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1、手拉手模型两任意等膻三角形产生件版的全等或相似三角册,这样的共顶点模型，亦称“手拉手模型，是指两个顶角相等的等腰或者等边.角形的顶点更合,两个:角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似.寻找共膜点旋转模型的步界如下：0(1)寻找公共的顶点0(2)列出两组相等的边或者对应成比例的边0(3)将两组相等的边分别分敢到两个：角形中去证明二等或相似即U1.两等边三角形两等媵口角三角形-IrJ1.今论：连接BD、AE交于点F.连接CF.则行以下结论： 1)ABCDAACE 2)AE=BD 3)ZAFB=ZDFE 4)FC平分NBFE【俩】两个具有公共顶点的相似多边彩，在绕青公共顶点於林的过杈中.IB身
2、检作共点旋冷候型；为了更加直践.我们形象的称其为“手拉手”理里。【基本模型】一、等边三H射手Hf-由金R图3图4二、JJ1.J三Jf粒手-由全两个共i角顶点的等腰H角三角形，绕点C旋转过程中（B、c、。不共规始终有;Abcd=ZXACE:BD1.AE（位四关系）aBD=AE（数愤关系：FC平分NBFE：B于戊手蟆型的it*:两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。it4i/“两等腰，共顶点”我型糠究,在A.同例分别作正三角形ABC和正三角形COE,八。与交于点O,八。与8C交于点P,BE与CD交于点。，连接户。.有下列结论:(I)AD=BE,AP=8。：NAo8=60”：DC=OP：为正
3、三角形.其中正确的结论有.解：YAabc和Adce抢正.用形，AC=HC.DC=CE.NBCA=/DCE=仪)。.N8C+N8CD=ZDCE+ZBCD.：.ZACD=ZBCE,AC=BC在和Abce中Zacd=ZbceDC=CE.4CD(T(545).二八。二8二正确：VCDCE.：.NCBE=ZCD.VZMC=ZZM7E=6O,ZSCD=60d=ZACfi.ZCap=ZCBQ6CP1C?1*AC=BCZacp=ZBCQ4CP5C(ASA).AP=8Q,.正研：PC=QC.二aCPQ为正三角形.正确Macmabce.：.ZADC=ZBEC.ZDCE60=ZCA/HZADC.ZCAD+ZBJC=
4、60.ZAOB-ZCAD+ZBEC-60.二正确：:八DCE是IE三珀形,.,.DE=DC.ZAOB=60*,ZDCP=GOo,ZDPOZAOB,：.NDPCNDCP.：.DPDC.WDPDF二错误：所以正确的有A变式训练【变式17如图，MBD.A4C都足等边三角形,则NMC的度数是(A.I35oB.I25oC.120D.IIOp翎：ABD,AAtC那是等边:向形，：.AD=AB.AE=AC.AIJAH=ZCAE=(if.ZADH=DUA=&F.：.ZDABZ&XC-ZjCAE+ZBCZfMC=Zfl4E.jM)ACABAE(SAS).ZADC=ZABE：.ZBOC=ZBIX)+IMA+ZAB
5、E=ZlilX)+Z.IMA+ZADC=A1)H+/DtiA=60P+60。=120o.ZWKHfJ,X数12(F放选：C.有如下结【变式1-2.如图.ZiOAC和aEBC均是等边三角形.AE,8。分别与7）、CE交千点M、论：八CE/AOCRCM=CMAC=CM(三)ZDAE=ZDBC,其中正确的有(A.B,C.D.俐：丫ADAC和EBC均是等边三角形,1.AC=DCBCCE.NACE=NBCD.CEDCB,正确由将/AEC=NCBD,：3CNWAECM,：.CM=CN.正确WlftACDN.CDGV.lS).-.AE=BD-AC=CD=j2.ZAm=9(尸，.AD=AC2+CD=2.；AB
6、=3.当点A在BD上时,BD最.最大值为3+2=5,如图.过C作小_1.ADJE，由等腿-用形“线台”寿。E=/1=.E=AB+AE=3+l=4.ll:,f!:角形斜边中线等斜边半待AE=1.BC=CE2+HE:=17.故选：D.【变式2-2.如图.在RtABC中,AB=AC,点。为SC中点，点E在Ae边上.连接DE.过点式作AE的垂线,交AC于点F.T列结论:4ED三CFD:EF=Zw:8E+b=AC：SE3=：A犷-其中正确的结论是一（填序号.解：.B=AC.ZBC=9(P.,DhBC：.：.BD=CD=AD=1.BCZZiM=NGV=NC=45。，D1.BCBC=0AB2DFlDE.；.
