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1、专题12立体几何中的平行与垂直问题【自主热身,归纳总结】1、设,B为互不重合的平面,m,n是互不重合的直线,给出卜列四个命题：若mn,n,则m/a；若ma,na,B,n6,则a/7；若aB,mua,nB,则mn；若a,a=m,nca,nm,则n.其中正确命题的序号为.【答案】.【解析】：对于,直线m可能在平面a内，故错误：对于,没有m与n相交的条件,故错误：对于,m与n也可能异面,故错误.2、已知平面Q,B,直线m,n,给出下列命题：若ma,nB,mn,则a；若aB,ma,nB,则mji：若ma,nB,mn,则a_1.B；若a,ma,n_1.,则mn.其中是真命题的是（填序号）.【答案】如图,
2、在正方体ABCDA,BcD1中,cd平面bc1d1,BC平面dc1b1,且bccd,又因为平面ABC1D1与平面ADCB不垂直，故不正确；因为平面ABCD平面A1B1C1D1,且BC平面BCD,AB平面ABC跖但AB与BC不平行,故不正确.同理,我们以正方体的模型来观察，可得正确.3、若a,B是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（写出所有真命题的序号）.若直线!，。，则在平面B内，一定不存在与直线m平行的直线：若直线m_1.Q,则在平面内，一定存在无数条直线与直线m垂直：若直线InUQ,则在平面内，不一定存在与直线In垂口的宜线：若直线mu。，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线.
3、【答案】：【解析】：对于，若两个平面互相垂直,显然在平面1内存在与直线，平行的亘线，故不正hk于，ml,E一案与两平面的支线垂惠，苜一条惠线就有潮争直线，故正Sb与量对立的，一定有一个是国命I1.对于，若用与两个平面的交线平行或，为交线，显然存在，若“与交线敝，设交电为八，在点线C上任取一点加异于），过B点向平ISS引垂线，垂足为C,则直线8C1平面比在平面”内作自线，：垂直干.4C,可以证明3平面X5C,则U触正确.不正礴.所以Ji击段为序号为4、己知,B是两个不同的平面，l,m是两条不同的直线，l_1.a,muB.给出下歹IJ命题：（T）/7=lm；a_1.B=lm；manl_1.B：1_
4、1.B=ma.其中正确的命题是（填写所有正确命题的序号）.【答案】：【解析】：由l_1.a,。8,得1_18,又因为muB,所以l_1.m：由l_1.a,Q_1.B,得1B或IUB,乂因为muB,所以I与m或异面或平行或相交：由1_1.u,mu,得I1.II.因为I只垂直于内的一条直线m,所以不能确定I是否垂直于;由l_1.a,_1.B,得aB.因为mB,所以ma.5、设b,c表示两条直线，a,B表示两个平面,现给出卜列命题：若bua,ca,则bc：若bua,bc,则CHa;若ca,aJ.B,则c_1.B：若ca,c_1.B,则a_1.B.其中正确的命题是.（写出所有正确命题的序号）【答案】：
5、【解析】：b和C可能异面，故错：可能CUa,故错：可能cB,cu,故错：根据面面垂直判定。_1.B,故正确.6、在所有棱长都相等的三棱锥P-ABC中，D,E,F分别是B,BC,C的中点，卜列四个命题：(1) BC平面PDF：(2)DF平面PAE；.(3)平面PDFJ_平面ABC：(4)平面PDFJ_平面PAE.其中正确命题的序号为.【答案】：(1)(4)【解析】由条件可证BCDF,则BC平面PDF,从而正确：因为DF与AE相交,所以错误：取DF中点M(如图),则PMlDF,且可证PM与AE不垂直,所以(3)错误：而DMPM,DMAM,则DM，平面PE.又DMc平面PDF,故平面PDF_1.平面
