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1、MathematicaS教程第1章Mathematica4K述1.1 运行和启动：介绍如何启动MathCmatiCa软件，如何输入并运行吩咐1.2 表达式的输入：介绍如何运用表达式1.3 帮助的运用：如何在mathematica中寻求帮助第2章Mathematica的基本量2.1 数据类型和常故：mathematica中的数据类型和基本常成2.2 变量：变量的定义，变量的替换，变星的清除等2.3 函数：函数的概念，系统函数，自定义函数的方法2.4 表：表的创建，表元素的操作，表的应用2.5 表达式：表达式的操作2.6 常用符号：常常运用的一些符号的意义第3章Mathematica的其本运算3.
2、1 多项式运算：多项的四则运第，多项式的化简等3.2 方程求解：求解一般方程，条件方程，方程数值解以与方程组的求解3.3 求积求和：求积与求和第4章函数作图4.1 二维函数作图：一般函数的作图，参数方程的绘图4.2 二维图形元素：点，线等图形元素的运用4.3 图形样式：图形的样式，对图形进行设置8.3 代数运算：表达式相关的一些运算函数8.4 解方程：和方程求解有关的些操作8.5 微枳分相关函数：关于求导，积分，泰勒绽开等相关的函数8.6 多项式函数：多项式的相关函数8.7 随机函数：能产生随机数的函数函数8.8 数值函数：和数值处理相关的函数，包括一些常用的数值算法8.9 表相关函数：创建表
3、，表元索的操作，表的操作函数8.10 绘图函数：二维绘图，三维绘图，绘图设置，密度图，图元，若色，图形显示等函数8.11 流程限制函数第1章Mathematica概述1.1MathematiCa的启动和运行MathematiCa是美国WOHram探讨公司生产的一种数学分析里的软件，以符号计算见长，也具有高精度的数值计算功能和强大的图形功能。假设在Windows环境下已安装好MathCmatiCa5.0,启动Windows后，在“起先”菜单的“程序”中单击ECM一，就启动了Mathematiea5.0,在屏幕上显示如图1的NOteboOk窗11,系统短暂取名Untitled-1,直到用户保存时重
4、新命名为止。图1输入1+1,然后按下Shif+Entcr健，这时系统起先计算并输出计算结果，并给输入和输出附上次序标识In和Outl,留意In是计算后才出现的；再输入其次个表达式，要求系统将一个二项式/+V绽开，按Shift+Enter输出计算结果后，系统分别将其标识为In和OUt2,如图2。1.数学表达式二维格式的输入Mathematic损供应了两种格式的数学表达式。形如x(2+3x)+y*(x-w)的称为一维格式，形如T-+上的称为二维格式。你可以运用快捷方式输入二维格式，也可用基本输入工具栏输入二维格式。下面列出了用快捷方式输入二维格式的方法：数学运算数学表达式按健分式1XCtrl+/2
5、n次方xnXCtrl+Ctrl+2X开2次方XCtrl+2例如输入数学表达式U,可以按如卜依次输入按键:(,x,+,1,),Ctrl+,+,4,Ctrl+,Ctrl+2,2,x,+,y另外也可从“文件”菜单中激活“限制面板”“BasicInput工具栏,也可输入，并且运用工具栏可输入更困难的数学表达式，如下图4。1.获得函数和吩咐的帮助在Notebook界面下，用？或？可向系统查询运算符、函数和吩咐的定义和用法，获得简洁而干脆的帮助信息。例如，向系统杳询作图函数PIot吩咐的用法？Plot系统将给出调用Plot的格式以与Plot吩咐的功能（假如用两个问号?”，则信息会更具体一些？Plot*给出
6、全部以Plot这四个字母开头的吩咐。2Hclp菜单任何时候都可以通过按shift+Fl键或点击“帮助”菜单项“帮助阅读”,调出帮助菜单，如图6所示。於50-Mth58）单元格式输入9核心查找SQf）帮助QPNathenatica超助浏览器IIMPIyI确定IAlIFrontEndGettingStRuleAPPIlCat其中的各按钮用途如下:(M)Function(ft)-Slot(#)一SlotSequence(_MapAll(/)MapAtMapIndexedIMapThread二JBuilt-inFunction内建函数，按数值计算、代数计算、图形和编程分类存放Add-ons&1.ink
