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1、1答案习题1.1 用笛卡儿坐标形式(x+yj)表示下列复数。!,.%。产,e叫On、副，k岳4e*解：利用欧拉公式：4卬=Ncos%+力sin和复平面性质Aoi=Jcos%-#SinG)W,Ae坪-丽=Aejv,(nWZ)有：1：r1,上111511.-1寸=icos+2js,nz=Ii2C0S2js,=-2Wl=H=cos(+J2sm=2y-+72y=l+j2e-9*4=旧*4=2cos2sin=2y2=1Weia=戊85：z0Gn;=2-=l1.2 用极坐标形式(Q,-)表示下列复数。5.-2,-3j.y-jy.*j.(-j)*.jd-j).(*j)(-j),(GjG)Uj而ISJ)4nL
2、ip+7=72+2(cos+jsin=2tfa(=argtan-)解：根据,有:5=5sO5-sinO=5ez-2=2Cos;r+2Jsin=*-3j=3cos(-y)+fisin(-令=3e-2(1-)=1+j=7cosy+j7sin；=2r,-e4(1+0(I-J)=2/=2cosB+J2sin=2ei2(04)(1+j)=(cos?+/siny)(cos+siny)=7=ej1.3对下列每一个信号求PMHE000(c)Xl(f) aco(r)(O *UJ =cos( -(.)xl(O=ea*()(b)&廿2(d)x)(y)iJ(e)xjn=c*g*E解:J0dr-J-(l-e-*)-2T
3、f-dzl(l-e-)= lEc0Iimfe-2,w(z)j2d/=Iimfe*(b)4=reTd/=r*Hm7fpunr2d/=IimJ：ld=Hm27=(c)匕=JMCkoSa汀山=上嗖%I(Tr_ll.2+sin27,1=Iim71+cos(2)JJ=Inn-=-_IE,=JimJJcosQ)d/=Jim(7+sin2)=oo(d)眇2JV+l、，2A-I1-1/4E)C=IimEIl8Nfgl2!S),-!-(W4IIm一11-1/43(e)Py=如Ff=!T,=,8I=IimVI=lim(2N+l)=NTgiNNfg(f)Pe=l.W4n)l,cos(f)E-cos(t)=s4时xn
4、=O,对以下每个信号确定其值保证为零的n值。(1)xn-3(b)xn+4(c)x：-n)(d)x(-n+2(e)x-n-2解：(a) xn-3=0,n-3V-2或n-34,即x(n-3=0,nVl或n7(b) x(n+4=0,n+4V2或n+44,即xn+4=0,nV6或，n0(c) x(n=0nV2或一n4,即xn=0,nV4或n2(d) x-n+2=0,-n+2V2或一n+24,即x-n+2=0,nV-2或n4(e) xn-2=0,-n2V2或一n24,即xn-2=0fnV-6或n01.2设3时X=0,确定以下每个信号的值保证为零的I值。C)X(IT)(b)(I-I)*(2-)(c)x(l
5、t)x(2-t)(d)x(3t)()x(t3)解：(a)X(1t)=0,11-2(b) X(1t)x(2t)=0113且21-l(c) X(l-t)X(2-t)=0,l-tV3或2-tV3,即X(l-t)X(2-t)=0,t-2(d) X(3t)=0,3t3,即X(3t)=0,tl(e) X(t3)=0,t33,即X(t3)=0,t913判断下列信号的周期性。(a)x(0IO,KO对于一8VtV8,X的值不具备重复性，所以X(。不是周期信号。(b)由于1. 0.4力=2b0ln0.所以X2n也不具备周期性。(c)由于XiCw4*4+4-43力+4-1一41)-Zw-4303eCn1-4(41)
6、3)r2(瓦-4z故-14VjfcrX二二所以X3n是基波周期为4的周期序列。1.4对以下每个信号求信号的偶部保证为零的所有自变量值。()-u.n-4J(*)*20in(yl)(r()urt3I(d) 4(0eV2)解：(a)Evx11-y(xn+x-)-3-4+-8“r-4)=3时，EvUWl=O(b)Ev(1()3+()mCn3II(7)-32*,m-n-3由于(ks(k23IO.n- 3Iim(4)w-3j=O.Iim2el-n3J=CZ/a*4M所以当InlV3及|n|8时,Evx1i=o(d)Evxi(r)=yei,(-/+2)由于cj,(r+2)eM(-+2)IimeFMa+2)e
