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1、SARS传染病模型建立与预料张亚新刘洪光田香玉摘要通过对问题的分析，本文建立了SARS传播的微分方程模型，即：呼=S(DN-F)N一dN(0,其中N(t)表示t时刻的SARS病人数，dts(t)表示t时刻的传播率，r(t)表示表示t时刻的治愈率，d(t)表示表示t时刻的死亡率。本文用s(t)、r(t)、d(t)三个参数较好地描述了SARS的传播过程。通过采集6月20号以前的数据，结合各个参数代表的实际意义，对他们分别进行指数回来分析，得到了s(t)、r(t)、d(t)的表达式，较好地刻划SARS的传播规律，并对疫情作出r预料。本模型的优点表现在：1、通过回来分析的方法使尚散的点连续化;2、用微
2、分方程描述SARS的传播问题更加精确。本文利用MatIab软件，对困难的微分方程进行求解。利用附件1供应的散点数据，得到rSARS病人数目随时间改变的曲线预料图。预料了在6月12日左右疫情将得到缓解,在7月中旬将基本消退。经检验，我们的预料与实际状况是相吻合的。文中调整s(t)、r(t)、d(t)来对模型的结果进行限制，画出提前5天和推后5天进行隔岗时病人数和时间的曲线,其结果与实际状况是相符的C本文建立的微分方程模型能够较好地对SARS的传播过程进行预料，并为政府部门供应决策依据，具有肯定的普遍适用性。关健词：SARS微分方程模型限制参数检验预料SARS（SevereAcuteRespira
3、torySyndrome,严峻急性呼吸道综合症，俗称：SARS型肺炎）是21世纪第一个在世界范圉内传播的传染病。SARS的爆发和扩散给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了很多重要的阅历和教训，相识到定肽地探讨传染病的传播规律、为预料和限制传染病扩散创建条件的重要性。因此建立一个适合率侬的传染病模型为SARS病毒的预防和限制供应牢微、足够的信息源意义重大。一、模型的假设1.1模型假设：1 .将SARS全部可能的传播途径都视为与病源的广脆接触。2 .在模型的建立中所采纳的数据都是依据卫生部所公布的数据，假设这些数据真实军旅。3 .我们把整个人群看作由两个系统组成，传染系统和非传染
4、系统。传染系统完全由活着的SARS病人组成,且只有活着的SARS病人才具有传染实力，该病人一旦治愈或一旦死亡我们就看作其退出传染系统。全部的非SARS病人组成非传染系统，其中每个成员都有可能被传染成为SARS患者。4非传染系统的成员一旦受传染就马上进入传染系统（不考虑潜藏期），并被确诊通报。5.在相当一段时间内不会出现治疗SARS的特效药。1.2符号规定1、N(t):在t时刻，具有传染实力的SARS病人；2、Nn:第n天，具有传染实力的SARS病人；3、s(t):在t时刻的传染率，即在单位时间内平均每个病人传染的人数；4、sn：第n天的传染率，即在这一天平均每个病人传染的人数；5、R(t):在
5、t时刻，被治愈出院的病人数；6、Rn:第n天，被治愈出院的病人数；7、r(t):在t时刻的治愈率，即R(t)=r(t)N；8、D(t):t时刻的死亡人数；9、Dn:第n天的死亡人数；10、d(t):在t时刻的死亡率，即D0)=d(t)N;11、Q(t)：t时刻退出传染系统的人数(包括t时刻死亡人数和治愈人数)，即：QG)=DU)+R(I);12、q(t):在t时刻的退出率，即q(0=r(t)+d(t);Na)二、模型的建立与求解在SARS爆发的初期，由于潜藏期的存在，社会对SARS病毒的传播速度和危害程度相识不够，所以政府和公众并不以为然；当人们发觉被感染者不断增加、死亡人数不断增多时，政府起
6、先实行多种措施以限制SARS的进一步扩散.所以SARS的传播可以分为三个阶段：(1)限制前的自然传播模式阶段.(2)过渡期阶段，即公众起先意识到SARS的严峻性到政府实行隔离措施前的一段时间内。(3)限制阶段，即政府实行隔离治疗措施阶段。但是，不管SARS传播处于哪个阶段，影响传播最本质的因索是：自由传染者的数侬N(t),传播的概率s(t)与病毒本身的传播实力(用R(t)和D(t)来衡量)等。所以我们不分阶段进行考虑。第n天的病人是在笫n-1天的基础上加上新增的病人，减去退出传染系统的病人，即：N.=Nn-I)-Drb-RlI移项得(1)经过转换，得U=Nn-NnT+Dn+R.取微分得到下面连
