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1、第二节群基本概念I群,有限群群的阶,元素的阶.点、难点：群的等价定义，元素阶的性幅.-定义2.2.1设G为一个幺半群.若G中旬个元素均可逆，则称G为一个群GrOUP).运以满足交换律的群称为交换群或AbeI群.注对(幺)半群，也有Abel(幺)华群的概念,即群的Abel性仅对运算而占的.(2) Abel群G的运算通常用“，”表示,并称G为加群.例1设G=卜.定义？e=e,则G为群,称为单位元群或平凡群.例2(Z.+.O).(0F)(RF)为群.判断(M+.o.(mjMz,U(Q.U(RJ),否为群？例3(%,+)为群(%z、川)是否为群嗯？定义2.2.2若群G所含的元素个数有限，则称G是有限群
2、.否则称G为无限M一个有限群G所含的元素个数G称为群G的阶.二确定义定理221设G为半群,则下列陈述等价：(1) G是群：(2) G有左单位元/,而且VaeG关于这个左单位元/都是左可逆(x,.VGG.3bG.SJba=/);(3) G有右单位元r,而且YaeG关于这个右单位元r都是右可逆(ie.VG.3eG.sJ,ab=r)：(4) a.bGG.方程ax=b.ya=b在一G中都仃解.证n(2):显然.(令=e=即可)(2)n(3):YaeG.设是“关于/的左逆元，是关于/的左逆元，则有lx=cb=l,于是ah-1(ah)=(cb)(ab)=c(ba)b=clb=Cb=/故也足。关于/的右逆元
3、.又al=a(b(i)=(ab)a=Ia=a.故/也是G的右单位元因此(2)o(3).(3) =(4):设C是“关于r的右逆元,类似于(2)=(3):之证可知.，也为左的位元.flCa=Uc=r.于是a(cb)=(ac)b=rb=b,SC)(I-b(ca)=br=b.故cb与be分别是方程ax=b.ya=8在G中的解.(4)=(1):设/是方程)价=的一个科.妨=/.又VaWG,方程加=”有解,设为a即儿=,则有la=I(Itc)=(lh)c=be=(t.从而/是G的一个左单位元.同理,方程hx=j的一个解是G的一个右单位元.他命题2.1.1(1)可知，/=r：e为G的胞位元.VweG1由方程
4、N/=e和x=e在G中有解可知，。既是左可逆又是右可逆,从而由2.1.2(1)可得可逆.因而G是一个群.由定理2.2.1的证明可知：推论2.2.2设G是群，aeG,(1)若。是G的左(右)单位元,则e也是G的右(左)单位无从而。是G的单位元；(2)若。是。的左(右)逆元,则b也是。的右(左)逆元,从而力是。的逆元.即群中的左(右)单位元与单位元是一致的，群中元素是左(右)可逆马可逆是一致的.注设G为一个带有：元代数运算(叫做乘法)的非空集合，G称为群,如果群的第一等价定义：(G1):柒法对闭：(G,):乘法结合律成立；(G3):满足定理2.2.1(4).群的第二等价定义：(G1):乘法封闭：(
5、G2):乘法结合律成立；(G1):满足定理2.2.1(2).群的第三等价定义：(G1):乘法封闭：(G2):乘法结合律成立；(G1),:满足定理2.2.1(3).三有限群定理2.2.3群G的运推满足左，右消去律,即ax=ay=yxb-yb=y证Or=ay=a(Ar)=a(y)=(i)x=(l)y=ev=ey=x=y.同理可证右消去律.推的2.2.4在一个群中.方程v=和y=b在G中均百唯一的解.推论2.2.5设G为群，eeG.则e是G的单位元oe?=e.证(=)显然.(U)时于VaWG,由于=e,则eza=ea=ea=ae=ae=ae=a从而e为碓位元.定理2.2.6(有限忖的第四等价定义)：
6、设G为一个有限半哪，？；G的运算适合左，右消去律，则G为群.证因为q注由上表可以推广到一般的情况.i殳八=q,七,其上的代数运算。用一个运算表给出:O1a2&1*“12九a2%diid1.2葭则有(1) 。是人的代数运算u表中的4A；(2)。适合交换律O衣中的J/j(即对称性)：(3)。适合左(右)消去律OA中的诲一个元素在去的各行列都出现,且只出现一次；(4) 为是A的左单位元U%所在的行与顶行一段，(dli=ai,j=l,2,./),.是A的右堆位元。%所在的列与顶列T1.(4,=a,J=1.2.)；(5) %是生的左逆元(或外是力的右逆元)。勺所在的行与所在列的相交处是单位元,即4=e.
7、四元素的阶在幺半群中,我们规定aa=aa-a,n,=e.那么0呢？i殳G为利.VeG,Vb规定，(=aa(a=e，=Qy定义2.2,3设G为群，e是G的单位元，eG,使得ame成立的最小正整数/M称为元索”的阶,记作。(。)=，或M=】.若这样的，”不存在,则称。是无限阶的,记作d)=8或时=OO.注当G为加群时,其运算记为加法，单位元为0,则ma=O的川小正整数，“为)(2) (j(e)=1.(3) 群的阶和元素的阶不是一回师.例6设JGN,则全体，”次单位根所组成的集合tw=srew=J=U=e=0,1,11-l关于亚数的乘法作成一个乘法交换群,称为W次单位根群.单位元为1.2M2WTs=eEGC,=ewm次本原单位根e的阶为，.如m=3Ul=,.则M)=m(u)=(病)=3.例7模6的剌余类加群信6.+中,)=I,(=D=6,(2)(Z,+,0),Um(w()wZ,0(m)=oo.元素的阶有如下常见性质:o()=p(l)(1)0”=eow”:(2)al=*omI(-幻：若研。)=，.则4(3)e=wn,fl,两两不等:(4)VreZ.()=7-.(1)(2)若Xa)=8.虬(3)(4)a=eo=0：A=a*Oh=k；a1,a-a.a2,两两不等:VrGZ,(rtr)=.
