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1、胡不归最值问题模型介绍【模型总结】在求形如rP8+AW的式子的最值问题中,关键是构造与kPA相等的线段,粕。8+型同胞情化为P8+Pb型.而这里的PA必须是一条方向不变的线段.方能构造定角利用三角函数得到的等线段.t问题】如图，点P为射跳/上的一动点，A、8为定点，求P8+K的最小值.【问题解决】构造射城八。使得SinaPC!PA=k.CP=hP.将的SS转化为求PBPC收小人过B点作BCkAD交/于点P,交ADFC戊，此时PB+PC取到最小优即PB+kPA最小.U、,例题精讲【例1】.如图，AASC中，A8=AC=10,iaM=2,81.八C于点E,。是线段BE上的个动点，则CzH的最小值是
2、.J5-.等D-JBElAC,解：（ara.（1D-Wf/.CMBFM.：.ZAEB=W,Van.4=2.i殳AW=a,BE=2aAE则有：oo-（舍开），H.=2a=5,：AB=AC,BEC,CM1B,Cf2=4I（等/:二角形两腰.的高相等A*：ZDRH=ZABF：,ZHHD=ZfiEA.皿”噜=券=要BDAB5：.DH1/“J.3.0平8）一（7D/.3：.CD+DHCM.:453.；C心D的双小伤为4.A变式训练【变式1-1.如图，ERtfiC.ZACfi=90,Z=30,.WJB=2BC.请在这一结论的基础上维续思考：若AC=2,点。是AB的中点，P为边CD上一动点,则4P总CP的以
3、小值为（）；/八C8=90,点。是八8的中点,：.(I=-AB=l.2：ZCAB=W.8=60,.8CC为正三角形，,/OCE=30,PA-C7,.：.APCPAPPfAE.VZCA=30,AC=2.Apge。的坡小假为我.故选：c.;BC【变式1-2.如图，在AABC中，A8=5.4C=4,sin=-的动点，则PCW8的最小伯为孕.5_5一AcB解：过点P作PElAB于点E过点C作CHIAB于点HCBBDlAC.；/W）B=90：18。_1a8ftH.PCPB的G小竹为CH的长，,Sa=yACBD-ABCH.44=5C.CH=书.rcTw的心小侑为书.故答案为：答.333变式1-3.如图，Z
4、SABC在直角坐标系中，AB=AC,A（0,22.C（I.0）,。为射跳AO上一点,一动点P从A出发，运动路径为A-Z）-C,点尸在AC上的运动速度是在Cz）上的3倍，要使整个运动时间以少，则点。的坐标应为.yl,AABOCX解：假设P在AO的速度为3.在C”的速度为1.设。坐标为（0y）,则A。=/-CO=y2+12=y2+1,二设广汉Ij/?可等式变形为：y-y2+l则，的最小值时考虑.V的取值即可,+睁-挈）壹-平，2=2+lT+r-t+=0.-=2(HPPB),2二当点，点凡点，三点共战时,HP+PB8+0D的最小值为炳,13【变式2-3.如图，在平面直角坐标系中，拈物线=号2-25的
5、顶点为A点,且与X轴的正半轴交于点B,P点是该抛物战对称轴上的一点，则OPAP的域小值为)解得XI=0.X2=4,则8(4.0).峙I-23v-.r-2)?-2yf.oa=22+(23)2=4AB-O=OB=4.AO8为等边三角形，二NOAP=30,P-,4P.,.MP垂直平分OB.IPO=PR,：.(万弓APPB+PH.当从P、8共线时，PB-PH的由坡小.而85但八8一噂X4一22.op-1.ap的Gi小值为23.故选：3.则A2,23).的小他为BC的长.B.实战演练I.如图.在/1/?中,NA=90,Z=60.AB=2.若。是8C边上的动点,则2AD+OC的最小值是)A.23+*B.6
