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1、SARS的传播模型（第九组）SARS的传播摘要SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome,严峻急性呼吸道综合症，俗称非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和扩散给我国的经济发展和人民生活带来了很大的影响。为了能定量的探讨传染病的传播规律，人们建立了各类模型来预料、限制疾病的发生发展。时于问题1，给出了一个早期指数模型，它在短期内有着计算参数简洁等合理性与好用性，但却存在着用短期数据分析预料后期疫情发展趋势的缺陷。基于此，我们考虑引进新的参数，建立更优的模型。对于问题2我们在早期模型的基础上进行改进，建立了SlR模型，考虑到疑似患者的变更
2、状况，分别建立了模型一和模型二。对模型进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果符合模型所给数据，然后运用相轨分析法以及借助Matlab,excel软件，对附件中所供应的数据进行了拟合和分析。最终依据模型的分析结果对Tl生部门所实行的措施如提前或延后5天实行严格的隔离措施，是有数学依据的。对于问题3我们依据表格所给数据，运用二次回来的方法先对03年1月份至12月份的数据进行预料，再运用Matlab中的作图工具箱做出未受SARS的影响图和受SARS的影响图，最终进二、问题分析】2.1问题1的分析：对本文供应的一个早期的模型进行评价，主要是分析模型所采纳的方法，对其合理性进行确定，同时要指出
3、其存在的不足。再与实际联系，分析该模型的好用性。2 2.2问题2的分析：依据对早期模型的分析，对其不足指出进行反思，建立起新的改进模型SIR,首先要对SARS的传播机理进行深刻的了解和分析；其次是依据传染病的特点建立起合适的模型SIR：最终对模型进行求解。3 2.3问题3的分析：由1997年至2002年的旅游人数预料未受SARS影响时2003各月份的旅游人数，并建立二次回来方程进行回来分析，接着由实际2003年1月至8月的数据预料9月到12月的旅游人数，建立二次回来方程拟合，比较SARS影响前后的图像，分析出其对旅游业的影响。三、模型假设1、假设总人口数保持不变，不考虑人口的流淌因素2、忽视当
4、地的自然诞生率和自然死亡率。3、假设被治愈的病人有免疫力，不再被感染。4、假设移出者包括治愈免疫者和死亡人群四、定义与符号说明N：总人口数；（）st：健康人占总人口的比例；（）it：0.0575192、21,的确定）1（确定1从我们建立的模型是无法得到s、i、Oi、OS的解析解。故求出他们的数值解。先通过实际统计数据算出每一天的s、i、Oi、OS做出它们与时间的函数图象图1,图】：依据实际数据拟合的图象（画图程序见附件2）当天病人变更图1图象时，然后我们象图2,将这理论图形通过数值解再对1取一这组图象与形与实际图形解作出的i一组数，分别与由实际数据形有最佳的关于时间t别画出由通据所得图象的吻合
5、。图形t的变更（图2通过模型解出象相比较，调形如下：（画图程序见出的数值解调试。我们发见附件3）解随时间变更发觉当1化的1.5同的因为界值生初的发的规将这与实分析两个的发展趋势为在4月24值画出来的初期时的趋发展趋势。规律基础上（2）确定与确定1然后再对这组图象与实际图形有图形可知，。但是在4日之前，曲线与通过趋势，所以边并且通过对上，还能够模定2时类似，先2取一组数与由实际数据有最佳的吻合它们的高峰0,10的SA没有相关数过数值解得边界值应当去对SARS扩散模拟缺乏数先依据实际图数，分别画据所得图象合。图形如峰期、缓解ARS初期范数据的统计得到的ti曲去掉，而通延期特点的数据的SARS际数据
6、画出图图图3实际数画出通过模型象相比较,调如下（画图程图4疑似解期和平稳期范围内，曲线计和报道，由曲线相比较通过数值解模的分析，图初始状态，图形（画图数据图形型解出的数调试。发觉当程序见附件似病人变化期曲线相当线变更不相由于数据的较，不能精确模拟的曲线图2在符合所以曲线程序见附件数值解随时间当21.0件5）：化当符合，具有相同。这主要的不全，依据确反映SAR线可以得到之合所给数据反线是合理的。件4）间变更的图时，理论图有相要是据边S产之前反映。图象，图形者在5.2在0,10在SARS的过44结果的分（一）讨is平面从模型（由式（二）对（画图程序的初期范围过程中的变分析与验证论（）（）tsti,
7、称为相平面一）中消去dsdi式解得于合理确定序见附件6围内，曲线趋变更规律。）的性质面，相轨线（=sD去dt,利用，1.1=S（Si=定的5.11=6）图趋势不同，在相平面上，0）,iSiS用的定义，0iss=）0Osis+5,我们可5is图缘由同前。上的定义域1,0+is可得Oi）ln（*10ss+以画出si图形（相轨。整个曲线域Dis）,（为1s图,图形线）线反映了疑似为（形如下：似患6）7）值时由于在这个时的图形，取=/10个SARS病如下0.4192,0.病毒发展过程2858、0.1图6程中，=1858时的图iS图形是变更的图形，（画图（相轨线）的，故可以图程序见附以画出取不附件7）不
8、同=度和小，高峰分析（3）1.不亦即0=i2.SA整个传染/1=随着（1）在S和危害程度而接触率当OS/1（2）当S对于我们峰期。（3）当S式和（7）不论初始条件0。从图形上ARS疾病传过程，随着着治愈率SARS爆发的度相识不够，率1相对较大，则）（ti开0=/1时，Oisim+=确定的I=OS/1时，式，可知件Os,Oi如上看，相轨传染过程分析着政府和公、死亡率的初期，由所以政府大，所以/1起先增加，）（ti达到最In1（105.1=,可以）（ti单调减：如何，病人终轨线终将与析公众对SARS和接触率由于潜藏期的和公众没有/很小。可认为是最大值）nS以求出=IHi减小至零，终会消逝，S轴相交
