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1、.习题解答4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽,槽可视为无限长,其上有一块与槽相绝缘的盖板,槽的电位为零,上边盖板的电位为,求槽内的电位函数。解根据题意,电位满足的边界条件为根据条件和,电位的通解应取为题4.1图由条件,有两边同乘以,并从0到对积分,得到故得到槽内的电位分布 4.2 两平行无限大导体平面,距离为,其间有一极薄的导体片由到。上板和薄片保持电位,下板保持零电位,求板间电位的解。设在薄片平面上,从到,电位线性变化,。yoyboydy题 4.2图解应用叠加原理,设板间的电位为其中,为不存在薄片的平行无限大导体平面间电压为的电位,即；是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电
2、位,其边界条件为：根据条件和,可设的通解为 由条件有 两边同乘以,并从0到对积分,得到故得到 4.3 求在上题的解中,除开一项外,其他所有项对电场总储能的贡献。并按定出边缘电容。解在导体板上,相应于的电荷面密度则导体板上沿方向单位长相应的总电荷相应的电场储能为 其边缘电容为 4.4 如题4.4图所示的导体槽,底面保持电位,其余两面电位为零,求槽内的电位的解。解根据题意,电位满足的边界条件为题4.4图根据条件和,电位的通解应取为由条件,有 两边同乘以,并从0到对积分,得到故得到槽内的电位分布为 4.5 一长、宽、高分别为、的长方体表面保持零电位,体积内填充密度为的电荷。求体积内的电位。解在体积内
3、,电位满足泊松方程1长方体表面上,电位满足边界条件。由此设电位的通解为代入泊松方程1,可得由此可得或2由式2,可得故4.6 如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板,板间有一与轴平行的线电荷,其位置为。求板间的电位函数。解由于在处有一与轴平行的线电荷,以为界将场空间分割为和两个区域,则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上,可利用函数将线电荷表示成电荷面密度。电位的边界条件为题 4.6图由条件和,可设电位函数的通解为由条件,有12由式1,可得 3将式2两边同乘以,并从到对积分,有4由式3和4解得故b题4.7图4.7 如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零,槽中有一与槽平行的线
4、电荷。求槽内的电位函数。解由于在处有一与轴平行的线电荷,以为界将场空间分割为和两个区域,则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上,可利用函数将线电荷表示成电荷面密度,电位的边界条件为,由条件和,可设电位函数的通解为由条件,有12由式1,可得3将式2两边同乘以,并从到对积分,有4由式3和4解得故若以为界将场空间分割为和两个区域,则可类似地得到4.8 如题4.8图所示,在均匀电场中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱,圆柱的半径为。求导体圆柱外的电位和电场以及导体表面的感应电荷密度。解在外电场作用下,导体表面产生感应电荷,圆柱外的电位是外电场的电位与感应电荷的电位的叠加。由于导体圆
5、柱为无限长,所以电位与变量无关。在圆柱面坐标系中,外电场的电位为常数的值由参考点确定,而感应电荷的电位应与一样按变化,而且在无限远处为0。由于导体是等位体,所以满足的边界条件为题4.8图由此可设 由条件,有 于是得到 故圆柱外的电位为若选择导体圆柱表面为电位参考点,即,则。导体圆柱外的电场则为导体圆柱表面的电荷面密度为 4.9 在介电常数为的无限大的介质中,沿轴方向开一个半径为的圆柱形空腔。沿轴方向外加一均匀电场,求空腔内和空腔外的电位函数。解在电场的作用下,介质产生极化,空腔表面形成极化电荷,空腔内、外的电场为外加电场与极化电荷的电场的叠加。外电场的电位为而感应电荷的电位应与一样按变化,则空
6、腔内、外的电位分别为和的边界条件为时,；时,为有限值；时,由条件和,可设带入条件,有 ,由此解得 ,所以题4.10图4.10 一个半径为、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面,如题4.10图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地,第一象限和第三象限分别保持电位和。求圆柱面内部的电位函数。解由题意可知,圆柱面内部的电位函数满足边界条件为为有限值；由条件可知,圆柱面内部的电位函数的通解为代入条件,有 由此得到故4.11 如题4.11图所示,一无限长介质圆柱的半径为、介电常数为,在距离轴线处,有一与圆柱平行的线电荷,计算空间各部分的电位。解在线电荷作用下,介质圆柱产生极化,介质圆柱内