6、PAE,所以正确.综上所述,正确命题的序号为(1).(4).7、在正方体ABCD-ABCD中，点M,N分别在AB1,BC1(M,N不与BbG重合),且AM=BN,那么AAMN：AC、那:MN平面ABCD；MN与AC异面.以上4个结论中，正确结论的序号是.【答案】：解析过M作MP/7AB交BBl于P,连接NP,则平面MNP平面AC,所以MN平面A1B1C1D1,又,平面A1B1C1D1,所以lMN.当M与Bl重合,，与C重合时，则A1C1与MN相交,所以正确.【问题探究,变式训练】：例1、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1,AB=AC,E是BC的中点,求证:平面ABE_1.平面BBCG；(2)
7、AlC平面ABE【解析】：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,CG_1.平面ABC.因为AEU平面ABC所以CCilAE因为AB=AeE为BC的中点,所以AElBC.因为BCU平面B1BCC1,CC,平面B1BCC1,且BCnCa=&所以AEA平面B1BCC1.因为E平面AB1E,所以平面ABlE，平面B1BCC1如图,连结AB,设A1BAB1=F,连结EF.在直三棱柱ABCABG中，四边形AABB为平行四边形,所以F为A1B的中点.乂因为E是BC的中点,所以EF/7A1C因为EFU平面AB1E,ACQ平面AB1E,所以AC平面ABE【变式IJJ如图,在三棱锥PABC中,BPC,CA=CBf
8、M是B的中点，点N在棱PC上,点D是B的中点.求证：(1) MD平面PAC；又因为CEc平面BEC,所以AHJXE.(14分)【变式6、如图，正三棱柱ABCABG的高为其底面边长为2.已知点M,N分别是棱A1C1,AC的中点,点D是棱CG上靠近C的三等分点.求证：(2) B1M/7YiEfA1BN;AD_1.平面ABN.【解析】：(1)如图,连结MN,在正三棱柱ABCABC中，四边形A1ACC1是矩形.因为V,N分别是梭AC,AC的中点，所以四边形A1ANM也是矩形，从而MN1.(2分)又因为lAB1B,所以MNZBB所以四边形BBNM是平行四边形,则B崔BM（4分）因为BA口平面A1BN,B
9、NU平面ABN,所以BM平面ABN.（6分）（2）在正三棱柱ABCA1B1C1,Y三BC,BNU平面ABC,所以,BN.因为N是正三角形ABC的边AC的中点,所以AClBN.又因为A1AAC=A,AAAeU平面和ACG,所以BNj_平面AlACC.因为ADc平面A1ACC11所以BND.（10分）近3在平面,ACC1,tanZA1NAtanNDAC=邛-=1,所以NAAA与NDAC互余，得AD_1.AN（12分）因为DBN,D1N,BN1N=N,且A1N,BNU平面A1BN,所以AD_1.平面1BN.（14分）【关联I1.如图,正三棱柱A1B1C1ABC中,点D,E分别是ACAB的中点.（1）
10、求证：ED平面BBCC：若AB=B,求证：ABJ平面BE.【解析】连结A。,BG,因为AAqC是矩形,D是A的中点,所以D是AG的中点.（2分）在AABG中，因为D,E分别是AC,AB的中点，所以DEB&.（4分）因为DEQ平面BB1C1C,BCl平面BB1C1C,所以ED平面BBCC.（6分）（2）因为AABC是正三角形,E是AB的中点,所以CE_1.AB.乂因为正三棱柱A1B1C1ABC中,平面ABCJ_平面ABB1A1,平面ABC平面ABB1A1=AB,CEU平面ABC,所以CE平面ABB1A1.从而CElA1B.(9分)在矩形ABBA中，因为兴所以Rt1B1BRtBiBE,Dili、从
11、而NBAB=NBBE因此NBAB+NABE=NBBE+NA岛E=90,所以AIBJ.B1E.乂因为CE,BlEc平面B1CE,CEB1E=E,所以AB_1.平面BCE.(14分)例2、如图,在四棱锥P-AfiQ中,，GB=C。，点E为棱PB的中点.(1)若尸8=PD,求证：PClBD;(2)求证：CE平面/小。.【解析】：证明：(1)取B。的中点0、连结C。，PO.因为CD=CB,所以CBD为等腰：角形,所以BD1.CO.因为PB=PD,所以PBD为等腰三角形,所以BD1PO.又，所以W平面PcO.因为PCU平面PCO,所以Pe工BD.(3) ItlE为PB中点,连EO,则EO/PD,又田a平