9、（S的重视程率1的不断变的存在,社有引起重视疾病扩散阶0.8368,可（ts单调减即SARS最（t充分大）程度的变更变更而变更社会对SARSo治愈零阶段。（可认为是疾减小至SO最终会被消）。化，可知接触化。病毒传播的和死亡率（9）疾病传染到达这一时期病歼灭，触数的速很达了病人比例）（ti绝不会增加，传染病不会扩散，进入缓解期。3.群体免疫和预防依据对模型的分析，当OS/1是传染病不会扩散。所以为制止扩散，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/变大以外，另一个途径是降低OS,这可以通过预防接种使群体免疫。其次个途径通过预防接种使群众免疫，免疫后就不会被感染上病毒。依据我们人群的分类系统，将免疫人群归
10、为退出者类，所以免疫人群的出现，不与模型的分类系统相冲突。忽视病人比例的初始值Oi,HOs=I-Or,于是SARS不再扩散的条件OS/1可以表示为：110r（10）所以只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例Or满意（10）,就可以制止SARS的犷散。4 .数值验证与估量依据上面的分析，阻挡SARS扩散有两种手段，一是提高卫生水平和医疗水平，即降低日接触率，提高日治愈率，二是群体免疫，即提高移出者比例的初值Or。我们以最终未感染的健康者的比例S和病人比例达到最大值mi,作为传染病扩散程度的度量指标。给定不同的，Os,Oi,用（8）式计算s,用（9）式计算Ini/IOsOiSmi1.00.30.3
11、0.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.02001.00.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.6520.020从计算得到的S和mi可以看出：（1）对于确定的Os,降低，提高，使阈值1/变大，会使S变大，mi变小。于是验证了群体免疫和预防中提出的提高卫生水平和医疗水平，可以使SARS最终的患者比例缩小，健康群体增加。（2）对
12、于确定的，提高Or,会使S变大，mi变小。所以实行群体免疫，降低受感染的基数，可以有效地减缓SARS扩散的速度。在（8）式中略去很小的Oi,即有=ssss001nIn（Il）对于表达式中的参数，已通过前面的参数分析得出，代入表达式，就可以对t时的患病率）（ti做预料，达到了预料的目的，满意题目的要求。5 .25建立牢靠的预料模型存在的困难要建立一个真正能够预料以及能为预防和限制供应牢靠、足够的信息的模型，还存在着一些困难：1、对于我们所建立的SIR模型，是基于附表二给出的数据,但是所给的数据不够齐全，只是给出了一个时间段的病情数据，用来分析整体不够全而，而且对于所给的数据缺乏牢靠性。2、对于我
13、们所建立的模型，参数的选择是很关键的，由于数据不全，参数的选择也存在着确定的误差。6 5.26对卫生部措施的评估在模型中，1的取值大小能充分反映接触率的变更。若实行的隔离措施提前T天，那么1将相应减小，反之则增加。不妨将1的值取为1.3和1.8,作出相应的图形7和图8（画图程序见附件8）。（图7）疑似病人变更8O0.40.51.250.700.020.67550.0200图8）由以上图形可见，T对SARS病疑似病人病人的增长人变更长有显著影响，因此，卫生部采取的提前5.335.31、月份得出1月15.依据画出游趋2、1月15.4同样前或延后533问题3的11回来模型依据附表3份的旅游人出200
14、3年各2月236.47据预料值的出回来图如由图可看出趋势相同，依据实际22月3月17.123样建立二次天的隔离措的求解型的建立与求3中1997年人数,建立回各月份的预3月4月25.9732数点图建立yax=下（程序见出：未受SA先升后降，2003年1月月4月3.511.6次回来方程,措施有其数求解：年到2002年回来模型预料值为月5月2.1532.8立二次回来2xbxc+见附件9）ARS影响的在受季达月到8月的5月6月1.782.得到如下数学背景和科年的旅游人6月8331.6归方程的状况下，2达到旅游的高的数据预料9月7月618.8下的回来图科学依据。人数预料为受7月8月29.33362003
15、年的旅高峰。9月到12月8月9月16.215.（程序见附受SARS影响月9月.433.14旅游人数变更月的旅游人10月4120.19附件10）;响时2003年10月132.852化与往年的人数11月126.173年各11月12月26.8527.的旅12月33.37月79在S3、5.的影疫情由图可看出SARS的高峰对比SARS232结果分析对比SARS影响不大，数情的扩散，出：在SARS峰期。影响前后的析：S影响前后数据基本吻社会处于敏S的影响下的I可来图像的回来图像吻合，这是因敏感期，旅游下,2003年像:像可以发觉因为疫情刚游人数渐渐的旅游趋势现：在一月份刚发生时没有潮削减，在疫势先降后升，
16、份左右，SA有引起人们疫情爆发的，低谷恰好ARS对旅游人们的留意，随的高峰期，由好是人数随着由图像可以看到，在六月份左右两条曲线的差距达到最大，社会处于高度的警界期，出门旅游的人很少，而随着疫情不断的得到限制，旅游业也慢慢回暖，图像的差距也慢慢缩小。因此，SARS干脆影响了旅游人数,对旅游行业的影响是很大的。六、模型的评价与推广1、本模型适用预料SARS及其他类似的传染病（比如禽流感病毒）高峰期的来临。能够为预防和限制传染病供应牢嵬足够的信息。2、本模型有利于在当今医学领域中，分析各种传染病或森林、农业、科学上病虫害的变更规律，度量传染病扩散的程序并探究制止扩散手段。七、附件附件1口期已确诊病
17、例累计现有疑似病例死亡累计治愈出院累计当天退出者当天病例退出率治愈率死亡率转化率当天病人变更数4月203394021833174310.0394430.0232020.0162414月21日482610254365200.0115380.0057690.0057690.2344261434月22日5886662846166190.0258480.014540.0113090.1591591064月23日6937823555136810.0190060.0131580.0058480.1342711054月24日7748633964127740.0155040.0116280.0038760.0
