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1、课时规范练61面面夹角与空间距离一、基础巩固练1.QO24江西莪州模拟)已知四极锥P-ABCD的底面为正方形/A1.平面ABCD,PA=AB=T点E是8C的中点,则点E到直线PD的距离是()aTbTcTdV2.如图,在一:棱柱八BGA附。中,底面A?C为正三角形,且侧梭A4底面AAC,底面边长与侧棱长都等于2Q,O分别为AC山G的中点,则平面ABQi与平面3GO之间的距离为.b3.如图,在梭长为I的正方体ABC7)-A向GA中金为线段DDi的中点,尸为线段BBl的中求直线FC1到直线AE的距离；(2)求直线FC1到平面ABlE的距离.4.（2023北京,16）如图,在三极锥RABC,中,PA1
2、.平面ARC,PA=AH=BC=I,PC=3.求证:BU1.平面PA8;(2)求二面角A-PCd的大小.5.(2024江苏连云港模拟)如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是直角梯形.AO/78C.NABC=1X)a,SA1.底面八BcTZSA=AB=BC=1.W=Z建立适当的空间直角坐标系.(I)求平面SAB与平面SCT)夹角的正弦值;(2)求点S到直线CD的距阳6在正方体ABCDAiBiCiDi中,为的中点,过ABIE的平面截此正方体.得如图所示的多面体/为棱CG上的动点.点在棱AC上,当CT/=*/时平面AMl,试确定动点/在梭Ca上的位置拼说明理由；若A3=2,求点。到平面AM的最大
3、隹随二、综合提升练7(2024福电苛印模拟)如图,直三棱柱BC-ABC的侧面BCC曲为正方形,2AE=C=2?下分别为AC,CC的中点网1.AiBi.(1)证明:8凡1平面4物;(2)求平面4小与平面ACGA夹角的余弦值.8.(2024江苏常州南级中学模拟)已知四极锥P-A8C。底面ABCD是菱形,/。八8=60/O,平面BCD.PD=2D=47满足行=AP.(I)求二面角T-BD-C的平面角的余弦值;(2)若棱PC上一点M到平而TBD的距离为竽,试确定点M的位置.课时规范练61面面夹角与空间距离1.D解析以A为原点.八3力。,AP所在直线为X轴，.V轴、Z轴,速立如图所示的空间直角坐标系,则
4、W).O.1).ZXO.1.O).(1,O),所以而=(O,l,-l),而=(l,-,),所以由I喙而=I誓=2.受解析连接Oo1.由题可知QCIAO,且OIG=AO,所以四边形AOCQl为平行四边形,所以人QOC1.因为AOa平面?Go,ou平面八。所以Aol平面BCo又。8。山,S3S平面8C0.08u平面5G。,所以0田|平面BCiO.因为AO%=00.GMU平面ABol,所以平面ABiOi平面BGa则平面AMG与平面8GO间的距离即为点6到平面BCIo的距离.由题可得OBACQOl两两垂宜.以。为原点。氏OCQ。所在直线为X轴、)，轴、Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则(X0A0)
5、,(3,0,0),C(0,1,2),O(OtO,2),O=(3,0,0),OQ=(OjZ西=(0,0,2).设n=(x.)为平面BCQ的法向量,则：需二；二取二=1.则=0,产2,得n=(0.2.-1) .二,设点O,到平面BC。的距离为,则仁噂=$=越.所以平面AB1O1与平面BCxOl11I55问的距褥为竽.3 .解(I)以。为原点QA.OCOd所在直线为X轴、y轴、Z轴.浅立如图所示的空间直角坐标系B(1C(OJ).因为宿=(-1.O4),荏=(-l,0,).所以荏Il时.即AFeh所以点F到直线人的距离即为直歧FCi到直线AE的距离,=(o,),4IWI=(2)0为Af/G1.CQ平面
6、A8E工EU平面ABiE所以尸Ci平面A3E,所以直线FCi到平面A36的距离等于G到平面ABiE的距离.IS为c=(i.o.o),ABi=(0.i)Jae=(-iA),设平面ABlE的一个法向量为n=(.v,y,z),NEQ则_x2z5取z=2,则X=IJ=2可得n=2,2).所以Ci到平面ABiE的距离A11in=y+z=0,为叵圆=1.Im3,所以直线/到平面AB店的距离为，4 .证明因为PA.平面A8C,3Cu平面ABc,所以P/UBC.同理/A.所以而，为直角三角形.因为PB=P12+AB2=2,iC=l.jC=3.所以PB2+BC2=PC2,PRC为直角三角形,故BCA.PB.E为
7、BC1.PA,PAiPR=P,PA,PBc-OPAB,所以BU1.平面PAB.(2)解由(1)存.8CJ_平面内氏又ABu平面PABSiBCA.B.以A为原点58所在直线为X轴.过点八且与8C平行的直线为y轴/，所在直线为Z轴.建立如图所示的空间亶角坐标系.则A(O,O,O),P(O,0,1),41,1,0),8(1,0,0),所以AP=(0.0.1),C=(1.1.0),C=(0.1.(),PC=(1.1.d).设平面PAC的法向量为m=(Wy。,则11r竺=Zl=0,unIC=Xj+y1=0.令XI=I,则)u=-l,2i=0,所以m=(l*,0).设平面P8C的条向量为n=(x2j2,z