12、面PAD,所以EO/平面PAD.由，以及_1.CO,所以Co八。，又COa平面小。，所以CO平面QAO.又,所以平面CEo平面PAD,而CEU平面CEO,所以CE/TiftlPAD.【变式11如图,在三棱锥A-BCD中,E,F分别为棱BC,CD上的点,且BD平面AEF.(1)求证:EF平面ABD：(2)若BD_1.CD,AE_1.平面BCD,求证：平面EF_1.平面ACD.【解析】：(1)因为BD平面AEF,BD平而BCD,平面AEF平面BCD=EF,所以BDEF.因为BD平面ABD,EF平面ABD,所以EF平面ABD.(2)因为AE_1.平面BCD,CD平面BCD,所以AECD.因为BDlC
13、D1BD/7EF,所以CDEE,又AEEF=E,AE平面AEF,EF平面AEF,所以CD_1.平面AEF.又CD平面ACD,所以平面AEF_1_平面ACD.【变式2】、如图,在四棱锥Aea)中，底面/38是矩形,点E在棱y上(异于点P,。)，平面ABE与棱/”交于点儿(1)求证：AB/EFX(2)若平面EWJ_平面BCD,求证：FEF.,、fH【辩析】：D因为XSCD是矩形，所以45CD.又因为/Ba下面/X?.CDU平面PDC,所以ABU平面PDC.又因为XJU孑面/6EF,平面.血尸平面PDCEF.所以34.（2）因力CD是矩影，麻九又因为平面一平曲出。力，二（ft4D11牛角WD4.48
14、二平面的。，所以.U一4IjR.又UU二面PAD.所V.AB.4F.又由（1钝ABEF.4F.EF.【变式3】、如图,在四式锥尸3）中,底面ABCD是矩形,平面PADJ_平面BCD,P=D,M,N分别为棱PD,PC的中点.求证:（1）求平面PAB；（2）AMJ_平面PCD.【解析】（1）因为此N分别为棱PD,PC的中点，所以MNZ/DC,又因为底面ABCD是矩形,所以ABDC,所以MNAB.又AAU平面PABI,WNa平面PAB,所以MN平面PAB.（2）因为AP=AD,M为PD的中点，所以AM_1.PD.因为平面PAD1平面ABCD,又平面PADC平面BCD=D,又因为底面ABCD是矩形,所
15、以CD1.W,又CDU平面ABCD,所以CDJ_平面PAD.乂AWU平面PAD,所以CDJAM.因为CD,尸DU平面PCD,所以AM_1.平面PCD.【易错警示】立几的证明必须严格按教材所给的公理!、定理、性质作为推理的理论依据,严禁生造定理,在运用定理证明时必须在写全定理的所有条件下，才有相应的结论，否则会影响评卷得分.【变式4】、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形,E为侧棱PA的中点.(1)求证：PC平面BDE；(2)若PClPA,PD=AD1求证：平面BDE_1.平面PAB.【用外如图连结XC交”干息。连结。E前喇影X5CD罡帝不酿形胞OA=.(1令)因为E为例接PA的
16、中点,，所以OEllPC的因为PB平面BDE-OEU平面BD所以PC平面生。6分)(2)因为E为PA的中点.PD=.4D所以1D(8分)因为PCI用，OEIlPC所以41O勤OEU平面BDEREU平面3D，0CD=，所以A1.平面3DE(2分)因为WU平面PAB所以平面BOEI平面知B(14今)易错警示在立体几何中，一定要用课本中允许的有关定理进行推理论证,在进行推理论证时,一定要将定理的条件写全，不能遗漏，否则，在评分时将予以扣分，高考阅卷对立体几何题证明的规范性要求较高.【关联11如图，在四棱锥PABCD中,ABCD,ACBD,AC与BD交于点0,且平面PAC_1平面ABCD,E为枝PA上
17、一点.(1)求证：BD0E;(2)若AB=2CD,AE=2EP,求证：EO平面PBC.【解析】（1）因为平面PAC_1.平面ABCD,平面PAC平面ABCD=AaBD_1.AC,BDU平面ABCD,所以BD_1.平面PAC.又因为OEc平面PC,所以BD0E.（6分）（2）因为ABCD,B=2CD,AC与BD交于点0,所以Co：OA=CD：AB=1：2.又因为E=2EP,所以CO：OA=PE：E,所以EO/7PC.又因为PCc平面PBC,E（W平面PBC,所以EO平面PBC.（14分）【关联2】、如美在直三极柱ABC-A1B1C1,CA=CB1A,=2AB,D是AB的中点.（1）求证:。平面A