7、s程序包附件和链接TheMathematicaBook一本完整的Mathematica运用手册GettingStarted/Demos初学者入门指南/多种演示Tour漫游MathematiCFrontEnd菜单吩咐的快捷健，二维输入格式等MasterIndex按字母吩咐给出吩咐、函数和选项的索引表假如要杳找Mathematica中具有某个功能的函数，可以通过帮助菜单中的Mahematica运用手册，通过其书目索引可以快速定位到自己要我的帮助信息。例如：须要杳找MathematiCa中方关解方程的吩咐，单击*tTheMathematicaBookw按钮,再单击“Contents”，在书目中找到有
8、关解方程的节次，点击相应的超链接，有关内容的具体说明就立刻调出来了。假如知道具体的函数名，但不知其具体运用说明，可以在吩咐按钮Goto右边的文本框中键入函数名，按Pl车键后就显示有关函数的定义、例题和相关联的章节。例如，要查找函数Plot的用法，只要在文本框中健入Plot,按InI车键后显示Plot函数的具体用法和例题的街口，如图7o图7假如已经确知MathematiCa中有具有某个功能的函数，但不知具体函数名，可以点击BUiIt-inFUnCtionS按钮，再按功能分类从粗到细一步一步找到具体的函数，例如，要找画一元函数图形的函数，点击BUilt-inFunctionsGraphicsand
9、Sound2DPlotsPlot,找到Plot的帮助信息（如图7）。实数也可以与整数，有理数进行混合运算，结果还是一个实数。Inl5:=2+l/4+0.5Out(5=2.75小数及示复数是由实部和虚部组成，实部和虚部可以用整数、实数、有理数表示。在MathCmatiCa中，JHl表示虚数单位如：In:=3+0.71Out(6=3+O.7i2 .不同类型数的转换在Mathematica的不同应用中，通常对数字的类型要求是不同的，例如在公式推导中的数字常用整数或有理数表示，而在数值计算中的数字常用实数表示。在一般状况下在输出行Out川中，系统依据输入行Inn的数字类型对计算结果做出相应的处理。假如
10、有一些特殊的要求，就要进行数据类型转换。在Mathematica中的供应以卜几个函数达到转换的目的:Nx将X转换成实数Nx,n将X转换成近似实数，精度为nRationalizefx给出X的有理数近似值Rationalizex,dx给出X的有理数近似值，况差小于dx举例:Inlb三N53,20Out(lI=1.6666666666666666667In尸N%,10%表示上一输出结果，即%=1.66666666666666666670OUt=1.666666667其次个输出是把上面计算的结果变为10位精度的数字。In:HRatiOnaliZe%Out3=-33 .数学常数Mathematica中定
11、义了一些常见的数学常数，这些数学常数都是精确数。Pi表示兀=3.14159E自然对数的底e=271828Degree1度，n/180弧度I虚数单位iInfinity无穷大8-infinity负无穷大一8GondcnRatio黄金分割数061803数学常数可用在公式推导和数值计算中，在数值计算中表示精确值。如：Inl-Pi2Out(l=112In2:=PiA2/NOUt=9.86964.数的输出形式在数的输出中可以运用转换函数进行不同数据类型和精度的转换.另外对些特殊要求的格式还可以运用如下的格式函数:NumbcrFormexpr,n数exprScicntificFormatIcxprIEngi
12、neergFormfexpr例如：Inlb=NPi30,30Out(ll=8.2128933X10HIn:=NUmberFOim%,10以n位精度的实数形式输出实以科学记数法输出实数expr以工程记数法输出实数exprOut（2NumberForm=8.212893304IO14Z面的函数输出按工程记数法表示的指数可被3楼除的实数In3)=EngineeringForm(%)%表示匕两步的输出结果,即OUtOut3/EngineeringForm=821.28933IO122.2变球1.变量的命名Mathematica中内部函数和吩咐都是以大写字母起先的标示符，为了不会与它们混沿，我们自定义的
