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1、第3章有限差分法1.1波动方程式的差分法(线性双曲线方程)即前进波波动方程(又称为移动方程或传递方程：COnVeCtiOneqUaiion)ul+cux=0(c0)(3-1)w(x,0)=M0(x)Mr(x,O)=V0(x)ZU)从今方程的差分求解方式分析常用的差分形式和稳定性条件。理论解:物理意义：波形保守不变，位置随时间以速度C前进。(前进波)Ctu(x9t)= U0(X-Ct)u(x,t)=其中：M0(x)=w(x,O)V0(x)=m(x,O)例：M0(X)=1XX0;Mo(X)=OXX0v0(x)=-x0)3.1.1 显式法对于进展型问题而言，当某一程度上的数值解已知，求解下一程度的数
2、值解时，如未知的相只要一个，称为显式法(explicittimeintegrationmethod)。i. FTCS(ForwardinTimeandCentralDifferenceinSpace)方法r2-(3-9)则能产生:(3-10)+,-1）(Cul)即COUrant条件为(CFL条件)vl(3-13)但是波动方程不能由此方法判别的例子有：w(0,x)=1(xx0),w(0,x)=O(xX0)(3-14)此问题有理论解，如图。例如，-0.5时，时间步长为l2Ax0表1FTCS的解O=O.5)Xj-2Xj-IXjXj+1Xj+2t=011OOOt=l15/41/4OOt=215/162
3、3/169/16OOt=353/6449/3275/6413/64OFTCS的解其值是振荡不稳定的。随着时间的连续，振幅增加，甚至在正负值间振荡。此问题可从分析其差分方程的FoUriOr绽开来分析。因此类绽开可与频率振幅相角等相关。设FTCS格式的解的绽开的某一分项为：uj=gjeij(3-15)声表示幅度，。为与波数有关的相位角。定义一个时间步长前后的解的幅度比为振幅，用表示。则令它可用振幅I”和相位差减表示：=麻。(3-16)但|偏离真实解时，振幅产生误差。M扁离真实解时表示该波数代表的波不能以正确的速度移动。对于线性双曲波动问题，其理论解的振幅和某一波段上的相位差为J=1=-v(3-17
4、)且U可空间时间分别变量：即g为时间的变量。代入FTCS格式:其振幅为:z,+,Li= - = 1 - isin g(3-18)(3-19)/(,)=l+2sin2(e)=-tanl(sin)可见，无论是振幅还是相位都偏离真实解。尤其是振幅，它始终保持这说明随时间的进展，差分方程的解的幅度会无限制变大。这种不稳定称为VonNeumann不稳定。FTCS方法的不稳定也可从物理上理解。此差分的Tayor绽开为.+C=-c*xo(x)2-3%(z)+.(3-20)代入波动方程(3-21)uu1/4212/a1-C-C_M(x)CMlI+.C,C/XXAxzCXXX/tx62可见其截断误差的第一项为负
5、的集中值。负的集中项从物理上是不稳定的。ii. LaX差分格式(LaXMriedrich方法)FTCS式中的吗项用两边的平均值来代替：u，j+=g(w-+wJ)；(u-%)(3-22)其：(,=CoS*6+4sinPI力(3-23)y)=-tan,(Utan6)在V的肯定范围内小于1。-1vl的范围内收敛。该方法使数值安定，但代价是解的集中性增加。即耗散误差大。空间时间都用中打差分:2r20(3-24)Uf!+l=u,lj-(uni+,-)(326)因此，无论对什么信号，振幅都不变。因此无振幅误差。称为中立稳定。但当V很小时，存在延迟相位误差(LaggingPhaSeelTOr)。即波的位置在
6、真的波后发生。当v2l时:为纯虚数。=sin6t2sin26-l2(3-27)即当sinlv时不稳定。此方法分散误差大。iv.Lax-Wendroff格式原始Lax-Wendroff格式二阶TayOr绽开，空间中心差分：为FTCS格式的修正。此方法由于有附加的集中项，使得格式稳定。附加项包括空间和时间的2阶精度。在呵ul的条件下，除了很大波数，主要含有延迟相位误差。Lax-WendrofT两步格式第一步(前l2t):其次步(后l2l):V.MacCormack的方法为航天领域应用最广的格式，为Lax-Wendroff两步格式的一种，但不计算j+1/2点的值。适用于非线性问题。对于线性问题。采纳