18、CD；若点P在线段BB上且BP=；BBb求证：AP_1.平面AlCD.【解析】（D连结Cu交A1C于点0,连结0D.因为四边形AA1C1C是矩形,所以。是A&的中点.（2分）在ZSABC中,0,D分别是AC,AB的中点，所以0DB3.（4分）乂因为ODc平面A1CD,BCa5PffiA1CD,所以BCl平面AQ.（6分）因为CA=CB,D是AB的中点，所以CD_1.AB.乂因为在直三极柱ABC-ARC中，底面ABC_1.侧面,AA1B1B,交线为AB,CDc平面ABC,所以CD_1.平而AABB.（8分）因为APU平面ABBA,所以CD_1.AP.（9分）因为BB1=1=2B,BP=牺,所以黑
19、=乎=普，所以RtABP-RtAlD,BA4从而NAAO=NBMj,所以NAAD+/.%AP=NBAP+NAAP=90,所以APj_AD.（12分）又因为CDnAID=D,CDu平面A1CD,A1Dc平面AQ,所以APJ_平面ACD.（14分）【关联3、如图，在三棱锥PABC中，平面PABJ_平面ABC,PAPB,M,N分别为AB,PA的中点.（1）求证：PB平面MNC；（2）若AC=BC,求证：PAJ_平面MNC.【解析】（1）因为M,N分别为AB,PA的中点,所以MNPB.（2分）因为MNU平面MNC,PBa平面MNC,所以PB平面MNC.（4分）（2）因为PAJ1.PB,MN/7PB,所
20、以PAlMN.（6分）因为AC=BC,AM=BM,所以CMlAB.（8分）因为平面PABJ_平面ABC,CMc平面ABc平面PAB平面ABC=AB,所以CMJ_平面PB.（12分）因为PAU平面PAB,所以CM_1.PA.因为PMN,MNc平面MNC,CMc平而MNC,MNCM=M,所以PA_1.平面MNC.（14分）【关联41如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形,PAJ.F面ABCD1M是AD的中点,N是PC的中点.求证：MN平面PAB；（2）若平面PMCJ平面PAD,求证:CMAD.【解析】如图,取PB的中点民连结AE,NE.因为E,N分别是PB,PC的中点,所以ENBC且
21、EN=BC.因为底面ABCD是平行四边形,M是AD的中点，所以AMBC且AM=BC,（3分）所以EN/7AM且E=.AM,四边形AMNE是平行四边形，所以MNAE,（5分）因为MNa平面PB,AEu平面PAB,所以MN平面PAB.（7分）如图,在平面PAD内,过点A作AH_1.PM,垂足为H.因为平面PMCJ平面PAD,平面PMC平面PAD=PM,因为AHU平面PAD,AHlPM,所以AH1.平面PMC,从而AHlCM.（10分）因为PAJ_平面BCD,CMc平面ABCD,所以PA1.CM.（12分）因为PAAH=A,PA,AHc平面PAD,所以CM_1.平面PAD,因为ADU平面PAD,所以
22、CMlAD.（14分）例3、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1fD为棱BC上一点.（1）若AB=AC,D为梭BC的中点,求证：平面ADC平面BCe此;若AIB平面ADC”求才的值.【解析】：（1）因为AB=AC,点D为BC中点,所以AD_1.BC.（2分）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以平面ABC.因为D平面ABC,所以BB1D.（4分）因为BCBB1=B,BCc平面BCC1B1,BB1C平面BCC1B1,所以AD_1.平面BeCB.因为D平面DCl,所以平面N）C平面BCC1B1.（6分）（2）连结AC交Aa于0,连结OD,所以。为AC中点.（8分）因为AB平面ADC1,A1Bc平