7、NEDF-乙DC=9(P,:/9E=NCDF，AD=CD.BD=C,:.MEDzCFD(ASA).故正确：,*,lE-F分别为AS.AClr时，EF=；BCAD-故不一定E确；.Z)三CDF.AE=CF.-：BE+AE=AB-：.BE+CF=AC,故I：确：.ADE三NCDF.：,SMK=SMWSn*03=*“”+Imr=Sw=gxA。2,故正确：故答案为：【变式2-3.如图.ZA8C和?&/,均为等腰直角三角形.E在八8。内,NCAE+NC8E=90，,连接BF.I)求证：MAEsMBF,2)若阴?=I,E=2.求Cf的长.(I)证明：.FA8C和ACEF均为等腰直角角形,Z4C=ZECF=
8、45=,.,.ZACE=ZHCF.SES4CBF：解；SEsMBF,；.ZCAE=ZCBf,又嚼噜5口懵二匹.-2.又.CE+C8E=92=3.W-3VCE2=2EF2=6.CE=6.才点三：任意等晨三角彩中的手技手模型【例3】.如图.在ZXAOS和(?0/)中,OAOB.(K=OD.OA()C.ZAOB=ZCOD=3.连接AC.IiD交于煎M,连接。M卜列结论：4M8=36,AC=BD,OM平分NAoD,MO平分40.其中正确的结论是.解：E且NDCE=I2（r,连接Af,则AE的最小值为（.ZCBE=ZCA/)=30.CR为定f.ZCBE=3(为定俏.,ID在出线AB上运动时,E也在定直找
9、上运动.“1AE1.8E时，AE最小，TNCAB工资=ZABC=NCBE，.ZiB=9fIE1JF；(合时,A城小，仆RtCBF11.KFB=9CP-KBF=30.,CF=-CB=2-.F=C+CF三6.八E的加小仇为八尸6故选：C.2【变式3-2.如图,在A8C中，AB=AC=5,NfM式=120,以CA为边在/AC/的另一例作/ACM=NAa1.点”为边8C（不含端点）上的任意一点,在射线CM上截WtC=8。,连接4）.DE.AE.设AC与DE交于点F,则纹段CF的最大值为_浮_.,：/八CW=ZACB.Zfi=ZXCW=30*.在4A8和AACE中，AB=ACZabc=Zace.BD=C
10、E.BDACE（StS）.AD=AE.ZBD=ZCAE.：.CAEZDAC=ZBAD7DAC=BAC=120.即/OAE=120.：AD=AE.：.ZADE=ZAED=30*：V ZADE=ZACB=50且N）AQ=ZCAD.ADFACD.AD.AFACADADi=A-AC.AD2=SAt-.二当4。Ai短时,AF最短、CFAiK.V 1ADBC时,Ftfe,CFIK.JBiAD=AB.22.AD25八卜，T-54.CFti=AC-AFlutt=5-=.故答案为；生.444【变式3-3】【问Ja材景oz（1）如图1,等膻A4C中，Ali=AC.NaAC=I2（产，AQJ.5C尸戊Q,则一=;A
11、B【知识应用】（2）如图2,AdflCf11AM）E都是等腰三角形，NfiAC=N1.Mf1200.。、C三点在同一条口战上,连接出）.求证：iW）B三AEC.3）请舄出线段加）BI）.C/）之间的等状关系,并说明理由.图I图2解：.AR=AC.ZRAC=2fTAQA.BC.zlB=ZC=30.BQ=QC.；.AQ=AB-由勾腹定川小DQJ八犷A。：争8.,C=34=J.故然案为：3:ARAB2)证明：-NfiAC=ZZME,.Z&4C-Z&4E=ZZME-BAE即ZJH=ZfiAC.AD=AE/IWDB和MFCI,./.DAR=ZEACAB=AC.-.AADB-MEC(SAS)i(3)解：C
12、D=GAD+BD.理也如下：曲(1)可知：de=Oad.;Al)li三AAC.EC=HI).：.CDDE*ECGD+BD.实战演练1.风筝为中国人发明,相传与山以木头制成木鸟,研制三年有成,是人类最f的风格起源.如图,小飞在设计的“14醉”图案中，已知Afi=Z)NB=ND,ZBAE=DAC.那么AC与AE相等.小飞宜接证明证明:.他的证明依据是(B.SASC.ASAD.AASZJiAE=ZlAAC./.ZBEEjC=ZDAC+EC.ZfiAC=ZZME,.B=,XD.NB=ZD.ABC三4DEC(SAS).E=BD.4C=CD=2.yCD=90P.AD=AC2+CD:=2.4J三3,.当点A