18、93859814月25日877954427398730.0103090.0034360.0068730.1079661034月26日98810934876109900.0101010.002020.0080810.1015551114月27口111412555678310650.00281700.0028170.1003981264月28日1199127559781212100.0099170.0041320.0057850.066667854月29日1347135866831612910.0123930.0054220.0069710.1089841484月30日14401408759017
19、13880.0122480.0072050.0050430.066051935月1日15531415821001814540.012380.006190.006190.0798591135月216361468911091115410.000.000.000.0583口7138389432456545月3日1741149396115715920.0043970.0018840.0025130.0703281055月4日18031537100118616790.0035740.0017870.0017870.040338625月5日189715101031211717360.0097930.007
20、4880.0023010.062252945月6日196015231071341018080.0055310.0038720.0016590.041366635月7日204915141101411318850.0068970.0058360.0010610.058785895月8日213614861121521819130.0094090.0083640.0010450.058546875月9日21771425114168919450.0046270.0035990.0010280.028772415月10口222713971161751519740.0075990.0055720.00202
21、60.035791505月11日226514111201863119980.0155160.0110110.0045050.026931385月12日230413781292084120100.0203980.017910.0024880.028302395月13日234713381342441319920.0065260.0040160.002510.032138435月M日23701308139252619970.0030050.0025040.0005010.017584235月15日238813171402571720080.0084660.0079680.0004980.013667
22、185月）6日240512651412733820060.0189430.0169490.0019940.013439175月17口242012501453072719820.0136230.0126140.0010090.012155月18口243412501473322019580.0102150.0086820.0015320.0112145月19日243712491503495019450.0257070.023650.0020570.00240235月20日244412251543955418950.0284960.0274410.0010550.00571475月21日244412
23、211564478318530.0447920.0437130.001079O05月22日245612051585285617790.0314780.0303540.0011240.009959125月23日246511791605828817480.0503430.0486270.0017160.00763495月249011341636674116690.020.020.000.022524日45662169239720465月25日249911051677044416330.0269440.0263320.0006120.00814595月26日250410691687478515970
24、.0532250.050720.0025050.00467755月27日251210051728284115140.0270810.0250990.0019820.0079685月28口25149411758666314760.0426830.0420050.0006780.00212525月29日25178031769287914160.0557910.0550850.0007060.00373635月30日252076017710068513380.0635280.0605380.002990.00394735月31日252174718110873712540.0295060.029506
25、00.00133916月1日252273918111243312170.0271160.0271160006月2日252273418111573211840.0270270.0270270006月3口252272418111897411520.0642360.0642360006月4日252271818112635810780.0538030.0538030006月5252271618113218410200.0823530.0803920.001961006月6日25227131831403439370.0458910.0458910006月7口25236681831446988930.10
26、97420.1086230.00112006月80252255018415431107950.1383650.1383650006月9口25224511841653966850.1401460.1372260.002920.00221716月10日25223511861747745900.1254240.1254240006月1125232571861821565160.1085270.1065890.001938006月12日25231551871876684590.1481480.1481480006月132522711871944523910.1329920.1278770.005115