13、变量应当是以小写字母起先，后跟数字和字母的组合，长度不限。例如：al2,ast,aST都是合法的，而12a,z*a,ab（中间有空格）是非法的。另外在Mathematica中的变量是区分大小写的。在MathematiCa中，变量不仅可以存放一个数值，还可以存放表达来计算表达式的不同值。方法为用exprx-xval,例如：In|l:=f=x/2+lOutl=1+In2:-f/.x-lOUt=IIn3j:-f/.x-2Out(3=3假如表达式中有多个变成，也可同时替换，方法为：expr.U-xval,y-yval,.)In4h-(x+y)(x-y)24x-3,y-l-aOut4=(4-a)(2+a
14、)22.3函数1 .系统函数在Mathmatic中定义广大城的数学函数可以干脆调用，这些函数共名称般表达了肯定的意义，可以帮助我们理解。下面是几个常用的函数:Floorx不比X大的最大整数Ceiling(x不比X小的最小整数Signx)符号函数Roundx接近X的整数AbsxX肯定值Maxxl,x2,x3.)xl,x2,x3.中的最大值Minxl,x2,x3.xl,x2,x3.中的最小值Randomf01之间的随机函数RandomfR,xmax0xmax之间的随机函数(R为RealJntegerjComplex之一)RandomR,Jxmin,xmaxjXminxmax之间的随机函数(R为Re
15、alJntegerjComplex之一)Exx指数函数ex1.ogxl自然对数函数InX1.og(b,x以b为底的对数函数og.XSinx,Cosx,Tanx,Cscx,Sec(x,Cotx三角函数(变盘是以弧度为单位的)ArcSin(x,ArcCos(x,ArcTanx,ArcCscx,ArcSec(x,ArcCot(x反三角函数Sinhx,Coshx,Tanhxx,Csch(x,Sechx,Cothx)双曲函数ArcSinh(x,ArcCosh(x,ArcTanhxJx,ArcCschx,ArcSechx,ArcCothxJ反双曲函数Modm,nm被n整除的余数,余数与n同号m/n的整数部
16、分nl,n2或s的最大公Quotientm,nGCDnl,n2,n3或GCDs约数，S为数据集合1.CMnl,n2或1.CMs)nl,n2或S的最小公倍数，S为数据集合N!N的阶程N!N的双阶程Mathematica中的函数与数学上的函数有些不同的地方，Mathematics中函数是一个具有独立功能的程序模块，可以干脆被调用。同时每一函数也可以包括一个或多个参数，也可以没有参数。参数的的数据类型也比较困难。更加具体的可以参看系统的帮助，了解各个函数的功能和运用方法是学习Mathematica软件的基础。2 .函数的定义(1)函数的马上定义马上定义函数的语法如下fj三pr函数名为1.自变域为X,
17、CXPr是表达式。在执行时会把expr中的X都换为f的自变盘x(不是x_)函数的自变量具有局部性，只对所在的函数起作用。函数执行结束后也就没有了，不会变更其它全局定义的同名变侬的值。请看下面的例子，定义函数HX)=XSinX+2,对定义的函数我们可以求函数值，也可绘制它的图形。In|l):=fx_=x*Sinxl+xA2Outl=x2+xSinxIn:=fOut2=l+SinlIn3:=PIOtWX,x,-3,3Out(3=-Graphics-对于定义的函数我们可以运用吩咐CIear团清除掉，而RemOVdfl则从系统中删除该函数、(2)多变依函数的定义也可以定义多个变M的函数，格式为fbjy
18、1.-expr自变M为x,y,z，相应的expr中的自变IS会被替换。例如定义函数f(x,y)=xy+ycosxoInl:=fx_,y_=x*y+y*CosxJOut(l=xy+yCosxIn:=f2,3OUt=6+3COS(3)延迟定义函数延迟定义函数从定义方法上与即时定义的区分为“=”与“：=”延迟定义的格式为flxj：X-1sinXX-1这样的分段函数应当如何定义，明显要依据X的不同值给出不同的表达式。一种方法是运用条件运算符，基本格式为：flMj:-expr/；8iIditicm,当COnditiOn条件满足时才把expr赋给f(x)o卜面定义方法，通过图形可以验证所定义函数的正确性。
19、Inl:=fx_:=x-l/;x=0f(x_J:=xA2/;(x-l)&(x0)fx_:=x-l/;x1OUt=2,4,6假如表中的元素较多时，可以用建表函数进行建表：TableK,i,min,max,step以SteP为步长给出f的数值表，i由min变到maxTablef,min,max)给出f的数值表，i由min变到max步长为1Tablef,max给出max个1的表TablefJi,imin,imaxJj,jmin,jmax,.生成一个多维表TableFormIlist)或list/TableForm以表格格式显.示一个表Rangen生成一个1,2,n1的列表Rangenl,n2,d生成