6、C.3+3D.4解；过点C作射线CE,使/8CE=30,再过动点。作。匕1.CE,乖足为点F，连接A。，如图所示:在Rt/)FC中，ZDCF=30c.：.DF-X.2V2AXX=2P8取燃小侑叩是尸。一尸8取出小竹，此时&R匚S1.l1.8DU。，隼+PB的最小Til即是8。的长.VZftAC=I5.ZC=45*.ZADD=30,：.）=-A=I,BD=AD=.零十的以小位足6.故选：R.3.在AABC中，AC8=9（）,/为AC上一动点，若8C=4.AC=6,则&BP+A尸的最小值为（A.5B.10C.5解：以A为顶点，AC为边在下方作CAM=45AC于M如图：2D.i()2过?作PFAMT
7、F.过Rft：BDAMTD.交B、，Z、/.人/、Z八、.Vyf2H,P2(BP-AP).2P+APi.VZG1W=45.PF1.AM.是等腰直角三角形,：.FP=华,9.BpQ长4?最小即是BP+FP最小.此时P与M介的长度，VZCAM=45i.BD1.M.工NAED=ZREC=45,VZC=90o,sinZBEC-sin45-隼UInNBE1.尊，BECE又BC=A.=42.CE=4,VAC=6,E=2.IfljMII/CAAf-in45:=坐-AE?只储/，午AP及小.oFD-合，即Bp牛”最小值是线段BD.,.DE=2.工BD=BE+DE=5.ep+ap的破小伙足VEbzj=IO,故选
8、：n.4.如图所示，菱形A8C。的边长为5,对角线08的长为4.P为OB上一动点,则AQQ号Cm的最小3C.25D.35解：如图,过点A作A，IeC于点儿过点尸住作OC于点匕连接八C交。BF点，.：四边形A8C是芟形.AClOB.*-OJ=JB=#,c=0C2-0J2=52-(25)2=T,AC=2C7=25.VOC.0CA=-0AG24M=2AsinZPOF=OP=AP+PF.W+5555OP4.0。的G小值为%故送：人.5.ffl.在平面直角坐标系中，二次函数=-+取.3的图效与X轴交于A、C（3.0）两点，若尸是K轴上一动点，点。的坐标为（0,-I）,连接PC,则ET）+PC的最小值是（
9、）C.22D.解：连接8U过点作以J.8C于4过点。作M1.3Cf”.把C代入y=-+ftx+3,褥-9+3-3=0解得6=2,二二次函数解析式为：y=-+2r+3.令y=0.-x2+2r+3=0.解得X=-I或3.：.A(-I.0),令X=O,F=-2+2r+3=3,；R03)，：.OH-OC-3.8OC=9U0，/08C=Noe=4S,VD0,7)，.O)=1.BD=A.VDH1.BC.工NDHB=WDW=)sin45o=229：PJlCB.，/PJC=900.J=零Pe2.2PPA,C=2.22.：.DP+PJ的Al小仙为22.5pDPC的最小值为4.故选：八.6 .如图，在?!Be中,
10、ZA=90o,ZB=60o.A=2,若。是8C边上的动点,6”。+DC的最小值为解；如图所示，作由A关于8C的对称点A,连接AA,AD,过。作OEJC于,VBCll,/8AC=90，ZB=60,AB=2.=3.=23ZC=30.RtCDE.DE=即2。E=CdVA与A关于比对称.：.AD=AD.工当D.在同直线上时&/)的最小就等于A上的长.此时.Rt4AE1.A,E=sinMXAA=亨X2=3：.AD+DE的G小值为3.即M。+。的尺小值为6,故探窠为：6.7 .如图，在八8C中，AB=AC=4,ZCAB=3Qc,AD1.BC,乖足为。，P为城段AC上的一动点，连接PB.PC.则办+2P8的
