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1、大招将军饮马最值模型模型介绍一、两条线段上的能小值.冬本明帝解析：(一)巳*两个走段：1.在一条出城m上，求一点P.使PA”B最小:(1)点A、B在巨线m两侧：(2)点A、B在直线河侧:A、A是关于出线m的时称点,2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小.1R2)一个点在内例,一个点在外侧：H(3)两个点都在内例：一Bn(4)、台球两次碰壁模型变式-：已知点A、B位于直线m,n使得围成的四边形ADEB周长最短.-R,R9A1l的内例，在直或n、m分别上求点D、E点,(I)两个点都在直线外侧，MnH变式-,；已如点A位于Ilifim,n的内侧，在直规mPA+PQ+QA周长最短.
2、B,n分别上求点P、Q点n二、孝两级Iu1.的最大僮用题(运用三角彩两边之左小于第三边)*本网力解析：1、在一条出城m上，求一点P.使PA与PB的差最大：(1)点A、B在曲线m同蒯：裤：延长AB交直线m于点P,根据：.角形两边之差小于第=边,P%-PB.用长的址小值=6+410.故选：D.A变式训媒【变式1-1.如图，Rl4CP,AC=BC=4,点)E分别是AB.AC的中点，在C上找一点尸.使解；如图，连接8E，则就是用+尸E的必小佛，.RtC.C=BC=4.点。，E分别是A8,AC的中点.：.CE=2ctn,E-20-25.M+PE的公小值是2.故选：C.【变式1-2,如图.在坦形48C7）
3、中.A8=5,AD=3.动点。满足S,.8=S）Mu&a则点。到A、BW两点距离之和P+PB的破小值为_VZ1_.解：设中A8边上的高是力.Sa=s：ht-D.23二八=晟八。=2,.动点?在与A8平行且与A8的即禹是2的直线如图,作4关于出线/的对称点连接AH连接8E.则HE的长就是所求的做短即禹.在Rl8E1中.V=5.=2+2=4.fe-AB2+AE2=52+42=VZl.叩尸8的以小tflIl故答案为：41【变式1-3.如图，NAO8的边08与K轴正半轴重合，点P足。4上的一动点.点N（S,0是08上的一定点，点M是CW的中点，AOH=30,要使PM+/W最小，则点。的坐标为备至咨）一
4、解；作N关JO的对称点N.进接NM女OfP.则此时.QW+FN最小.,：OA承出平分W.()N=ON,.NNoN=2NA0N=tMy.，ZiNtW是等边三角形.；点M是ON的中点，AVMIo1V.VjJVQ的G小侑为2a，枚答案为：22【变式2-3.如图，四边形A8CC中，NftW=130,ZB=ZD=90t,在8C、C。上分别找一点时、M使八MV周氏最小时，WI/4MN+ANM的度数为100解：如图.作点A关于BC的对称点A,关于(7)的对称点A连接AA”与BC、C7)的交点即为所求的点M、N.8AZJ=130.NS=/。=90”.Z4+NA=180-/130=50.由轴对林的性施得：NA=
5、ZAM.A=ZN,：.NAMN+NANM=2(NA+NA=25O*=IO(T.故答案为：100.【例3.如图,Afi=AC.AC的承出平分线交AC千点M殳AB于点M.AB=2an.ABMC的周长是20cm.若点P在直线MN匕则PA-PB的最大值为.解：；MV垂直平分AGM-C.又；Cb.wc=8M+MC+8C=20on,BM+MA=AB=2cn,C=20-12=8(cm).在AAY上取点P，:MN承H平分AC连接M.PB,PC.PC二用-PB=PCPB在ZSPSC中PC-PBBC当尸、B、C共视时，即P运动到与产电台时,（尸C-尸历有依大（&.此时PC-PB=8C=8cm.,变式训练【变式3-
