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1、梯子最值与斜边中点模型【模型】撵子最值问慝，希有一条我段的禹个端点在生M*上滑动的波值模型【结论】做段AB的两端在坐播“上滑动，ZABC=90,AB的中点为Q,展接OQ,QCO,Q,C三点头级时，OC取得最大值【何证】如图在RtA()B中，点.Q是中点，OQ=；AB.在RtZsABC中，曲勾股定理得CQ=4QB2+(CB)1=拈ABY+(Cfi)2.芾OC柒取科讹大信，则O,Q,C三总共戏，中OC=OQ+QC,即OC=；AB+,(；A8)2+(C8)21.bMl梯子模型的黑，美就是麻两个四形的公共边的中点作为桥梁例题精讲【例1.如图.已知，WOV=BAC=90,且点4在OM上运动.点B在ON上
2、运动.若A8=8,AC=6,则OC的最大值为4213_.解：取AB的中点心连接CE.：.AE=4.a：.RtACC,由勾股定理得.cz=AC2+AE2=42+62=2任1VZO=90j,点为AB的中点，.OE=4-B=4,2VOCOECF.二当点0、。共线时,OC段大值为4+211,故答案为：4+2FA变式训练【变式1T如图,走形A8C）.A8=2.8C=4,点八在X轴正半轴：.点。在F轴正半轴上,当点八在X轴上运动时，点D也阕之在）轴上运动，在这个运动过程中，点C到晚点O的最大距离为（C.2+1D.25解：如图.取Ao的中点连接/.；矩形A80iAB=2.HC=A.CD=B=2.AD=BC=
3、A.；点是4。的中点，.,.AH=DH=2.,CH=Vdh2D2=V4+422VZtOD=90,点，是AD的中点,0H=yAD=2ftOCMM.CO.OE4WX4=2.22二当。.E。在同直线上时./）月的最小值等于OO-OE=3.8C的最小值等于6.故答案为：6.A变式训练【变式2-1.如图,OA1.O从垂足为0A0分别是射线。A、08上的两个动点,点C是线段。的中点,且PQ=%点。从点O出发沿08方向运动过程中，动点C运动形成的路径长是e.ZO=90j.当Q点与。点限合时，PQ的中点。在OP的中点处.当P点与。点歪介时.PQ的中点C在0(?的中点处.：PQ=4,.C.点运动轨迹是以O为圆心
4、,2为半径的4播匕4二动也C运刈形成的用IlK=n4=11,4二动点C运动形成的路径长足n,故答案为n【变式2-2.如图.在AAfiC中,NABC=90.AB=3,80=4,/)为AC的中点,过点。作。_1_。凡DE.。尸分别交A8.BC于点F.求尸的最小值.,.Z/-OF=W5.ef2=de2+df2.当DE与。尸的值笈小时,EF长收的值最小，即当DF1.BC.DEUB时.线段f值朵小,如图，过。作。1.AHTE.DF1.BCTF,VZMC=90o,A8=3,C=4.4C=5.；。是斜边AC的中点,D=-C-2.5.2Ff=8025.的最小值为25实成演练1.如图，NMoN=90：矩形ABa
5、)的顶点A,B分别在OM、ON上,当8在边ON上运动时，ARfl之在边OM上运动，矩形八8C。的形状保持不变，其中八8=2,flC=3.运动过程中，当点。到点O的用离坡大时,OA长度为)/上,oBNA.3-1B.3C.2D.2-3解：如图，取A8的中点，连接。、DE.YNMoN=W.OE=E=4=2=l22；四边形AbCC是能形，：.AD=BC=a.GRtZA中.市句股定理得./-AD2+AE2(3)2+l22.由:角形的:边关系得.O.R”三点共线时点。到点。的距离被大，此时.OD=OE+DE=1+2=3.j:；点八作AF1.ODJF.则COSN八。丝=里，DEAD噂鼎解得DF=-.VOD=
6、3,；.点F是OD的中点,A承诳平分OD.：.OA=AD=y13.故选：B.D2 .如图，RtAAHC中，AB=（.AC=8.ZBAC=90o,D.E为AB，AC边上的两个动点，且）E=6.为DE中点，的鼓小值为（.213B.73C.3tld.解：如图,连接AK在AIrJb截取AG=I.5,连接FG.CG.VZR4C=90,F为DE中点,.3=?。3.2，点F在以点A为圆心,AF为半径的圆上,坐q=整ZGAF=ZBAf,AF2AB.MAGFsAAHi.GFAF1Fm巧G4F.21BF+CFGF+CI2，当点G点立点C共线时，以小值为GC的长,CG=VAG2+AC2-4+4隼,.lyf+CF的果