7、续的方程dts(t)N(t)=dN(t)+D(t)dt+R(t)dt即：畔=S(I)N(D-D(I)-R(I)dt由此得到SARS的传播模型为：=S(I)N-qN(I)dtq(t)=d(t)+r(t)N11=N(O)其中s(t)、d(t)、r(t)等参数可以为我们供应所须要的信息。我们只要能够知道s(t)、d(t)、r(t)的表达式，便可以求解微分方程得到N。我们依据附件1中6月20号以前的数据进行拟合,得到s(t)、d(t)、r(t)的走势曲线，从而实现对N(t)的预料。2.1 对于4t)-传染率我们依据附件1市疫情的数据，依据(1)式对S进行描点，得到一些S的散点图。随着时间的推移，隔离措
8、施、医疗保障、公众健康意识的加弼，s值应当急剧减小，并趋近于0。因此对散点进行指数回来分析(利用Matlab软件)，便可得到s关于时间t的连续函数S(t),如图1所将附件1中的数据以excel表格的形式导入到11atlab中并命名为sheet主程序为：N=Sheet(:,1)-Sheet(:,2)-Sheet(:,3);fori=2:65D(i-l)=sheet(i,2)-sheet(i-1,2);O(i-l)=sheet(i,3)-sheet(i-1,3);endD=D;0=0,;fori=l:64s(i)=(N(i+l)+D(i)+O(i).N(i)-l;ends=s;cftool在Cur
9、veFittingTool窗口中选择Xdata、Ydata,进行Exponential指数拟合绘图如下：图1s()=0.4485ea,8从图中可以看出，拟合出的指数函数与散点数据基本吻合。依据新增死亡病例和新增治愈病例的数据，也可以得到，和r的散点图。2.2 对于d(t)-死亡率随着医疗水平的提高以与对SARS病毒探讨的深化，死亡率将渐渐削减，我们对的散点图进行指数回来分析，即得d(t)(如图2)。图2d(t)=0.0H18XC-IlSm2.3 对于r(t)-治愈率在SARS疫情扩散的初期，传染系统的人数较少，由于人们对SARS病毒的了解不多，防危意识不强，导致疫情的爆发，传染系统的人数急剧增
10、加，治愈率呈现降低的趋势；随着政府的干预,人们防危意识的增加，治愈率起先增加。同样我们对它进行指数回来分析得到如下结果(图3)：图3rO=O.(X)I117eE将得到的s(t)、d(t)、r(t)代入微分方程，得=.4485e0闻-(001118ew+0.(X)l117xe,*7)t)我们利用matlab的微分方程数值求解吩咐。de45(),求得N(t)的数值解，并画出随着时间改变的曲线(图4):Matlab求解吩咐为：建立M文件eq1.mfunctiondN=eql(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+0.001117*e
11、xp(0.08967*t)*N主程序:t,N=ode45(eql,l80,288);plot(t,N,r)图4三模型结果的分析与检殴3.1 模型与实冰状况作对比图进行分析说明：Y轴表示SARS病人数，红色曲线表示我们得到的预料曲线；离取点表示实际统计数据由预料曲线可以看出：病情在5月12号左右达到高潮期，即图中曲线上升最快到起先平缓的过渡时期；疫情大约在6月12号之后起先缓解。；感染系统也许在x=70时将降到0,因此，我们预料SARS疫情将在7月中旬得到基本的消退，即疫情的“最终限制期”；实际状况是：,病情在5月15号达到最高峰，比模型中的结果晚到三天，误差较小。值得留意的是，我们所要预料的是
12、6月以后的发展趋势，因此这里产生的误差对预料不会造成太大影响.疫情大约在6月12号之后起先缓解；A由图上可以看出，在6月之后，预料曲线和实际离散点起先接近；通过在网上杳阅资料国，可以知道在7月15日全国仅有15人SARS病人接受治疗，可以认为疫情已经基本消退，和预料模型的结果相吻合。由以上对比我们知道，建立的微分方程模型较完整地刻划了SARS病人数随时间改变的趋势，较好地解决了非典疫情的预料问题。3.2 灵一度分析通过查阅文献知，治愈率。的倒数为平均传染周期，我们假设一旦进行严格隔离，则传染周期将减小。设提前7天进行严格隔离，则原模型修改为：=s(t)N(t)-d(t)N(t)-N(t)小_1