6、1.如图.已知点4的坐标为（0.1.点8的坐标为（.-2），点P在直线F=-X上运动.当网-。用最大时点P的坐标为解：作A关于百战产-X对林点C易得C的坐标为（-1.0）：连接8C,可得出设8C的方程为F=4 .45 5求SC与直战y=-X的交点，可得交点坐标为（4.-4）：此时I阴-/W）=IPC-PBT=BC取行用人假，其他BCP不共线的情况，根据三角杉三边的关系可得IPC-PBPA-PflJ.二当点P运动到P点时,I网-尸研她大，CD=8.AC-16.过点B作HE1.AC.则BE=CD=8.AE=AC-BD=16-10=6.,.=AE2+E2=62+82r,0m-PeI的最大值等于1()
7、.故答案为：10.【变式3-3.如图.在菱形八8。)中，C=6,8。=8,点为八8边的中点，点P为时角城8。上一动点，连接PC,PE.求IPC-尸El的最大伯.解：由菱形性旗可知.C点关于8。的时称点A,连接W.则AP=CP,MPf,PE-PAC-阳的最大值为2.5.模型四、造桥选址模型（即动线段类型）【例4.如图，在矩形ABCC中，AB=5,BC=4,E、F分别是A。、8C的中点，点尸、Q在EF上.且涵足PQ=2,则四边形APQ8周长的以小做为12.解：JAB=5,PQ=I,二四边形.XPQB的周长为AP+*BeABAP+80+7.则要使四边形APQB的周长以小.M要AP+BQm小即可.在八
8、8边上破取AAf-。，；点尸足8C的中点，二点B关TEF的对称点为点C,连接C,W.交杯于点Q.则GU即为APBQ的及小值.32+42=5，四边形APQB的周长破小位为5+7=12.：12.A变式训练【变式4-1.如图，在平面直角坐标系中，矩形A灰刀的顶点8在原点，点A、C在坐标他上，点。的坐标为（6,4）,E为（7）的中点，点0、Q为8C边上两个动点.且0Q=2.要使四边形APQ打的周氏最小，则点。的坐标应为_（,0.陋：点A向右平移2个单位到点E关fBC的对称点F,连接WR交BC于Q,此时MQ+EQG小，：PQ=2.DE=CE=2.4E=62+22-2jQ.要使四边形APQE的周长以小,只
9、要AP+EQ最小就行,即AP+EQ=MQ+EQ.过M作MMlRCJA.设C0=x.则10=6-2-x=4-x.4MNQS.CQ.MN-NQCF-CQVM1V=4.CF=CE=2.CQ=x,QN=Ax,.4_4-x解得:X=等.:8/=6-2母=看.故点P的坐标为：（看，0）.故乔案为：（卷，0）,【变式4-2.如图，正方形A8C。的边长为3,E、尸是对角戏8。上的两个动点，且EF=如,连接CGCF.则ACEF周长的最小值为+25-国8C解：如图所示，连接AC,以AE,E尸为钻边作平行四边形AEFG.则EfG,fF-G=2.ZGD-ZDF-45=NZMC.ZGC=90o,：AK-CB.ZABE=
10、ZCBe.BE=BE.ABE.CE(SAS).CE=AE=GF.：.CE+CF=GF+CF，.JlG,F,C在向一在线上时，CF+FG的/小值等于CG的长，此时RtCGI.CG=AG2+AC2=7(2)2+(32)2=2VCF+FG的疑小值等于25义F=&.CEFjK的嫁小俏为5+25.故答案为：2+25【变式4-3.在点角坐标系中,如形O八C8的顶点O在坐标原点，顶点八,8分别在*轴、）柏的正半釉上，OA=3,08=4,。为边OB的中点，践段EF在边OA上移动，保持EF=2,当四边形CCEF的周长Ai小时,来点RF的坐标.解：如图.作点。关于X轴的对称点D.在CBiil上限取CG=2.连接。
11、G与X轴交于点.在EA卜我“=2.：GC/EF.GC=EF.四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF,又DC、E尸的长为定值，此时解到的点E、广使四边形CDEF的周氏最小.VOE/BC.RtD,(足SRt&，n(i.J-P-.z.D,OBGD,0(BC-CG)211DTb317：,OFOE+EF=W+2二g33二方斤的坐标为(-.0).点F的坐标为.0).33回回实战演练1 .如图，在RlZA8C中,ZACB=W.C=6.8C=8,a。是/ZMC的平分戏.若P,。分别是八。和八C上的动点，则PC+P。的最小值是（）耨：作点。关于AQ的对称点。.连接.如图2所示.VAD平分N8AC，点Q在包戏八