7、外的电位均为线电荷的电位与极化电荷的电位的叠加,即。线电荷的电位为 1题4.11图而极化电荷的电位满足拉普拉斯方程,且是的偶函数。介质圆柱内外的电位和满足的边界条件为分别为为有限值；时,由条件和可知,和的通解为23将式13带入条件,可得到45当时,将展开为级数,有 6带入式5,得 7由式4和7,有 由此解得 ,故得到圆柱内、外的电位分别为89讨论：利用式6,可将式8和9中得第二项分别写成为其中。因此可将和分别写成为由所得结果可知,介质圆柱内的电位与位于0的线电荷的电位相同,而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生,它们分别为：位于0的线电荷；位于的线电荷；位于的线电荷。4.12 将上题的介质圆
8、柱改为导体圆柱,重新计算。解导体圆柱内的电位为常数,导体圆柱外的电位均为线电荷的电位与感应电荷的电位的叠加,即。线电荷的电位为1而感应电荷的电位满足拉普拉斯方程,且是的偶函数。满足的边界条件为；。由于电位分布是的偶函数,并由条件可知,的通解为2将式1和2带入条件,可得到3将展开为级数,有4带入式3,得5由此可得 ,故导体圆柱外的电为6讨论：利用式4,可将式6中的第二项写成为其中。因此可将写成为由此可见,导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生,它们分别为：位于0的线电荷；位于的线电荷；位于的线电荷。4.13 在均匀外电场中放入半径为的导体球,设1导体充电至；2导体上充有电荷。试分别计算两种情况下
9、球外的电位分布。解1这里导体充电至应理解为未加外电场时导体球相对于无限远处的电位为,此时导体球面上的电荷密度,总电荷。将导体球放入均匀外电场中后,在的作用下,产生感应电荷,使球面上的电荷密度发生变化,但总电荷仍保持不变,导体球仍为等位体。设,其中是均匀外电场的电位,是导体球上的电荷产生的电位。电位满足的边界条件为时,；时,其中为常数,若适当选择的参考点,可使。由条件,可设代入条件,可得到 ,若使,可得到 2导体上充电荷时,令,有 利用1的结果,得到 4.14 如题4.14图所示,无限大的介质中外加均匀电场,在介质中有一个半径为的球形空腔。求空腔内、外的电场和空腔表面的极化电荷密度介质的介电常数
10、为。解在电场的作用下,介质产生极化,空腔表面形成极化电荷,空腔内、外的电场为外加电场与极化电荷的电场的叠加。设空腔内、外的电位分别为和,则边界条件为时,；时,为有限值；时,由条件和,可设题4.14图带入条件,有,由此解得 ,所以 空腔内、外的电场为空腔表面的极化电荷面密度为4.15 如题4.15图所示,空心导体球壳的内、外半径分别为和,球的中心放置一个电偶极子,球壳上的电荷量为。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。解导体球壳将空间分割为内外两个区域,电偶极子在球壳内表面上引起感应电荷分布,但内表面上的感应电荷总量为零,因此球壳外表面上电荷总量为,且均匀分布在外表面上。球壳外的场可由高斯
11、定理求得为题 4.15图外表面上的电荷面密度为 设球内的电位为,其中是电偶极子的电位,是球壳内表面上的感应电荷的电位。满足的边界条件为为有限值；,即,所以由条件可知的通解为 由条件,有 比较两端的系数,得到,最后得到 球壳内表面上的感应电荷面密度为 感应电荷的总量为 题 4.16图 4.16 欲在一个半径为的球上绕线圈使在球内产生均匀场,问线圈应如何绕即求绕线的密度？解设球内的均匀场为,球外的场为,如题4.16图所示。根据边界条件,球面上的电流面密度为若令,则得到球面上的电流面密度为 这表明球面上的绕线密度正比于,则将在球内产生均匀场。4.17 一个半径为的介质球带有均匀极化强度。1证明：球内
12、的电场是均匀的,等于；2证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子产生的电场相同,。题 4.17图 解1当介质极化后,在介质中会形成极化电荷分布,本题中所求的电场即为极化电荷所产生的场。由于是均匀极化,介质球体内不存在极化电荷,仅在介质球面上有极化电荷面密度,球内、外的电位满足拉普拉斯方程,可用分离变量法求解。建立如题4.17图所示的坐标系,则介质球面上的极化电荷面密度为介质球内、外的电位和满足的边界条件为为有限值；因此,可设球内、外电位的通解为由条件,有 ,解得 ,于是得到球内的电位 故球内的电场为 2介质球外的电位为其中为介质球的体积。故介质球外的电场为可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子
13、产生的电场相同。4.18 半径为的接地导体球,离球心处放置一个点电荷,如题4.18图所示。用分离变量法求电位分布。解球外的电位是点电荷的电位与球面上感应电荷产生的电位的叠加,感应电荷的电位满足拉普拉斯方程。用分离变量法求解电位分布时,将点电荷的电位在球面上按勒让德多项式展开,即可由边界条件确定通解中的系数。设,其中是点电荷的电位,是导体球上感应电荷产生的电位。电位满足的边界条件为时,；时,。 题4.18图由条件,可得的通解为为了确定系数,利用的球坐标展开式将在球面上展开为 代入条件,有 比较的系数,得到 故得到球外的电位为 讨论：将的第二项与的球坐标展开式比较,可得到由此可见,的第二项是位于的