11、最小值为一在ZBAC的外部作ZCAE=15.作WlAEJ-F.交AD于P.此时RA+2PB最小.：.ZAFB=W：AB=AC,D1BC.ZCD=Zfi,AD=j-ZBAC=y30=15，.ZMD=/CAK+/Ca/)=30：.W=宁APP+2P2-WTB)-2.在RlZSABF中，4B=4,ZRAF=/RAC+ZCAE=45,F-sin45=4-=22.2.(.+2PB)i=28r=45.故答窠为:42.8 .如图，fiCtlj.ZftAC=30t且B=AC,P是底边上的高AH上一点.若AP+8P+CP的最小侑为22则ffC=-6,2-.解：如图将”/绕点八顺时计旋转AT得到AAMG连接PG,
12、CW.：./BAP=/CAP.：PA=PA.BCAP(SAS).：.PC=PB,YMG=PB,AG=AP.ZG4P=60,.二ZSG八是等边三角形，：.PA=PG.PAPRPC=CPPG+GM二当M.G.P.。共线时,小+/W+PC的值鼓小,G小值为线收CW的长.A+。+CP的昂小俏为2.C,W=22.VZR4f=60,.Z4C=3OZMAC=W.AM=AC=2.作BNIAC于-N=*18=I,AN=.(W=2-3,c=Vbn2n2i712+(2-V3)2正V2故答运为a-V2-9.等边三角形A8C的边长为6,将其放汽在如图所示的平面直知坐标系中，其中8C边在入轴上，BC边的岛CM在丫轴上.一
13、只电子虫从A出发，先沿轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速慢是在GC上运动速度的2倍,若电子虫走完全程的时间最坦，则点G的坐标为（0,-3j-.解：如图作CM1.AB于M.设电子虫在CG上的速度为V.电子虫走完全全程的,=毁侬=(+cg.2vVV26RtfG,l,GM=IAG.lifJl1.完zzi.df=-.易知0(；=率X63所以点G的坐标为故答案为：(O.-3).10.如图，在边长为6的正方形ABCD中，Af为A8上一点，且BM=2,N为边BC上一动点，连接MN,点8关于MN对称，对应点,为H连接阴，PG则用+2PC的Ai小值为，解：Vtf.P关干MN对称.RW=2.
14、P-2.如图所示,则点。在以M为阳心,BM为半径的例上.在线段MAIJU-个点.使袍MH=1.又.,MA=6-2=4.MP=2.遐*HP2,配上=IIil=I=T.HEMP一而怎又YNEMP=，PMA.1.jWPPM.PE_J_PA2,PE=PAJ.PA+2PC-2PC+4pA12(PC+PE)NICE.如图所示，当且仅TjHCE：.点共线时取窗圾小ft2CE,：ci-.Vbe2+bc2=V32+62=35以+2Pe的鼓小（i为fiV.II.在平面直角坐标系中，妫物税y=-2r+3与X轴交于点A（-3,0）、B（I.0.Wl,4）OQ的生小值为-22-为拊物战的顶点，AM中点Z）坐标为（-2,
15、2）；如图，Q点为y轴上一动点，Il接写出解；如图,过点O作直战OK使OK=45,过点。伸。KJ_OK干点X,OQ.与O=p+QN,连接OD.坐标为（-2.2）.：.NDoQ=AS.：.D()IOK.OQ=DQ*QK的以小位为OC的长,von22+2222故答案为：22.12.在菱形ABa)中，/048=30.如图1，过点8作8EJM。于点连接CE,点F是线段CE的中点，连接8F,11ED=2-3.求城段BF的长度：如图2,过点8作酩，A。P点,连接C,过点。作DI1.OG连接McflZMC=15*.连接请探索戏段8E,DM.KW之间的数此关系，井证明；(3)如图3,连接八C点。是对角线AC上
16、的一个动点,若八8=2S,求Q8+QC+0。的最小值.解：(I)设菱形A8C。的边长为“,WlAB=AD=a,DBC.：.AE=AD-DE=a-(2-3)fBElAD./MB=30，；.BE=8=打ftRtAflE.AEi+BE2=AB2,-2-3)J2+()2=r.解得：a=2-14-83(含去)，：.BC-2.HE在RjCE中,CE=BC2+BE2=22+li=5.；点F是或&CE的中点.IBF=ICE=y：2)BE=DM+EM.证明：如图2,在8上极取8N=OAf连接CM四边形ASCC是菱形，：.CB=CD,ZBCD=ZD=30.在4C8,V和4C7)M中.ICB=CDUCHN=DM=9
