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1、i、设=m,c,下列集族中,X上的拓扑是().T=X,0,b,cTX,a,a9b,a,cT=X,与,4,cT=X0,力,c2、已知X=a,瓦c,d,拓扑T=X,0,4,则面二()0Xb,c,d3、设X=,b,c,拓扑T=X,0,4,dc,则X的既开又闭的非空真子集的个数为()12344、在实数空间中,有理数集。的边界8(。)是()。QR-QR5、在实数空间中,区间。1)的内部是()。0,1(0,1)6、设X是一个拓扑空间,AtB是X的子集,则下列关系中错误的是()d(Ao,使得当iN时,XiEU;同理存在可20,使得当iM时,xjeV3分令N=maxN,N2,则当iN时,xjUnV,从而UnV
2、i矛盾,故xj的极限点唯一.6分4、证明:设C是7;空间X中的一个连通子集,如果C不只包含一个点,任意选取乂了。了工丁.对于7;空间X中的两个无交的闭集x,y,应用Urysohn引理可见,存在一个连续映射了:X0,l,使得/(x)=0和/(y)=i3分由于C是X的一个连通子集,从而/(C)连通,由于O,1(C),所以Ae)=0,1,由于0,1是一个不可数集,所以。也是一个不可数集.6分5、证明:设A是任意一个由才中的开集构成的V的覆盖,因此A也是力的一个覆盖,由于4是才的紧致子集,从而A有有限个成员A,A使得nUAjnA.3分/=1由于力是正则空间的紧致子集,从而力有一个开邻域u,使得。u0a,从/=1n一而有UAinAny,从而A有有限子覆盖4,,A”,因此Y是X的一个/=1紧致子集.6分