13、/8D上时,BD.坡大值为3+25.如图,过C作CE_1.ADJ；E，区：也杉-改介“DE=AE=I.E=+E=3+l=4.再由直也加心斜边中找等于斜边半得UE=I,.C-CE2+E2=17.故选：D.5.如图，城段QA绕点。旋转.线段08的位置保持不变，花4的上方作等边PA,若OA=I,04=3,则在线段OA旋转过程中，戏段OP的最大做是（A.i(jB.4C.2/D.5浓：如图，以为过.匕AO的左Il!作手边,4.我孤BH.A()fiAABPirHlJflf.AO=AH=OH=.AB=AP.AOAH=Z.IiAP=Uf.(OAjflW4l,.AO=AH，0AP=NHAB.AP=ABP.f)P
14、；HH(SAS).：.OP=BH.八NOPH中.BHOH+OH-：.,l,H的延长线.时.BH的大值=CW+CW=4.的最大值为%故如B.6.如图，。是等边AA8C内,点，OA=3,08=4,OC=5,将战段B。以点5为旋转中心逆时针旋转60；战段BO以点B为旋转中心逆时旋转60得到战段BO.：.BO=Bo=4,NO80=60,：ZOO,为等边角形.80O=&).；AABC为等边三角形.B=BC.AABC=W.ZO,BO-BO=Z,BC-ZABO,即/OBA=NOBC,O,ZM和408C中OB=OBZO,BA=ZOBC.BA=BC/.OBA()BCSAS).：.OA=OC=5.在八。0中.,O
15、=5.00=4,O=3.：.OA2OOO42.：.ZAOO=90,Z4O-M)t+90=Ixr,故答案为：Ixr.7.如图，C与川/比均是等腰直角：角形，点从C,。在同一直找上，AB=AC=2,AD=AE=3.N8AC=NZME=90，WjCD=-72-解：AB=AC=2,AD=AE=3.ZBAC=ZDAE=90t,C-2A-22.DE=AE=啦,BD=ZCE,/八81.4S-ZACZJ.在AAAO和aCAF中，AB=ACZbad=Zcae.AD=AE.,.BADiCEiSAS).1.EC=BD,ABD=ZACE=ASt.Inecb=Necd=W.DE2=ECt-CD2,：.18=2,解得：C
16、)=7-2CD=-2-7,.A-2=18,解得Kl=-2-V7(l).=V2+V7.；点尸、G分别为DE,BE的中点.1-2+7二-G=W和=-1.1.22故答案为二巫.9.如图.2XACO和CE都是等腰直角三角形,NACD=NBCE=9()AE交.CD千点F,8。分别交CE,AE于点G、H.试猜测线段八.和8。的数依和位&关系.并说明理ill.解：猜测AA石18理由如F：/ZACD=ZBCE=90ZCD+ZDCE=NBcE+NDCE,即ACE=NZC8,.ACD和Z8C7?林是等朕直角：角形.AC=CD-CE=CB.在AACE与AOCB中.AC=DCZace=ZdcbEC=BCACEsDCf
17、f（SAS）,AE=RD.NCAE=NCDB;VZAFC=/DFH./用C+AFC=90.ZDWF=ZACD=90.AEHD.故段段AE和8。的数段相等,位置是重H关系.10.如图，ZfiD=ZGE=90e,AB=AD.AE=AC,AFlCB,不足为（I求证：AABCgZiA）E:（2）求/内E的度数：*ZME=9)c.,./8.4C=ZDAfe.在臣IC和)中，AB=ADZbac=Zdae.AC=AE8ACgADAE55);(2)VZCE=90,AC=AE./E=45.Ill知A8AgZiJMEZfiOl=ZE=454.：AFlBC.二NCT=90.ZCAF=45o,Zt-ZI-AC+ZCA