20、nl,nl+d,nl+d,.,n2的列表F面给出X乘i的值的表,i的变更范围为2,6：Inl)r=Tablex*i,i,2,6Out1=2x,3x,4x,5x,6xIn2):=Table|xA2,4HOUt=2,2,2,4用Range函数生成一个序列数：In:=Range10OUt3=l,2,3,4,5,6,7,8,9,10卜面这个序列是以步长为2,范围从8到20：In:=Range8,20Out4=8,10,12,14,16,18,20上面的参数变更都是只有一个，也可制成包括多个参数的表，下面生成一个多维表：In(51-Table(2ij,i,l,3,j,3,5)OUt5=5,6,7,7,8
21、,9,9,10,ll运用函数TabIeFOrm可以以表格的方式输出In6):=%/TableFormOut6TablcForm=567789910112.表的元素的操作当t表示一个表时，出川表示t中的第i个子表。假如t=l,2,a,b那么t3表示“a”。In|l):=t=Table|I+2,j5I,l,3,j,3,5Outl-7,9,11M8,10,12,9,11,13In2):=t2Out2j=8,10,12对于表的操作Mathematica供应了丰富的函数，具体的可以杳阅后面的附录或者系统帮助。2 .5表达式1.表达式的含义Mathcmatica能处理数学公式，表以与图形等多种数据形式。尽
22、管他们从形式上看起来不一样，但在Mathematica内部都被看成同种类型,即都把他们当作表达式的形式。MathCmatiCa中的表达式是由常地、变故、函数、吩咐、运算符和括号等组成，它最典型的形式是f,y3 .表达式的表示形式在显示表达式时，由于须要的不同，有时我们须要表达式的绽开形式,方时又须要其因子乘积的形式。在我们计克过程中可能得到很困难的表达式，这时我们乂须要对它们进行化简。常用的处理这种状况的函数就是变换表达式表示形式函数。ExpandfexprlFactorexprSimplifyexpr按寤次上升的依次绽开表达式以因子乘积的形式表示表达式进行最佳的代数运算，并给出表达式的最少项
23、形式表达式(+y)4(+y2)绽开:Inl):=Expand(x+y)A4*(x+yA2)Outl=x5+4x4y+6x3y2+x4y2+4x2y3+4x3y3+xy4+6x2y4+4xy5+y6还原上面的表达式为因子乘积的形式：In|2):=Factor%)Out2=(x+y)4(x+y2)多项式表达式的项数较多，比较困难，在显示时显得比较杂乱，而且在计算过程中没有必要知道全部的内容；或表达式的项很有规律，没有必要打印全部的表达式的结果，Mathematica供应了一些吩咐，可将它缩短输出或不输出。exr/Short或Shortexr显示表达式的一行形式Shortlexpr,n显示表达式的n
24、行形式，吩咐后加一分号“；”不输出结果将表达式(l+x)3。绽开，并仅显示一行有代表项的式子：In|3j:=Expand(l+x)301ShortOut3=l+30x+435x2+4060x3+4060x27+435x28+30x29+x3将上式分成三行的形式绽开：In|4):=ShortExpand(l+x)30,3OUt=l+30x+435x2+4060x3+27405x4+142506x5+142506x2三+27405x26+4060x27+435x28+30x29+x30把代数表达式变换到你所须要的形式没有一种固定的模式，一般状况下，最好的方法是进行多次试验，试不同的变换并视察其结果
25、，再挑出你满足的表示形式。4 .关系表达式与逻辑表达式我们已经知道“=”表示给变量赋值。现在我们来学习一些其它的逻辑与关系算子。关系表达式是最简洁的逻辑表达式，我们常用关系表达式表示一个判别条件。例如：xO,y=Oo关系表达式的一般形式是：表达式+关系算子+表达式。其中表达式可为数字表达式、字符表达式或意义更广泛的表达式，如一个图形表达式等。在我们实际运用中，这里的表达式常常是数字表达式或字符表达式。下面出Mathematics中的各种关系算子：x=y相等x!=y不相等xy大于=y大于等于xy小于yz严格递减xyyOut2=False下面是比较两个表达式的大小：Inl3=32y+1上面已设厂9