12、8上，PQ=PQf,PC+PQ=PC+PQ,二当CQ1.AB,魂P为CQ与AO的交点时，PC+PQ取得最小俏，破小值为CQ.在RtZsABC中，ZACR=90a,AC=6.BC=8,-=AC2+BC2=,o.,.ACBC=ABCQ.li68=IOC(?.rn_24.CQ-3.PC+PQ的最小伍为空.故选：D.2 .如图.正方形ABEF的面积为%ABCE是等边三用形,点C在正方形A用小外，在对角线8尸上有一点R使。C+PE最小,则这个最小值的平方为（d8+23解：连接AC.AE.过C作CGAfi.正方形A诋，E1BF,OA=OE.即可褥：E关于郎的对称点是A,连横Ae殳处于。.则此时6Q+（7）
13、的值以小,EP+CP=AC.：正方形.AF的面积为4.ABCE是等边二诧形.AB=BE=1.BE=BC=2.在R【CG中，NC8G=90-60=30,BC=2,二C（2.BG二炳.c=cg2+AG2=l2+（2+3）2=8+43，c5=x+43.即这个鼠小值的平方为875.故选,B.3 .如图，在平面直角坐标系中，Rl40/18的顶点A在K轴的正半釉上.顶点8的坐标为（3,5）,点C的坐标为（/（）点户为斜边。8上的一个动点,则以+PC的最小值为（）A.隼B.C.22解：法一：作A关于OB的对称点D,连接CD交OBFP，则此时用+。C的值及小，；DP=PA：.+PC-PIKPC=CD.:B(3
14、.3).A=3.OA=3,/8=60.由勾股定理得噜D27连接八凡过。作。Nl_CM/MO=23山f-.j:-OAAB=-.,.=-.2*AD=2XW-r3.2VZAMB=N8=60.，/8AW=3(T,VZAO=9,/.ZO=60,VVOR,Z7M=30o,V=却)=，由勾股定理得:DRVC(X0).，CN=3=122在RlAJWC中由勾股定理曲DC二即PAPC的值小僮是粤.OBM.2伊.12(3)2法二:如图.作点C关于8的对称点O.连接AO.过点”作OM_1.oA干M.VA=3.OA=3ZDOC=2Z.4O=60oVOC=OD是等边.角形.)f-C)sin60一耳，OM=CM=CD-ys
15、fAY=444：.AMOA-OM-3-44adVdh2+am2即以+的被小依塔偿4.如图，在正方形ABCC中，八8=8,八C与8。交于点O,N是八。的中点，点.“在8C边上,RBM=6.P为时角线BD上一点，则PM-PN的最大值为（A.2B.3C.22D.42解：如图所示,以8。为对称轴作.”BDJP,连NP.根据釉对称性质可知,PN=PN,：.PM-PN=PM-PNWMN,当，W,M三点共线时，取“=”，；正方形边长为8.AC-2,-W82.YO为AC中点.AO=OC-42.：N为OA中点.：.()N-22.,.av=cv22.jv-(2.VW=6.二CW=A8-RW-8-6=2.C1.CN
16、1*BMAN,3.PMBCD,NeMV=90.VZC=45af(VC为等腰口角三角形，M=MN=1.即EM-/W的以大(ft为2,故选：A.5 .如图.在正方形A8CO中.点,厂相对加线AC三等分.且Ae=I2,点P在正方形的边上,则满足PE+PF=9的点P的个数是（A.OB,4C.6D.8解：如图，作点尸关于BC的对称点M.连接RW交8C于点M连接EW,交8Cf点H:点,尸将对向线AC三等分，HAC=I2,EC=8.FC=4=E.：点M与点F关于8C对称CF-CM=4.ZACB=ZaC.W-45,二ZACM-WmvVec2Cm24Vb则在线段BC存在点H到点E和点F的型离之和及小为459在点