17、0。，(BN=DM.CBNCDM(SS),：.ZBCN=ZDCM.CN=CM,YBCNUDCN=g，./OCAf+/DCN=Jtr.即/MGV=30VZMCE=I5,.NCE=,MCN-NMCE=W-IU=15.,.ZNCE=ZMCE.在ACEN和ACEM中，(CN=CMJzWCE=&MCE，(CE=CE：.4CENWACEMSAS).IEN=EM.YBE=BN-EN,：.BE=DM+EM：K)=2(QOQB),2当点。与0通合时,。(；+08的值最小当点。与。用令时,QG+QB=Q+BQ=BH.当点Q与Q不点介时，QGBQBGBH.；四边形A8CC是差形，ZBCD=30t,ZC=ZCD=l5
18、t,XVZACK=30*.：./HCK=ZRCA/ACK=451.VZSHC=90,BC=AB=2展,onBC2V吊C-BII=-(=-三-=23.722即QG+Q8的以小值是21二QB+QC+QD的最小值是43.13.如图1.在平面m角坐标系中将y=2r+l向下平移3个单位长度得到直线M宜城人与X轴交于点G宜戏也F=K+2与K轴、y轴交于八、8两点，且与直践/1交于点ZX I填空：点A的坐标为（-2.0）.点B的坐标为（0.2）:（2）直级Zi的2达式为y=2l2:（3）在直线上是否存在点E,使品AoE=25但？若存在，则求出点E的坐标：若不存在，请说明理由.如图2.点尸为税段A。上一点（不
19、含端点），连接CP一动点H从C出发，沿跳段CP以每秒I个单位的速度运动到点P.再沿线段PD以每秒&个单位的速度运动到点D后停止,求点在整个运动过程中所用时间股少时点P的坐标.解：（1）直线/2：y=x+2,令=0,则X=-2.令y=0.K1Ix2.故答案为-2,0）、（0.2）：=2x+l向下平移3个单位长度得到宜践人，则直战/1的表达式为；y=2x-2.故：答案为：v=2-2s（3）：SMo=2SFABo,.y2OB=4.符*=4代入八的表达式得：4=2-2,解得：x=3-1.则点E1的坐标为4）或（-I,-4）：（4）过点P、C分别作y轴的平行线,分别交过点D作X轴平行襄于点H,H,HC交
20、RD于点P,i(2:,v-x+2.则NABC75-NHBD.PH-f2PD.MH在整个运动过程中所用时间=与我=7尸C.12当CR7/在一条宜线上时,PH+PC最小,即为C=6.点。型标h3,故：点H在整个运动过程中所用锻少时间为6秒，此时点P的坐标（1.3）.14.宜城y=告X与抛勒线y=（.3）.4*3交于48两点（其中点A在点8的左侧），与抛物线的对V称轴交千点C,抛物线的I页点为D4点D在点C的下方）,设点B的横坐标为/求点C的出标及线段C。的长（用含?的式子表示）：贪接用含，的式子表示，”与，之间的关系式（不需写出，的取假范围）：XiCD=CB.求点B的坐标：解：抛勒线y=（-3）2
21、4m+3的对林轴为直线x=3.令x=3.M1J（Jy=3-4.即点C的坐标为（3.4）.拊物城Y=Cr-32-4m+3的顶点D的坐标为（3.-4m+3）.:点。在点C的下方.CD=4-(-4oz+3)=w+l. 2）.,B在直线y-x.且其横坐悚为t,则点B的坐标为-r）.将点B的坐标代入抵!物畿y=-3）2-4m*3中.得:t(t3)*4w+33整印.(-!：w-lt2-/+3.46依照巴点画出图形,如图I所示.过点C作CEMrl*,过点（作MY轴交CEJK.-H线8C的解析式为由勾股定理得:-6.；“笠8C的解析式为FMl-BC.c2-CE2+BE2=-f7-CD=CB.工有4m+l=(7