18、E-45t+90=135：3)砥长打到G.使得AG=F8.：AFlBG.3/G=NAFs=90.在八Fb和ZiAFG中，BF=GFZafb=Zafg.AF=AF.,.Af-BAFG(SAS).AB=G.ZBF=ZG.VCDE.AB=AD.NCBA=NEDA,CB=ED,.,.AG=D,ABF=CDA.ZG=ZCDA.：ZGCA=ZDCA=AS.fi-CGA和4C7)A.ZGCa=ZDCAZcga=Zcda.AG=ADCG5CDA(5).,.CG=CD.CD=2BF+DE./CG=CB+BF+FG=CB+28F=DE2BF.11.已知八8C和ZA都是等边三角形,点。在射线连接CE如图1.BD与C
19、E是代相等?请说明理由：如图1.求N8CE的度数：如图2,当。花8C廷长线上时，连接3E,ABE,(?与ZiADE的面枳有怎样的关系？并说明理由.解；(I)BD=CE,理由如下：(和ZSADE足都是等边.用形,：.AH-AC.AD-AE.NBAC:DAENAHC=NAC/=60ZC4E.AB=ACZbad=Zcae.AD=AEBDACE(SAS),IBD=CE;=NAC=60”，二/8CE=I20：3)SABE+S:JKBE-S.,ABC.*S,CE-S：,CM.=Sde-t-Sjcd,S.yBDS；-,ClE=Sr1ADE+SOACD.：.S.BC+S.ACD+SCDE=SjADE+S,AC
20、D,SABE+S心CDE=S必DE12.如图，在AA8C中，分别以A8、AC为糜向外恻作等腋Rl八。8与等腰RlAAEC,NDAB=NEAC=90：连接力C,EB相交于点。 1)求证：BhDC: 2)若BE=BC如图1,G、F分别是。山C中点，求线的值.如图2,连接。&若OA=2,求石的面枳. 1)证明：VZD4-ZEAC-90.：.ZEAB=ZCD.在&AE和AZMC中，AB=ADZbae=Zdac,AE=ACMEMC(SAS).NABE=ZADC.：ZBAD=W.1/008=9(K，B!BEl.DC； 2)取。E的中点“，连接G、FH,；点G是Br)的中点、,.GHBE.GH=-BK.2同
21、理.FH/CD.FH=CD,：BE=CD.BElDC.1GH=FH.GHlFH.”GF为等腹宜角三箱形，GF=2GW,VG/2；BE=BC.GF.2BC2作AAf-1.BE手,.AN1.CDT,.OAE=45，.MDAC.A4,.又AMl_8E.AN1.CD.：.OA平分NZWaZfiftt=ZCO=45,.ZDOA=ZfOA=135*.ZODA+ZOD=45j.：.ZOAE=ZODA.OD4OE.二图一丝1，ODOEO24.OAOE.。(比的面积OUOE2.213.如图（1）,在448C中，NAC8为琥角，点。为射戏8C上动点，连接A。，以八。为边在AC的右恻作等腋直角ZACF,ADE=ZA
22、ED=45,ZDE=90u,D=E,解答下列问题：MAB=AC,ZAC=90o，ZARC=ZACB=45.当点。在线段8C上时（与点4不重合），如图（2）,线段C8。之间的数量关系为CE=BD:位置关系为CE1.BD:不用证明当点。在战段8C的延长线上时，如图（3）.中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由.2）如果AHWAC,BACW9r,点/）在规段BC上运动.试探尢：当ZiABC满足一个什么条件时,C氏1.8）（点C、E重合除外）？请写出条件,并借助图（4）简述C成立的理由.解：（I）C,j8。位置关系是CE1,BD-数最关系是CE=BD.图（4）理由：如图(2).TNM)=90-ZD
23、AC.ZCAE=X-ZDAC.：.8.AQ=ZCAE.又B=CA.D=AE.ABD2ACE(SAS),ZCE=ZB=45jJiCE=BD.VZ4C=Z=45s：.ZECB-45+45-=90.UPCE1.BD.故答案为：CE-HDi*1点D（.BC的延长线hBt,的结论仍成立.如图(3),VZftAE=W),NBAC=90,.ZDAE=ZBAC.DAR=ZEAC.乂AB=AaAD=AE.DAHlEAC(.SAS).：.CE-BD.HZCE=ZBD.,.,ZBCW,BC.二/八CE=45,：./BCE=ACBZACE=W.即CElBDi+ZD.4C=90t=ZCE+ZZAC.ZGAD=ZCAE.