26、Out3=False用一个关系式只能表示一个判定条件，要表示几个判定条件胡组合,必需用逻辑运算符将关系表达式组织在一起，我们称表示判定条件的表达式为逻辑表达式。下面是常用的逻辑运算和它们的意义：!非&并Il或Xor异或If条件1.ogicalExandexr)绽开逻辑表达式例如卜一面的例子说明它们的应用：In4)=3*x2y+l32=y(前面已给x,y赋值，x=2,y=9)Out4=FalseIn(5):=3*xA2y+l32=yOut5=True2.6常用的符号(term)圆括号用于组合运算f)方括号用于函数花括号用于列表INl双括号用于排序%代表最终产生的结果%倒数其次次的算结果%(k)倒
27、数第k次的计算结果%n例出行OUt例的结果（用时要当心）第3章Mathematica的基本运算4.1 多项式的表示形式可认为多项式是表达式的一种特殊的形式，所以多项式的运算与表达式的运算基本一样，表达式中的各种输出形式也可用于多项式的输出。Mathematiea供应一组按不同形式表示代数式的函数。ExpandfployExpandAllIployFactorployFactorTcrmsIploy,x,y,)SimplifypolyFullSimplifyployCollectpoly,x按罂次绽开多项式Ploy全部绽开多项式PIOy对多项式PoIy进行因式分解按变量,y,进行分解把多项式化为
28、最简形式把多项式化简把多项式Poly按X籍绽开把多项式poly按x,y.的后次绽Collectpolyfix,y1)开1.下面是一些例F(1)对X-I进行分解In|l):=FactorxA8-l)Outl=(-l+x)(l+x)(l+x2)(l+x4)(2)绽开多项式(l+x)5In:=Expand(l+x)5Out(2=l+5x+10x2+lOx3+5x4+x5(3)绽开多项式(l+x+3y)4In3):=Expand(1+x+3y)41OUt=1+4x+6x2+4x3+4+12y+36xy+36x2y+12x3y+54y2+108xy2+54x2y2+108y3+108xy3+81y4(4
29、)绽开并化简(2+x)4(l+x)4(3+x)3In4:=Simplify|Expand(2+x)A4(l+x)A4(3+x)A3)Out(4=(3+x)3(2+3x+x2)42多项式的代数运弟多项式的运算有加、减、乘、除运算：N面通过例子说明。(1)多项式的加运算a2+3a+2与a+1相加(后面例子中也运用这两个多项式运算)In5b=(a2+3*a+2)+(a+l)括号可以不要Out5=3+4a+a2或者In5:=pl=a2+3*a+2jp2=a+1;p1+p2Out(5=3+4a+a2(2)多项式相减In6)r=(a2+3*a+2)-(a+1)Out6=l+2a+a或者In6:=pl-p2
30、Out61=l+2a+a(3)多项式相乘In7z-(a2+3*a+2)*(a+l)Out|7=(1+a)(2+3a+a2)或者IrI:=pl*p2Out(7=(1+a)(2+3a+a2)In81：=Expand(p1*p2C)Uu8=2+5a+4a2+a3(4)多项式相除In9h=(a2+3*a+2)(a+l)O11t9=2TI+a或者In9):=pl/p2Out92+3a+a另外运用CanCel函数可以约去公因式In10:=Cancelplp21Out10=2+a两个多项式相除，总能写成一个多项式和一个有理式相加Mathematic中供应两个函数PolynomialQuotient和Poly
31、nomialRemainder分别返商式和余式CInl1:=PolynomialQuotientxA2,l+2x,xOutll=-l+商的整式部分5 2In12):=PolynomialRemainderx2,l2x,xOutU2=1商的余式部分43.2方程与其根的表示因为Mathcmatica把方程看作逻辑语句。在数学方程式表示为形如x2-2x-3=0w的形式。在MathematiCa中用作赋值语句，这样在Mathematica中用“=（两个等号中间没有空格）表示逻辑等号，则方程应表示为ux2-2x-3=0no方程的解同原方程一样被看作是逻辑语句。例如用RoOtSlhs-rhs,vars求方