7、小伍为乂笋，故选:D.3 .有一架竖直能在直角墙面的梯子正在下滑.一只猫猿能盯住位于梯子正中间的老取.等待与老取距禺最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,NA8C90。.点M.N分别在射线8小8C匕MN长度始终保持不变，MN=4,E为,MM的中点，点。到8八，8C的距离分别为3和2,在此滑动过程中，猫与老鼠的距离。E的最小曲为（）山勾股定网得：HD32+22V13.在RtAMBN中.点K是MN的中点，tfA,-A,2.2，点E的运动轨i足以B为I如心.2为半径的弧,.当点E落在线校BD上时./兄的值鼓小.。的最小也为；13-2,故选：C.4 .如图，AD/B
8、C,D=2,BC=3,ZSABC的面积是4,而ZSACO的面积是.一3一，：.ZS48C的面枳为4,且8C=3,：.ABC的病为3：AD/BC.且AO=2.四边形/18。足悌形.川边形A8C。的面枳为：-J（2+3）=空233.AC。的面枳为：岑-4-.555故答案为：A.5 .如图.Z1WOAf=Wt,长方形A8C/）的顶点8、C分别在边3人（”上.当8在边上运动时.随之在边。N上运动,若CO=5.HC=24.运动过程中.点Q到点。的最大即离为q_.解：如图.取BC的小点儿连接ORDE.OD.,当。、D、E三点共线时，点/）到点。的距离最大.此时.VCD=5.BC=24.：.OE=EC=1B
9、C;12.2Of=VdCC=144+2513.二OD的最大值为：12+13=25.故答案为：25.6 .在RtZA8C中,NA8C=90.A8=8.BC=4如图,将宜先顶点8放在原点.点4放在y轴正半轴上，当点B在X轴上向右移动时，点八也随之在）轴上向下移动，当点到达晚点时，点B停止移动,在移动过程中，点C到原点的最大距徭为_4+4加一.a解：如图所示：取A8的中点,连接OECiE,当O,E,G在一条H设上时，点C到麻点的距离最大.在Rt）0.YA向=.48=8,点（用为斜边中线.0E-E-t=4.2又.81C=8C=4,.,C=B1c12+B1E2=2.,.C到原点的最大距离为：OE+CE=
10、4+4.故答案为：4+47 .如图.在等腰直角三角形ABC中,NB=90,AB=4,点”,N分别为边A8.BC上的点，J1.r=2.点D,分别是8CMN的中点，点P为斜边AC上任意一点，则PE+PD的最小侑为2，亏-I.耨：如图.作点/）关于AC的对称点。,连接CO.HD,.Bl）,交AC干点”.DD交AC于点则PD=PD.VZ.WftV=90,.MN=2.E是MN的中点、.连接-I.在以B为心半径为1的Ie位于ABC的内部的弧上;U，；PE+PD=PE+PD=BE+PE+PD-I.当8、E.P、D,四点在同一条在线上时，BE+PE+PD=BD取小，即PE+PD=BD-I最小，OD是BC的中点
11、.：.CDwBC=2.；点ZXD关于AC对称，JAC垂直平分&/)，：.CD=CD=2.ZD,CF=ZUCF=ZCDir=NCD0=45.1.NDCD=90.m=BC2+BDz2=42+22=.PFaPD的M小位为25-I.故答案为，25-I.8.如图，ACB=AO8=90,B=f),E为AB中点、1)若8=2.求ACDC的周长和面枳.若NC7M)=15,求aCM的面枳.VZACR=ADR=tM,AB=6,E为A8中点CE=3,El)=3,CD=2./.C7cE2-CH2=Vs2-I2-2V2,CDE的周长2+3-3-8.：/%的面枳-DEH=y222=227ZACfi=ZAO=90,.48=
12、6,E为AR中点、.CE=3,即=3,设CEA=2.DE4=2(x+15)=2x+50.：.ZCED=W,CDE的面枳=，3-9.如图所示，一根长2.5米的木棍(B),斜钻在与地面(OM)垂百的墙(O,V上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为R若木棍A端沿塔下滑，且8端沿地面向右滑行.如果木棍的杼端8向外滑出0*米，那么木根的顶球A沿墙下滑K少距窗？(2)木棍在滑动的过程中，请判断八、6B、P四点的所有连线中，旗些线段的长度不变,并简述理由.3在木机滑动的过程中当滑动到什么位置时.%。3的面积最大？简述理由,并求出面枳的最大值.曲在直角ZXA8C中，已/AB=25n.BO=OIm,则AO