24、又OA=tA.GD5CAESAS).Z4CE=ZAGD=45,.：.ZBCE=NAC8+ACE=90WJceibd.图（2）图（3）图（4）14.（注意：本题中的说理过程中的每一步必须注明理由,否则不得分）如图1,在AABC中，NAC8为锐角，点。为射我8C上一点，连接八。，以八。为一边且在八。的右偏作正方形IWEED如果AB=AC,ZAC=90o；当点。在线段BC上时（与点8不曳合），如图2.线段CF、8。所在直税的位置关系为CTRD，线段CR8/）的数盘关系为CF=M:当点。在线段8C的延长线上时.如图3,中的结论是否仍燃成立?并说明理由:（2如图4.如果ABAC,NHAC是锐知.点。在线
25、段8C匕当NACB满足什么条件时,CFlBC(点C、F不重合，并说明理由解：(I)正方形AD中，AO=AR：/8AC=ND=90”，：.ZBAD=ZCAF.y,-：AB=AC,./89用C(SAS),：.CF=BD.NB=NACF./八C8+4CF=90,即CdzW).故答案为：CFlflD,CF=BD;当点。在8C的延长践上时的结论仍成立.理由如下:由正方形广如Ao=A户，ZDF=W.VZH4C=90q,：.ZDAF=ZBAC.ZDAb=ZFAC.XVztB=AC.DBJMC(SS),1.CF=BD,NACF=NABD.VffC=90c,AB=AC,：.ZABC-ASv.Z4CF=450.：
26、.ZBCF=ZCB+ZACF=W.即CF1.BD；ZACfl=45时,CFlBD.理由如下:过点A作AGlAC交CB的延长线于点G,则G4C=90,.ZACB=45,ZAGC=W1-ZACB.ZAGC-Mo-45=45.：.ZACB-ZAGC=45.：.AC=AG,：DAG=FAC（同角的余角相等），AC=AF,GMD2CF,二，4CF=AGC=45,ZBCk-ZAC+Z4C-45+45=90”.即CF1.8C.S背景:一次小组合作探究课上，小明将两个正方的按如图所示的位次摆放（点E、八、。在同一条出城上）.发现BE=DGI1.BE1.DG.小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：I）将
27、正方形八F：尸G绕点A按逆时针方向旋转（如图I），还能得到BE=G吗？若能，请给出证明：若不能，请说明理由：把背景中的正方形分别改成菱形八FG和菱形八8C。，将菱形AErG绕点A按顺时针方向旋拈（如图2）,试问当/EAG马Z8A。的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=CG仍成立？清说明理由：3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形A&7）.且黑AE=4,=8.将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旅转（如图3）.连接。8G.小组发现：在就转过程中./用+班了的值是定值,请求出这个定值.证明：.四边形AEFG为正方形.：.AE=AG.EAG=90.5C.四边形A8。)为正方形，：.AB=A
28、D,ZD=9Oi.ZEAb=ZGAD,，八即9AG/)(MS),：.BK=DGt(2)当NiG=NlM。时.BE=UG.理由如I：ZEAG=NBA4：.NEAB=ZGAD,乂V四边形AEFG和四边形ABCD为菱形.：.AE=AG.AR=AD.AEBA(iD(545).：.BE=DGx3)W：方法一；过点E作交ZM的延长线于点M.VSl过点G作GNlAR交AR于点M小题意知.AE=A.1=8.AE_AB_2,AGAD3AG-6.AD=12.：NEMA=ZANG,ME=ZGN,.,.AMENG.设EW=2,AM=劝，则GN=3小AN=3b,WjftV=8-3b,：.EDr=(2a)2+(l2+2b)2=4a2+I44+48+4-.GB2=30)2+8-3)2=92+Ga2=l3(tf2+fr2)+2O8=I34+2O8=26O.方法二I如图2,设8与QG交于Q,8与八G交于点AG=6.D=I2.；四边形AEFG和冏边形ABCD为矩形,NEAG=ZBAD,：.ZEAB=7GAD,.EAABAGAD；.AEABsGAD,二8E=A(2.A,E.G.0四点共展.：.ZGQP=ZME=W.：.GD1EB.连接EG,BD.ED2+Gfl2=EgQD2+GQ2+QB2=EG2BD2,：.EG2*f)2=42+62+82+l22=260.