23、面ABC,平面ADCq平面AIBC=OD,所以A,B0D.（12分）因为0为AG中点,所以D为BC中点，所以Y=1.（14分）1.*vz【变式11如图,在四面体ABCD中,AB=AC=DB=DC,点E是BC的中点,点F在线AF段AC上,且守=人.（1）若EF平面ABD,求实数的值；（2）求证：平面BCD，平面AED.【解析】（D因为EF平面BD,EFu平面BC,平面ABC平而ABD=B,所以EF/7AB.（3分）又E是BC的中点,点F在线段AC上，所以F为AC的中点.由彳=人得人=5（6分）AVZ（2）因为AB=AC=DB=DC,E是BC的中点，所以BCj_AE,BC_1.DE.（9分）又AE
24、DE=E,AE,DEc平面AED,所以BCJ平面AED.（12分）而BCc平面BCD,所以平面BCDj.平面AED.（14分）【变式21如图,在四棱锥PABCD中,AD=CD=；AB,ABDC,ADlCDfPCI平面BCD.（1）求证:BC_1.平面PAC；（2）若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与PB交于点N,求PN:PB的值.【解析】连结AC不妨设AD=1.因为AD=CD=；AB,所以CD=1.AB=2.因为ADC=90,所以AC=乖，CAB=45.在AABC中，由余弦定理得BC=啦,所以AO+BC=AIV.所以BC_1.AC.（3分）因为PCJ.平面ABCD,BCc平面BCD
25、,所以BClPC.（5分）因为PCU平面PAC,ACU平面PAC,PCAC=C,所以BC!_平面PAC.（7分）（2）因为ABDC,CDc平面CDMN,ABQ平面CDMN,所以AB平面CDMN.（9分）因为B平面PAB,平面PB平面CDMN=MN,所以AB/7MN.（12分）在APAB中，因为M为线段PA的中点，所以N为线段PB的中点，即PN：PB的值（14分）【关联1】、如图,在三棱锥PABC中,D为AB的中点.（1）与BC平行的平面PDE交AC于点E,判断点E在AC上的位置并说明理由；（2）若PA=PB,且锐角三角形PCD所在平面与平面ABC垂宜,求证：AB_1.PC.【解析】（1）E为A
26、C的中点.理由如下：平面PDE交AC于点E,即平面PDECl平面ABC=DE,而BC/7平面PDE,BCc平面ABC,所以BCDE.（4分）在aABC中，因为D为AB的中点,所以E为AC的中点.（7分）（2）因为PA=IPB,D为AB的中点,所以ABJ1.PD,如图,在锐角三角形PCD所在平面内过点P作POlCD于点0,因为平面PCD1.平面BC,平而PCDC平面ABC=CD,所以PO_1.平面BC.（10分）因为ABU平面ABC,所以P0AB.又P0PD=P,PO,PDu平面PCD,所以ABJ平面PCD.又PCc平面PCD,所以ABlPC.（14分）【关联2、如图，在四棱锥PABCD中,底面
27、ABCD是菱形,且PB=PD.（1）求证:BDPC;（2）若平面PBC与平面PAD的交线为1,求证：BC1.【解析】如图,连结AC,交BD于点0,连结P0.因为四边形ABCD为菱形,所以BDC.（2分）又因为。为BD的中点,PB=PD,所以BDlPO.（4分）乂因为ACPO=O,所以BDl平面APC.又因为PCU平面APC,所以BDXPC.（7分）（2）因为四边形ABCD为菱形,所以BC7D.（9分）因为ADU平面PAD,BCa平面PAD,所以BC平面PAD.（11分）又因为BCU平面PBC,平面PBC平面PAD=1.所以BC1.（14分）【关联3、如图,在三棱锥PABC中，已知平面PBC_1
28、.平面ABC（1）若AB_1.BC,CP_1.PB,求证:CP1PA：（2）若过点A作直线1_1.平面ABC,求证：1平面PBC.【益折】（1）因为不面PBCl平面ASC,军面P30平直.4G=8C,.SU平面.BC,ABtBa所以期1平面P3C.（2分）因为CPU平面PBC,所以CP1.43（4今）又因为CPIP5,P3CB=B,.iB,R5U平面以5,所以CP_1.平面R1.B（6分）又因为&U平面PABf所以CP1M（分）（2）在平面PBC内江氨P作PDIBC1垂足为D，82因为平面.5U1.平面/3C,又平面P50C平面*asc,PDU平面PBC,所以PD_1.平面W3C，10分）又因为/1平面ABC,所以IIIPDU2）又因为也平面PBC,PDU平面PSC,所以，平面P3C.（H分;