7、猜测修正因子法(PrediCtor-CorreCtor)。猜测阶段：修正阶段结果同LaX-WendrOff两步格式。vi.1阶精度上风法时间向前，空间向后：Taylor绽开右为截断误差。Utt、Uttt用UXX、UXXX表示：时间空间都为1阶精度。当V=O时，截断误差为零。0.5v1.0时：向前相位误差v0.5时，延迟相位误差3.1.2显式法的小结1.粘性的附加FTCS格式ii. Lax格式iii. Lax-Wendroff格式iv. 1次精度上风法H+.7上述全部的格式都可认为对FTCS的格式的修正，而且都是2阶微分方程Uu的差分格式，为集中项。其中LaX格式集中最严峻，LaX-Wedrof
8、f集中最小,同2次精度中心差分接近。2.有限差分法的一般格式线性波动微分格式可写成：/+人=(5)fx=cux一般的单纯的Eular显示法为:M/+l= Uj-1jj+1图X.通过界面的流束FTCS格式=(i,)(7)ii. Lax格式加2=g(j)4+(1+必1(8)iii. Lax-Wendroff格式(9)iv. 1次精度上风法上式可表示为:02=(i+)-i-wj)此式在后面的高精度上风法的争论中特别有用。3.1.3隐式法(implicittimeintegrationmethod)Grank-Nicolson格式rwrt-w+i u -un “j+l j-l + /+I j-l22=
9、0(12)它可化成:+l(13)它符合对三角型法则(trapezoidalrule)它的解同Leap-Frog格式一样振荡。隐式法的特点是，n时刻的任意坐标上的解的变化会影响n+1点上全部的点的解。情报无限制的快速传递。这是由于方法稳定，无CFL条件限制的原因。事实上，隐式法也有不稳定的时候。XOii.Beam-VVarming格式:对上方法更一般化:222+(1 2=0(14)3.2集中方程的差分法（抛物型方程）3.2.1 一般形式1维波动方程？（抛物性方程）的一般形式：u2u二a-rtx流淌和传热中常用形式稳态形式：1维稳定对流/集中问题次p）=3卜加xx）时，其解为Dirichlet边界
10、条件:=atx=0=latx=xlexPelL-=金pe1(l.-。)(171Pe为PeClet数,定义为：由于此问题很简洁，常被用于检验离散和求解方法。物理上，它代表了在流线方向对流与集中间的平衡。事实上，很少有这种平衡起重要作用的流淌。通常，对流与压力梯度或垂直流淌方向的流淌平衡。假定：u0ando0；w0;c_min(pw,)c_min(pu,)AE=；Av=；+1-Xi4=-(a；+Av)Aec或AWC有一个为零，取决于流淌方向。-CDS法4w)e,落F-PU(24)(25(26(27(28(29(30八JPU.y_PUAE一，Gy一xi+lXjTXi+Xi-4=-(星+/)=。(31
11、(图：CDS和UDS对流项的比)结果表明，当网格数小的时候，UDS的数值集中严峻，假集中大于真集中。相反的，CDS消失振荡严峻。振荡是由于(|)值的梯度在最终二点突然变化的原因。当网格数增加，CDS比UDS更接近真正解。实行非匀称网格，CDS也可比UDS精度高。CDS的振荡取决于局部PeClet数的大小。它定义为Pe=pwx(32当满意Pe2时，CDS没振荡。振荡仅发生在变化很激烈的地方。3.3 椭圆型方程的差分方法(Laplance方程，抛物线性的稳态问题)3.4 边值问题:2u2ua-T=Odxdy(33)椭圆型方程为满意适合性条件，必需给出全部边界的边界条件。差分形式：尸IA_2M+“j=Ikj,k7_2j卜二菊而(34)直接求解法考虑等格式的条件：Ax=Ay,则：1,、=-(wi,a-+wa+wM-i+mMi)(35)此方程的联合求解，需要解一个大的矩阵，需要很大的计算机内存。因此，往往采纳结合缓和法(relaxationmethod)的迭代求解方法(Merativemethod).点迭代法(POinlJaCobiMethod)例如采用下面迭代求解方法：un=-(un+/+un+u)4*上川这儿，n为迭代次数。松弛法(relaxationmethod)Gauss-Seidal法SOR法