13、._Tr(t)当7=5时，分别代入相应的参数求解得到两条曲线，与丁=O时进建立M文件eql.mfunctiondN=eql(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+0.001117*exp(0.08967*t)*N;cq2.mfunctiondN=cq2(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+l(l(0.001117*exp(0.08967*t)+5)*N;eq3.mfunctiondN=eq3(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01
14、118exp(-0.07644*t)+1/(1/(0.001117*exp(0.08967*t)-5)*N;主程序：x=l:l:65(t,Nl-ode45(eql,l80,288);t,N2)=ode45(eq2,(l801,288);t,N31=ode45(eq3,U56,288);%提前5天限制在matlab中积分区间只能取到56plot(t,Nll,r,t,N2,g,t,N3k,x,N,b：)图6说明：黑色曲线表示提前5天进行隔离；绿色曲线表示延后5天进行隔离由图上可以看出依据我们提出的模型，提前实行严格的隔离措施 能够大大缩短传染病的持续时间(大约能提前25天)； 能提前进入疫情限制期
15、； 能对疫情进行彳效地限制，这和实际状况也是完全吻合的。除了与时实行隔离措施以外，其他能够缩短平均传染周期-X的措施r(t)都能够有效地提高治愈率。如：对抗病毒药物的探讨，建立紧急防疫机制,提高医疗软、硬件水同等。通过以上两个方面的分析，我们认为我们的模型在刻划SARS病毒的传播方面具有较强的针对性，可为预防和限制SARS疫情供应牢靠、足够信息。3.3模型的评价.模耋的优点a.我们在模型建立的过程中，充分考虑到治愈和死亡这两因素对SARS痛人数的的影响，引进了治愈率r(t)和死亡率d(t),使模型更加贴近实际。b.在数据有限的状况卜.，我们依据分析参数应有的改变规律，对数据进行指数回来分析，使
16、离散的点连续化，建汇了s、r、d关于时间t的函数关系式。c.利用s(t)、r(t)、d(t),我们利用求解微分方程的方法找到了N关于时间t的连续函数，使得SARS的传播问题描述的更加精确，在这里我们对模型中的，小)做一些探讨，作必。的实际散点图如下图7所示:045由于d(t)=0.()1118XeTS”如r=().(X)I117ew67q(l)=d(t)+r(t)所以，q(t)=0.01118Xcjqo1m4+0.001117cflaw7,画出其曲线得如下图8所示:图8比较图7和图8,可以看出，尽管我们没才对或八进行回来分析，但依据已求得的4）关系式，仍旧可以照实地反映实际数据的改变状况。这说
17、明模型是合理的。比较图3和图8,还可以看出退出率的曲线和治愈率的曲线极其接近,这说明，在影响退出率的程度上，治愈率较之死亡率是占主导方面的，这说明在这场与SARS的斗争中，我们必将取得最终的成功！3.3.2模型的候点模型的假设没有考虑潜藏期的因素，而SARS的潜藏期一般为两周，这是影响模型精确性的个方面；没有考虑人员流通程度对疫情发展趋势的影响。参考文献1遥感所课题攻关组，SARS传播时空模型探讨简报，2。2.,2003.9.22o13国务院新闻办公室，每日“非典”疫情，,2003-9-234张双得等，一类含有潜藏期的传染病动力学模型，数理医药学杂志，2002,15-5o5蒋义文，一个流行病模型探讨，湖北高校学报,172:133139页，2002年。6李正全，SARS影响国民经济的短期与长期分析，经济科学,第3期:25-32页，2003年。7姜启源，数学建模，高等教化出版社，20038张志涌等，精通MAT1.AB5.3版，航空航天高校出版社，2000.8。