13、=d2.52.0.72=2.4,“YDo=OB+BD,*OD=1.511*T直角：知形(TW)中,AR=CD,且CD为舒边,二。=J(CD)2-(OD)2小.AC=OA-OC=2.4m-2m=()Ant二木棍的项端A沿墙下滑0.4Mr.10.如图，平面直地坐标系中，将含30的二角尺的出角顶点C落在第二象限,其斜边两州点八,。分别落在X轴、y轴上，且A8=l2n若08=6(w.求点C的坐标：若点A向右滑动的距禹与点B向上滑动的即禹相等,求滑动的距离：(2)点C与点。的距离的加大值=12cm.：.OB=6、.BC=6.BAO=31.ZABO=6i.又.cM=6ir，：.ZCBD=W.ZBCD=30
14、D=3,CD=53.所以点C的坐标为(-339)；设点A向右滑动的距离为*,根据题意得点B向上制动的距离也为X,如图2：AO12csZalO-12cos3(-63：.AO-(/3-x,O=6+.ATr=A8=12在ATO1中,由勾股定埋得,2+6+x)2=12*.解得：a=6(3-I).滑动的点离为6：设戊C的坐标为（.y,过C作CE1.t轴，CDly.率足分别为,如图3；则OE=-X,OD=y,VZ4CE+ZCE=90,NDCB+N8CE=90,：.ZACE=NDCB,又.A=N8DC=90.：.AACEs&BCD.CEACH,CE3rzCDBCCD670,.v=-3.OCZ=X2+y2=F
15、+2=42.二取A8中点区连接CE,OE,则CE与翻之和大于或等于Ca当且仅当C,E.O:点共线时取等号,此时Co=Ct+OE=6+6=12.故答案为：12.笫二问方法二：因/AC8与/八08和为180度，所以NaO与NC8O和为18()度,故A,O.B,C四点共园1，I1.a8为1的C1.径，故茏Co的皎大伯为12.II.如图，一个梯子A8斜席在一面墙上，梯子底端为A,梯子的顶端8距地面的垂直亚氏为8C的长.1若梯子的长度是I(Mh梯子的顶端8距地面的垂直距璃为8m.如果梯子的顶端下滑I，”，原么梯子的底端A向外滑动多少米？2)设A8=c,BC=q,AC=b,且请思考梯子在滑动的过程中,是否
16、一定存在顶端下滑的距国与底端向外滑动的跖离相等的情况？若存在,谛求出这个跖离；若不存在，说明Pll由.c=102-82=6Ih勾收定厂得,C=y102-72=V51w)-.AA=AC-AC=m.梯广的底前A向外滑动(51-6mi存在顶端下泄的匹要与底端向外滑动的距自相等的情况,设帽子底端向外滑动米,则2+fr即梯子底端向外滑动()米.12.如图，将一块等腰H角三角板A8C放置在平面直角坐标系中，NAC8=90,AC=BC点A在),轴的正半轴上，点C在X轴的负半轴上，点8在第二象限.若Ac所在直线的函数发达式是y=2t+4求AC的长：求点8的坐标：(2)若(1)中AC的长保持不变，点八在)轴的正
17、半轴滑动，点C随之在X轴的负半抽上滑动,在滑动过程中,点4与原点。的最大距禹是上如一.：.A(0.4)s当v=2a4=0时，X=-2.：.C(-2.0).0A=4.OC=2,c7oa2-k)c22V过点B作HD1.X轴干点4如图1所示.VZACO+ZACB+ZBCD=IKO.Z4CYZCAO=90.NAC8=90.：.ZCAO=ZBCD.NAOC=NCDB=90在zu。C和阳中，Zcao=Zbcd.AC=CB4OG(7J(AAS).CD=AO=4.DB=OC=1.=()C+CD=6.二点8的坐标为.取/1C的中点,连接8.OE.OB.；/AOC=90.AC=25OE=(7=4C=5VCAC.C-25,BE=bc2-*ce2=5O.E.8不在一条口线I.MJOfl+-55.花点”.E.8在条宜线I.MlOBOt+fc-5+5.节O,E,。二点在一条R找上时,0。取得拼人值，加大值为5点,故答案为：55