17、，右仰，当点与点C道合时，则PE+PF=12二点P在CH上时.45H时,=FN2+BN2-210：AB=BC,AE=CF,ZBAE=NBCF.,.ABECRF(SAS)f=f=210.,.,f+PF=4l.,P/WI时.45PE-PF10.在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=9.同理在线段A8.AD.C/)上都存在两个点使0+=9.即共有8个点P满足PE+PF=9,故选：D.6 .如图，在Jl角坐标系中，点A,8的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是)箱上的一个动点，当8C-ACI展大时，点C的坐标是(0,6).解：VA(I.4).B(3.0).直规AB的解析式为V=-2v
18、+6.8C-AQfAH.二当48、C三点共线时阳C-Aq的值最大.此时C.：ZBAD=W.ZA,+Z4*=180-NiMO=50,二N八MN+/AVW=2X50=K)0”.ZMAN=180-I(X)=80,故答案为：808 .如图，ABC,NAC8=90“，AC+BC=14,tan8=0.75,点。，E分别是边A8,8C上的动点,解：作C关于AB的对称点C.过C作CE1BC,jAB交于点D,则DC+DE的最小值即为Cfc:VZC-90.C+BC=14.la11=O.75.C=6.8C=8.18=IO.CC=普,VZfi-ZC.CE-BCCCzABACf=19225娶;9.如图.在08C。中.点
19、时、N分别是AC和8C上的动点，=3.BC=6.ZD=60,动的过程中,8M+MV的最小值为-33-.在点M、N运峪延长BA到E,使EA=AR.过点E作ENlBC于M交ACFf.连接HM,在08C。中，ZD=6Oj.7ABC=ZD=Wt,V4C,ll.A8=3.FA=AB.*.BE=BC=6.AEBC是等J三角形,，点E和点8关于AC对称，：.BM+MN的最小假即为EN的长.RtEftV,ZftVf=9()i.ZAflC=60,BE=G,：.BM+MN=EN=Esin60,=33.故答案为：3g.10.如图,在平面直角坐标系中.长为2的线段C。（点。在点C右侧）在X轴上移动.,连接AC.BD,
20、则AC+8/）的最小值为-210-解：如图,将线段0。向左平格到C的位置，作点八关于序点的对称点A,连接CA.E,.MJ(-2.4).A(0.-2).C+BDCA,+CtE4,.E,=22+62三2i,.AC+8。的最小值为2l.故答案为：210.!I.如图，在等边八8C中，E是八C边的中点，P是八8C的中线AQ上的动点，Fl.B=6,WlBPPE的最大值是3.解：如图,连接PGA8C是等边三角形,AQ是中线.IPC=PB.是AC边的中点,AR=f.AEC=3.在/（?中，CP-PEEC,：.CP-PE3,二当与A克合时，CP-PE的值最大为3,80-尸的最大值是3.故答案为：3.12 .如图
21、.在平面直角坐标系中.点。（4.5）,点0（0.2）,当腰长为2在平腰直角三角形A8C在X轴上措动时，AQ+PC的以小值为解：连接QC、AQ,CO、OP.如右图所示，：Q0.2）,ZX48C是椎长为2的等腰出角.胸形，ZCAO=ZQOA=ZOQC=.四边形0tMC是用形.AQ=OC,.,.QPC=OC+PC.OPOC*PC.等腰直角三珀形ABC在.X轴上滑动，当OC+PC等于OP时,取得被小（ft,:抵P（4.5）.：.OPt42+52V41.AQ+C的最小值是Z1.故答案为：41.13 .如图，菱形A8CC的边长为4,Z=601.E是边八。的中点，F是边八8上的一个动点，EG=EF,且NG=
22、60,则G8+GC的最小（ft为=W_.解：取A8与8的中点M，M连接MM作点8为TMN的对称点E,连接EGEB.此时CE的长就是GB+GC的最小侑：VMNAD.-4E.2VWBIHM,AR=A,Z4=60，=2.%8=60.MW=1.AE=2.二.戊与E点虫合，；NAEB=NMHB=90,二/CM=90，(f.RtECl*,Efl=23.IiC=4.EC=27故答案为27:14 .如图.正方形ABc/）内接于。5级段MN在对角线8。上运动，若0。的面积为2n,AfN=I,则4Z1.WN周长的最小值为4.解:O的面积为2m则圆的半径为E,则BD=啦=AC,由正方形的性版.如点C是点A关于HD的