27、006月14日252241891994213390.0619470.0619470006月252231892015393170.120.110.000015日3028987431556月16日252131902053672780.2410070.2410070006月17日252151902120352110.1658770.1611370.004739006月18日252141912154171760.0965910.09659100061925211912171181590.1132080.11320800062025211912189421410.2978720.297872000621
28、2521191223126990.2626260.26262600.516222521225720730.2739730.2739730006月23252121912277总数3.6811993.5248440.1563552.4430750.0575190.0550760.0024430.038173附件2当天病人变更（确85411)t=l:64;z=143106105811031111261485093113831056291638987383943231815141225O;p,S=polyfit(t,z,9)Y=polyconf(p,t,S)plot(t,z,o,t,Y),grid,附
29、件3it：clccleara=l.5;b=0.0575：fun2=Q(t,x)a*x(l)*x(2)-b*x(l)：-a*x(l)*x(2)：ts=0:l:70：x=402/14000000,1-402/14000000;t,x=odc45(fun2,ts,x)：t,x附件4确定2t=l:65;z=402610666782863954109312551275135814081415146814931537151015231514148614251397141113781338130813171265125012501249122512211205117911341105106910059418
30、03760747739734724718716713668550451351257155714335433222：p,S=polyfit(t,z,9)Y=polyconf(p,t,S)plot(t,z,b,t,Yg,),grid,附件5it：clccleara=l：b=0.038183;fun2=Q(t,x)a*x(1)*x(2)-b*x(1)：-a*x(1)*x(2);ts=0:l:70:x=402/14000000,1-402/14000000;t,x=ode45(fun2,ts,x);t,xplot(t,x(:,1),grid,附件6相轨线：clcclearfun2=Q(t,x)1.5*
31、x(l)*x(2)-0.0575*x(l);-l.5*x(l)*x(2);ts=0:l:70;x0=40214000000,1-402/14000000;t,x=ode45(fun2,ts,x);t,xplot(x(:,2),x(:,l),grid,附件7变更值s=0.000001:0.001:1;i=l-s+0.4192*log(s0.9999)：plot(s,i,r-),grid,holdons=0.OOOOOl:0.001:1;i=l-s+0.2858*log(s0.9999);plot(s,i,b,),grid,holdons=0.000001:0.001:1;i=l-s+0.1858
32、*log(s0.9999);plot(s,ig,)附件8提前几天和退后几天a=1.8;b=0.0575;fun2=(t,x)a*x(1)*x(2)-b*x(1)j-a*x(l)*x(2);ts=0:l:70：x=402/14000000,1-402/14000000;t,x=ode45(fun2,ts,x);t,xplot(t,x(:1),grid,a=l.3;b=0.0575;fun2=(t,x)a*x(l)*x(2)-b*x(l);-a*x(l)*x(2);ts=0:1:70;x=402/14000000,1-402/14000000;t,x=ode45(fun2,ts,x);t,xplo
33、t(t,x(:,1),grid,附件9利用以前的数据预料出03年一月到十二月的值：t=0,1,2,3,4,5,;X(l,:)=9.4,9.6,10.1,11.4,11.5,13.7;X(2,:)=11.311.712.92626.429.7;X(3,:)=16.815.817.719.620.423.1;X(4,:)=19.819.92125.926.128.9;X(5,:)=20.319.52127.628.929：X(6,:)=18.817.820.424.32827.4;X(7,:)=20.917.821.92325.226;X(8,:)=24.923.325.827.830.832.2
34、：X(9,:)=24.721.429.327.328.731.4;X(10,:)=24.324.529.828.528.132.6;X(ll,:)=19.420.123.632.822.229.2;X(12,:)=18.615.916.518.520.722.9;fori=l:12p(i,:),S=polyfit(t,X(i,:),2)y(i)=polyval(p(i,:),6)Y(i)=polyconf(p(i,:),6,2)End附件t=0,1,2,3,4,5,6,7J;2.61,8.8,16.2;y=polyval(p,9)10利用03年前面的数据预料后面的数据y=15.4,17.1,23.5,11.6,1.78,p,S=polyfit(t,y,2)y=poIyval(p,8)y=poIyval(p,10)y=poIyval(p,11)
