号成立.2z22y2y2y因此，5+a的最小值为近.2z故答案为：2例38.已知X,y=R+,且满足x+-+2y+1=6,若Xy的最大值与最小值分别为M和加，M+n=2xy13【答案匕【解析】Vx,y=R+,设解=，,则子=1,，.6=XHF2y+=Ix+2y+=x+2y+-2Xy(2Xyjl2tt12r=(2/+2)x+(4/+1)y2(2r+2)(4r+l),.18仑(r+l)(4r+l)=4r2+5r+l,4r2-13r+l0,则2-I24，十2J-“Y当且仅当=2,即=JI时取等号，即最大值为它.
21、M4故答案为：.42+3y2例40.)已知x0,y0,则的最小值为.xy+V【答案】2【解析】*y0,则x2+3y2+3y心+y+1y设二=/,zo,y则炉+3丫=3=（1+1）2-2（，+1）+4=Sl）+2，+1）J.2=4.2=2,xy+y2t+r+1f+1Vt+4当且仅当f+l=-17,即t=l时取等号，此时x=y,t+1故三士驾的最小值为2,y+y故答案为2例41.若x,y均为正实数，且+二=1，则x+y的最小值为.2x+yx+3yQ【答案】j【解析】令+y=f,则y=f-,由I-=得=1,1-12x+yx+3y2x+t-xx+3t-3xx+t3t-2x所以41d2x+2t3t-2x因为x0,y0,所以2x+20,3r-2x0,所以口+2）+（3-2刈（备+木卜5,所以4+1+4(3/-2x)2x+2t-+=5/,2x+2t3t-2x所以5，5二+2.二4,2x+2/3/-2x2x+2/3t-2x963所以5f9,即r1,当且仅当X=1,J=W,等号成立.9故答案为：I