23、对称点.过点C作。1加Fl.使CV=1.连接AA交出)于点M取NM=1.连接AM、CM.则点M、N为所求点，理由；YC/MN,且AC=MN,则四边形CAN为平行四边形.则AN=CM=AM.故AWWN的周长=AA,+AN+MN=AA+1为IIt小，Wl(22)2+l2-则AAMN的周长的最小值为3+1=4.故答案为：4.15 .如图她物税y=F+2t-3与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C点尸是弛物税对称轴上任意一点,若点。、从产分别是8CHP.PC的中点,连接。凡则)E+W.的最小但为.蝌：衲物线的对称轴为直找X=-1.当X=O时.y=+2x-3=-3.则C().-3).当y=0时，+2v-3
24、=0.解得Xi=3,=l.ft(-3.0),B(1.0).,:悬D、E、F分别是BC、BAPC的中点，ADfc和DA都为APBC的中位线.DE-lpC.DF-PB.：.DE+l)kW,C+PB).2连接AC交直我X=-I于H如图.：PA=PB.：.PH+PC-M+PC-AC.，此时PB+尸C的值最小其被小值为k历.：.DFaDF的最小位为39.故答案为差.如图，正方形八8C。边长为4,DE=I,O解：在AO上取一点A,使得AA=MN=2,时四边形八AfNE的周长发短.NtEbC匕且MN=2.求四边膨八MN周长的最小值.,作A关于SC的对称点4.连接AE文.BCFN.此AD,：一.E三AkIli
25、SiIui:AE=y42+1217-A/=22+72=V3.川边形AA他E的同仁的最小（rt为253+17.（1）如图1.OC平分NAC8.点D是射线OA边上一点.00=10,ZAOC=W,则。P+P0的此小俏是10:点P、。分别在射线OCOB上运动,已知2）如图2.在菱形A8C“中，A8=8,ZD4=60,1点E是八8边上的动点，点尸是对用线Ae上的动点.求EF+BF的最小值：3）如图3,在矩形A8C。中,八8=8,AD=4,点M是八8上一动点，点N是对角度八C上一动点.请宜接1；出.MV+8V的最小值.解：（I）当。、RQ共线且OQ_1.08时，。尸+PQ的（ftfii小，：.DP+PQ的
26、袅小俏53.故答案为：53:连接。乐BD.由菱形的对角线互相垂直平分，可/8、。关于4C对称,MFDFB.：.FE+FB=EF+FD=DE,即OE就是FE+F8的生小俏，V711AD=（y.AD=AR.A8/）是等边三角形.JAE=BE.工DE1.AB（等腰三箱形三畿合一的性质）,6RlADEtI,.DE=p2-E2=82-42=41的最小=4*3）如图3,作成8关于Ae的对称点夕.过点8作8M_1.A8于W,交AC于N,连接AB交DC于P.连接BM；四边形ASC。融坦形.,.cAB./MAC=NPC4.点B关于AC的对称点是8,ZMC=ZftAC.：.ZhC=ZPCA.,.HPC.令=x,W
27、jPC=x.PD=8-X.在RlAADP中，V2=PDr+Dr.Xi=8-K)2+42.x=5.VcosZBAM=wsZPD.A:B=DP:AP.AMZ8=3：5W警,318.（I）如图，点P为宜线/上一个动点，点A,/?是直t外同IM的两个定点，连接网.PB.AR.若AB=2,则PA-PB的最大（ft为2.2）如图，在四边形ASCC中,八8=A。，ZBD=901,对角线Au1.8。，垂足为点O,O=2OC.点为。中点，点在八8上.日.8F=3AF,点.P为BD上一动点.连接P.PF,若AC=6,求PP-PE的地大假.1.PC.若PA=2,求PB-Pe的最大解；（I）根据三知形三边关系两边之差