14、一个点电荷所产生的电位,此电荷正是球面上感应电荷的等效电荷,即像电荷。题4.19图4.19 一根密度为、长为2的线电荷沿轴放置,中心在原点上。证明：对于的点,有解线电荷产生的电位为对于的点,有故得到4.20 一个半径为的细导线圆环,环与平面重合,中心在原点上,环上总电荷量为,如题4.20图所示。证明：空间任意点电位为解以细导线圆环所在的球面把场区分为两部分,分别写出两个场域的通解,并利用函数将细导线圆环上的线电荷表示成球面上的电荷面密度题 4.20图再根据边界条件确定系数。设球面内、外的电位分别为和,则边界条件为：为有限值；,根据条件和,可得和的通解为12代入条件,有34将式4两端同乘以,并从
15、0到对进行积分,得5其中由式3和5,解得 ,代入式1和2,即得到4.21 一个点电荷与无限大导体平面距离为,如果把它移到无穷远处,需要作多少功？ 题 4.21图解利用镜像法求解。当点电荷移动到距离导体平面为的点处时,其像电荷,与导体平面相距为,如题4.21图所示。像电荷在点处产生的电场为所以将点电荷移到无穷远处时,电场所作的功为外力所作的功为 4.22 如题4.22图所示,一个点电荷放在的接地导体角域内的点处。求：1所有镜像电荷的位置和大小；2点处的电位。解1这是一个多重镜像的问题,共有5个像电荷,分布在以点电荷到角域顶点的距离为半径的圆周上,并且关于导体平面对称,其电荷量的大小等于,且正负电
16、荷交错分布,其大小和位置分别为 题 4.22图2点处电位4.23 一个电荷量为、质量为的小带电体,放置在无限大导体平面下方,与平面相距为。求的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡设,。解将小带电体视为点电荷,导体平面上的感应电荷对的静电力等于镜像电荷对的作用力。根据镜像法可知,镜像电荷为,位于导体平面上方为处,则小带电体受到的静电力为 令的大小与重力相等,即 题 4.24图图 2.13题 4.24图题 4.24图于是得到 4.24 如题4.24图所示,在的下半空间是介电常数为的介质,上半空间为空气,距离介质平面距为处有一点电荷,求：1和的两个半空间内的电位；2介质表面上的极化电荷密度,并证
17、明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷。解1在点电荷的电场作用下,介质分界面上出现极化电荷,利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知,镜像电荷分布为如题4.24图、所示,位于,位于上半空间内的电位由点电荷和镜像电荷共同产生,即下半空间内的电位由点电荷和镜像电荷共同产生,即 2由于分界面上无自由电荷分布,故极化电荷面密度为极化电荷总电量为4.25 一个半径为的导体球带有电荷量为,在球体外距离球心为处有一个点电荷。1求点电荷与导体球之间的静电力；2证明：当与同号,且成立时,表现为吸引力。 题 4.25图解1导体球上除带有电荷量之外,点电荷还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜
18、像法,像电荷和的大小和位置分别为如题4.25图所示,导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效。故点电荷受到的静电力为2当与同号,且表现为吸引力,即时,则应有由此可得出 4.26 两个点电荷和,在一个半径为的导体球直径的延长线上,分别位于导体球的两侧且距球心为。1证明：镜像电荷构成一个电偶极子,位于球心,电偶极矩为；2令和分别趋于无穷,同时保持不变,计算球外的电场。解1点电荷和都要在球面上引起等量异号的感应电荷,可分别按照点电荷与不接地导体球面的镜像确定其等效的像电荷。根据镜像法,点电荷的像电荷为,位于：有题4.26图,位于：而点电荷的像电荷为,位于：,位于：如题4.26图所示。由此可见,像
19、电荷和等值异号,且同时位于球心,故球心处总的像电荷为零；而像电荷和也等值异号,且位置关于球心对称,故构成位于球心的电偶极子,其电偶极矩为2球外的电位由和以及像电荷和共同产生,即当和分别趋于无穷,同时保持不变时,有球外的电场为4.27 一根与地面平行架设的圆截面导线,半径为,悬挂高度为。证明：单位长度上圆柱导线与地面间的电容为。 题 4.27图解地面的影响可用一个像圆柱来等效。设导线单位长度带电荷为,则像圆柱单位长度带电荷为。根据电轴法,电荷和可用位于电轴上的线电荷来等效替代,如题4.27图所示。等效线电荷对导体轴线的偏移为则导线与地间的电位差为故单位长度上圆柱导线与地面间的电容为4.28在上题中设导线与地面间的电压为。证明：地面对导线单位长度的作用力。解导线单位长度上的电场能量为 由虚位移法,得到地面对导线单位长度的作用力为21 / 21