22、-3)=自(争得工皿化的.得：4i2-3m-1=0解得，W-.或切二I.4!+y+43仔人.w=I此时一冬4v=-26=8.3故此时点B的坐标为（6,8）.作B点关于对称轴的对称点B,过点F作Flk1.eC于点M.连接BM、BB交抛物我对称轴于点M如图2所示.13AtanZFCA/-7=早,A43.sinZfC-=.FC5VH.B关于对称轴对称.ABF=BF.：BFqCF=BF+FM.3当点8、F、M-：点共线时8F+FM及小.:B点坐标为(6,8),祐物线对林轴为直线x=3.,点的坐标为(0.8).XV,MA.BC.lanZBF=.4：.NF=BNranN而F=-.415.已知拗物线y=.F
23、-ftr+c,C为常数，bQ羟过点A-1.0),点M(nt.0)是X轴正半轴上的动点.I)当6=2时，求抛物城的顶点坐标:的值:(1Y枪物成y=r2-ftv(瓦。为常数，&0)羟过点4(-I,0).l+h+c=0.t=-1-fc.当6=2时，c=-I-2=-3.二衲物线的解析式为y=x2-2x-3.Vy=?-Zv-3=Ct-1)2-4,工抛物及y=?2x3的顶点坐标为(1,-4).(11)由(D知:抛物线的解析式为yx2-bx-b-I.0点D(6.w)在该撼初线上,x=Z-hb-I=-/-I.o,fr-O.-I-b0.：.D=5,5-(-I)=2.,.b=32-I.-h-=-,.。，吗-y-)
24、Vh0.-b.242二点Q在第四象限,且在对称轴X=b的右像.2AjW+2.W=2(夸AHPM)，二取点N(O.I)，如图.过点Q作直城AN的率线.垂足为点G0G交X轴干点M.YOA=ON=KGAM=NCWA=45.GM.Q4Qfflxl*于点H,则“（吗，0）.；NHMQ=NGMA=45,；./HQM=ZHMQ=A5.：.QH=HM.QM=2WH.:炊M(m.0).*OjW-W.*MH-fem,吟景吟-机解得：w-e24.2.t+2-丝4.2+22(z+-h二3平即也X(-1),32吟-=罕解得：fr=4.16.已知她物线y=“x+3)x-I)(rt0),与X轴从左至右依次相交于八、B两点，
25、与y轴相交于点C,经过点A的H线y=-3r+6与抛物线的另一个交点为D.(1)若点。的横坐标为2.求抛物战的函数解析式；若在(1)的条件卜，枪物找上存在点R使得ZiACP是以AC为直角边的百角三角形，求点P的坐标：(3在1)的条件下,设点E是线段A。上的一点(不含渊点)，连接一动点Q从点8出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点.再沿线段ED以斑秒2联个单位的速度运动到点后杵止.向当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？工点A的坐标为(3.0)、点8两的眼标为(I,0).F线y=-Wr+经过点4.Ib=-33.y=-V3v-A3.当x=2时,y=-53.则点。的坐标为2,-
26、53).；点。在微物战上，：.a(2+32-1)=-53f.=-3则抛物城的解析式为.v=-3+3)-I)3r223r+3:A的坐标为(-3,O).C0,33:.F线AC的解析式为：丫：正什的,-AACP是以AC为直角边的r(角：角形.：.CP1.AC.设百线CP的解析式为：F=-券把C=-哼3.尸与飞UX=-3y=3x2-23x33尸埒J所述：点。的坐标为-.岑3或-.-3):3)如图2中，作/)X轴交怩物线于M，作OM1.x轴于M作EFIoM于F，则UmN/MN=粤AN5IS2ZMr=601,C.EDF=BE-2lt-fsinZEDF3RFDE：.Q的运必时间/苧+7丁T.当8和F共线时，,最小,则BEDM,此时点石坐标(I,-43).