28、小r第：边.，只有当A、8、P共线时用-产8名最大值为A8=2.故答案为：2：2）如图,作点关于BD的对称点E,连接-E并延长交BD于产.同理1）可知.此时八,P共线PF-PE灯装大悔为FE.AC=6.O=2OC.OA+OC=C,.OA=4,OC=2.；点E为OC中点，0E=（X=I,2根据对称性将：OE=OE=I.JAB=AD,Z4D=9（）,AClSD.A（阳为等腰一角三角形.=2O=42JBF=3F.AF+BF=AB.MF=2作hH1.ACTH,.八。8为等媵出角三角形.即AFH也为等腰直角：角形.H=O-AH-OE=4-I-!=2.;FE=fh2+HE2=I2+22=近1故。F-尸E的
29、以大值为：3）如图，将ZSAPC绕A点顺时针旋转150得到AP8,则FC=PR二当点F.产、B三点共践时，PB-PC有蛀大Ifl为Pr.SVZfiAC=150.二/OAP=30.OP-4PI.2:OA=ap2-op2=22-i2=M，“()=2+i.,p=VoP2-K)P2(2+3)2+l2=V8+4T=2-*6/.FK-rc=2+6极PBPC的股人值为&蓊.19.如图所示，拗物线y=-3与K轴相交于A、B两点，与F轴相交于点C,点M为推物战的顶点.求点C及顶点M的坐标：在他物战的时林轴上找一点P,使得(7/的周长最小,请求出点P的坐标：若点N是第四象限内地物践上的个动点，连接8MCM求A8C
30、N面枳的最大伯及此时点N的Hfi：(1)植物线F=2-2x-3.当X=O时.y=-3.C(0.-3),V.V=?-2-3=(-1)2-4,跄物线的顶点坐标为/(1.-4).2)如图1.由(D得.抛物线的对称轴为出线x=l.设我找K=I交8C千点。,点尸为R线*=1上仔意一点,连接AD.PB.；4C为定值，当用+PC的伯最小时，AACP的周长最小，:点B。点A关于直废X=I对法，：.PA=PB.1PA+PC=PB+PC.YPB-PC2BC,.当点P5点D版合时，RPC=PBPC=BC,此时PB+PC的值最小，PAPC的值也最小，衲物城)=-2x-3,当F=O时，则J-2x3=0,解得Xl=-I.
31、X2=3.：.A(-1.0).B(3.0).设直线BC的解析式为y=h-3,则31-3=0.耨得Jl=I.宜线BC的解析式为)=x-3.当X=I时,y=-2.：.P(I,-2).3)如图2,过点N作NF1.X轴于点F.交BC于点E.设点N的坐标为(.r,.r-2-3)，则E(.r,.r-3).：.EN=(X-3)-=-.t2+3,.SSty+Sufx=ENOFENBF=OBEN,.SHCN=X3(-+3)=-(x-)2噜,ix-垓1时.SCs.-此时N(春-).,.8(72面积的武大Ilf为经N(g.-82420.如图.已知直线y=+l与F轴交于点儿与K轴交千点。.抛物线y=2+b+与宜线交于
32、a、两点,与K岫交于8、C两点,且线段。A=。/.求该他物线的耨析式： 2）动点P在*轴上移动.当用足直角三角形时,求点P的坐标：在微物线的尚称轴上找一点V,使IAM-CM的位最大，求点时的坐标.（注：抛物规）=c=lbc=0b=aXw2.c=l、二一I为，八则它的纵坐标为家-I，;，1.即E点的坐标m.-n2-m+l）,乂；点花在狡产.t+l上.解得Wn=O（含去），m=4,.f的坐标为（4.3）. I）当4为真的顶点时.过A作八PIj_E交X枪尸Pl点，设巧(,0易知。点坐标为-2,0),illRtAOJRtPQ4f!J52.喘T号.1412：.P(X0).（三）同理,当E为直角顶点时，过
33、E作EPzlDE交X轴干四点，illRtZ4O)SRt：/)得，邛?=OAEP21EP2：.EPi=-.2.“2=JT22.1511122点坐标为-y.0).(Ill)当P为直角顶点时，过E作EA1.x轴于R设P350).lhZOZPE=90./OPA=ZFEP.RtOPRtPFE.解得/1=3./2=1.二此时的点心的坐标为（I,0）或（3,0）,标上所述，询正条件的点户的,0或（I,0）或（3,（）或,0）：3抛物线的时称釉为.1.,V,C关于N=W对称.2C=.要使NM-1wqi.即是使NM-WZflfiJ大.由三角形两边之差小于第三边得,当八、B、M在同一直线上时HM-MBl的值最大.易知H段八。的解析式为y=-x+1