8、2),则(nBC=y2=In-PC=x2+y2-Z2=。，令X2=l,则力=1)2=0,所以n=(1.0.l),所以cos=竟=息否=点因为二面角APC3为锐角.所以二面角A-PC-B的大小为;.5 .解(I)由SA_1.平面A8COt8TOu平面A8CO.：SA_1.A艮SA_1.AD又AD/BC.AB1.BCB1,D.：SA,AA,A。两两垂直.以A为原点工。温氏45所在直线为它.y轴、任,建立如甄示的空间直角坐标系,则5(00,2)。1,0.0),C(2,2,0),4(0,0,0),则/=(1,0,-2),DC=(120),而=(1,0,0).设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,),
9、则吧n=*-2z=0，取=2,得.y=,z=l.则n=(2.-1.1).由题存.平面S48的一个法向最为而=(1,0.0).设平面SA8与平面SeD的夹角为伏则E=嚅=7=多.：Sin归=?.故平面与平面SCO的夹角的正弦值为印(2)由知而DC=1,SDI=DCI=5,WCoSV/,反=忑匕=g故sin=jl-Q)2=等.所以点S到直线CQ的距离为I历ISinV历,比=的X等=等.6 .解(1)设平面6CG8与平面AEBl的交线为/,因为FH平面AEBI,平面BCGBg平面4/淞，/U平面?Ce田I,所以五/.由正方体ABCD-AiRlCiDi知,平面A。IE平面BCGB.又因为平面ADDEC
10、面人郎尸4平面8CCB平面AEb“所以AE/，,所以AFH取8C中点G.连接GG.易知人GeI,所以GC又因为为CG中点，DiEz所以厂为Ca中点.(2)以点。为原点万尢比,西分别为X轴、)，轴、Z更产正方向,竺m空间直弊标系.则有D(0.0,0),4(2.0,0),E(1,0,2)Ko,2D其中f0.21,AF=(-1,0,2).F=(-2,2,n,D4=(2.0.0).设平面AEF的一个法向量为n=(x.y,z).则有嚅SY*；+*=0、不妨取x=2,则问2,2处所以而3誓=s+(岭2-3当r=2.即点产与点G重合时.取等号.所以点。到平面AE尸的最大距离为好.7 .(1)证明因为三棱柱八
11、8CABG为直三棱柱,所以88i_1.A8.因为BFlAiBiAB/AiBi,所以B凡1.A8.因为BAiC=B,/九BFu平面BCG/九所以八B_1.平面BCCiBi.因为BCu平面8CG8,所以A3J_8C.因为BCCiBi为正方形.所以BBdBC.所以A氏8C89两两垂直.以3为原点.明.8C,8B所在直线为工轴、），轴、Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则(0,0.0),F(0,2.)A(,O.2),1(O.O,2),E(,l.),C(O,2,O),C1(O,2.2M(I.O.O).BF=().2.1)JM=(-1.0.0).=(Wl-2)E为丽aX=0(-1)+20+IO=O,F-
12、砧=OX(-)+2I+l(-2)=2-2=0,所以前J.瓦瓦而1否后，即1.AIE因为AibHiEu平面AiBiEAiBinAiE=Ai,所以W=1.平面AiBE解由可知,平面48行的一个法向量为京F=(021)设平吆CGAl的法向量为m=(x,y;).北=(l,2.0).福*=(/,2,2).初M亥=+2y=-(mC=-X+2y+2z=0.令产1.则x=2,z=0,所以m=(2,1.0).设平面AsE与平面AceMl的夹角为敌cos6=COSVm.而|=空萼=ImllI2D+1X2+1XD_2TT/4+TS故平面A向与平面ACGAI夹角的余弦值为刍8 .解(I)连接AC交8)于点O.过。作P
13、。的平行线交PB于点E.由题可好.08。CoE两两垂直.以。为原点。AOeO所在直线为X轴、丫轴、z轴.建立如图所示的空间直角坐标系.:四边形ABCD为菱形,且/M8=600盘以八即/8。C为正三角形,则BD=2,则B(1,0.0)4(0.-A),D(-1,0.0),C(0.V3.0),P(-l,0.4),D(0.0,0),(0.0.2),7考，讨呜考W)丽=(2.0.0),0=(0.0.2).nfjf=-.ilv+7=o设平面用”的一个法向量n=(QZ),则二33y3,txDB=2x=0.令y=3,则X=OH弓,得n=(),3,g),.：平面BDT的一个法向量为n=(0,X1).又OEI平面ABCD,.：OE=(0,0,2)是平面BDC的一个法向量,.：CoSV而,n=喘=-j=苧.由图可知,二面角7-8D-C为轮角,：二面角T-5DC的平面角的余弦值为-亨.出设由=入对=2(1.b.-4)=(2.代/1.4.)(0或2乏1),则M(.-.3.4-4z),DM=(.3A-4).故点M到平面TBD的距南为邑史空1=.R7解得久=,舍去)或X=.故点M的坐标为(g?,2),即M为棱PC的中点.