32、程X2-3x+2=0的根显示为：Inl=Rootsx2-3x+3=0,xOutdl=X=IIx=2这种表示形式说明X取1或2均可而用SOlVaIhS=rhs,vars可得解集形式:IrI:MSoIVex2-3x+3=0,xOut2-xl,x2H1求解一元代数方程N面是常用的一些方程求解函数:Solvelhs=rhs,varslNSolvelhs=rhs,varsRoots(lhs=rhs,varsFindROOtnhS=rhs,1x,X0先看S。IVe函数例子：In:HSOIVex2-2x-3=0,xOut(3=x-l),x3给出方程的解集干脆给出方程的数值解集求表达式的根求X在XO旁边的方程
33、的数值解Solve函数可处理的主要方程是多项式方程。MathematiCa总能对不高于四次的方程进行精确求解，对于二次或四次方程，解的形式可能很困难。例如求3+5x+3=0In4:=SolvexA3+5x+3=0,x)(2产(A(-27.5555)z,OutHi=-57=-.55753(-272229)3W_(1)(-27.而)产5(I)XT23，23(3(-27.2229)v*_(1.)(-27.i)产5(J)IXr23(3(-27.2229)iz,H这时可用N函数近似数值解:IrI:=N%2.求方程组的根运用SQIVe,NSOIVe和FindROOt也可求方程组的解，只是运用时格式略彳不同
34、，下面给出一个SOIVe函数的例子：求解丁=9x-2y=Inl0:=Slove2*x+3*y=9,x-2*y=1,x,yut10-x3,yl3求方程的全解假如我们求ax2+bx+c=O的根，我们用Solve函数解的结果是:I11ll1:=SoIVea*x2+b*x+c=0,xC“1,1“-b-*Jb-4ac1(b+JbAac11Outl1I=Kx,xla2a这明显是不合理的，因为对不同的a,b,c方程的解有不同的状况，而上面只是给出部分解假如要解决这个问题可用Reduce吩咐，它可依据a,b,c的取值给出全部值。In|12:=Rcduce|a*xA2+b*x+c=0,xOut12三a0&(X=
35、R-“JX=ZE2a2aa=0&b0&x=-IIc=0&b=0&a=0b因此SoIVe,RoOtS只给出方程的一般解，而RedUCe函数数可以给出方程的全部可能解,4.解条件方程在作方程计算时，可以把个方程看作你要处理的主要方程，而把其他方程作为必需满足的协助条件，你将会发觉这样处理很便利。譬如在求解像x,+bx2c=0这样的方程时，通常我们采纳x2=y的代换方法,使求解方程得到简化。在Mahcmatica中，我们通常是首先命名协助条件组，然后用名字把协助条件包含在你要用函数SolveO求解的方程组中。用Sc定义方程：sin2x+cos2x=1,在这种条件下，求解方程cosx+2sinx=KI
36、nll：=Sc=Sin|x)A2+Cos|xA2=1Outl-Cosx2+SinIxl2-IIn:=SoIVeHCOSx+2Sinx=1,Sc,Sin(x),Cos(xOut2=Sinx0,Cosx1,Sinx4,Cosx-H3.3求和与求积在Mathematica,数学上的和式符号X用Sum表示，连乘符号11/Hl求和3fi11以步长di增加i求和ffn)rru嵌套求和/-l21:2Out3三-Graphics-(2)假如要取消刻度可以运用TiCkS选项:Out4=-Graphics-假如要标注坐标名称X轴为“Time”，y轴为“Height”：In5:=Plot(f(x,x,0,2Pi,A
37、xes1.abel-(wtime,wheightw)C)Uu5=-Graphics-将坐标原点移到点(3,0),并标注图形名称为DeCayWaves：In6):=Plot(fx,x,0,2Pi,AxcsOrigin-3,0,Plot1.abel-“Decaywaves”(1)下面举例说明下面是一个斑散数据的集合的图形：Inl:=1.ist1=Tablei3+i,i,10Out(l=2,10,30,68,130,222,350,520,738,1010In2=1.istPlot1.istl1000.800*600-*40020046RloOUt=-Graphics-3.二维参数作图前面我们运用Plot吩咐可以绘出直角坐标系卜的函数图形，运用ParametrecPlot可以绘制参数曲线下面给出ParametricPlot的常用形式：ParamCtriCPiOtHfXJy,t,tmin,tmax绘出参数图ParametricPlotfx,fyJgx,gy,