7、l,.Z-2IO.，v-2ej*,r2!imei,(-Z+2)=O所以只有当Rt8时，Ev(r.()=O1.5将下列信号的实部表示成2F(OX+3)的形式，其中a,a,和也都是实数，A()I-归江。()JK1(I)*-2(b)x2(t)e4co(3r*2)(c)*)()elin(3t)(a)()jec,wt解：(a) Rerl(f)=x(r)2eco(0r+),即A=2,a=0,=0,=(b)xj(t)=&CrjCOS(3,+2)-cosyjsinyjcos(3r)=cos(3)jcos(3r)即Rc(j()=e,8tn(3r+)e”*in(3r+)-e,cos(3zy)Re(w,Ke,*Re
8、(l(r)1 e j,co*(100r + -)A=I,n=2,=100,=21.9判断下列信号的周期性。若是周期的，给出它的基波周期。(.)x1(l)-je,tt(b)x,(,(d)MRHiZls(e)M(I=3产解：(a)x1NCOe(IS+y)+jsin(l即符工故X3n是周期序列，基波周期N=20(d),=3c=3eGTC=3cos(yn+)+3H+)g-r-即言故x4n是周期序列，基波周期N=I0。e)XtQitj=3*T)=3e*=3cos(h+条)+3jsin佶R+布)又W,3/5_322kIOx为无理数，故X5n不是周期序列。1.10 求信号40=2COe(IO/+1)-in(
9、4K-*ZH九一灯一+3一即M=-I,n0=-3o1.13考虑连续时间信号x(f)=(+2)-(r-2)试对信号)=j()d计算小值。解：=,a(r+2)-(r-2)dr-(3(r2)dr-*3r-2)drJ()dr*-()dr,1.-2r2-m(z+2)-(-2)-Io.其他E.=jy(z),drJ1dr41.14考虑一个周期信号_J1.O/110-2.Ir2周期为T=2。这个信号的导数是“冲激串(impulsetrain)g)=Z6(，-2k)A-周期仍为T=2。可以证明Ag(t-)+Ag(t-tj)df求A,t,A2和12的值。解：“E?。2kx(t)的波形如图1-1所示，竿波形如图1-
10、2所示。图1-1(tr图1-233r-2*)-33(/-1-24)3a(r-24)-3r-1-2k)=3g=2jr(n+4xPl-I)S2:IJx2l-2+*j(-3这里xn和X2n都为输入信号。(a)求系统S的输入-输出关系。(b)若Sl和S2的级联次序颠倒，即Sl在后，那么系统S的输入-输出关系会改变吗？解：(a)系统S可用框图表示，如图1-3所示。图13如图1-3所示，yln=2xl+4xn-11-y1=1n-2+-tCn-3y12-yn-3=ZxLn-2+4zn-3+-2zn-3+-4xn-4=2x-21+5x-3+2xC-4J(b)当Sl和S2的级联次序颠倒时，系统S可用框图表示；如
11、图1-4所示。iylwrxn-ftXt-S：S力-KGXilnjL-J图1-4由图14可知，力-x-2+x3ynw=2j+4x-1-2力+一I=2xw-22X4xw-3+4xa-3+4X4x-4L4=2xn-2+5rw-3+2xn-4由此可见，SI和S2的级联次序颠倒不会改变系统S的输入-输出关系。1.16 考虑一个离散时间系统，其输入为xn,输出为yn,系统的输入-输出关系为=x(Jx-2J(a)系统是无记忆的吗？b)当输入为A6n,A为任意实数或复数时，求系统输出。(c)系统是可逆的吗？解：(a)因为yUQMT?,即系统在某一时刻的输出不仅与当前的输入有关，还与过去的输入有关，所以系统是记
12、忆系统。(b)jcn1A3nl.xLn2=AiCn2KnMA,3t*m-21O(c)设xn=l,对所有n,则yn=Ixl=Io若设xn=-1,对所有n,则yn=(1)(1)=1。由于有两个不同的输入对应同一个输出，故系统不可逆。1.17 考虑一个连续时间系统，其输入X和输出y(t)的关系为y(t)MSin(Q)这说明t=一元时刻的响应要由未来t=0时刻的激励决定，故该系统是非因果的。Xi一O1(sinU)Url(O+ftr：(/)Xj(d,则x3(r)一(，.x(sn()Url(sin(r)+&r：(sin(r)ayt(t)+fry(故该系统是线性的。1.18 考虑一个离散时间系统，其输入xn
13、和输出yn的关系为n)=XW4-m其中，n0为某一有限正整数。a)系统是线性的吗？(b)系统是时不变的吗？(O若XmJ为有界且界定为一有限整数B,即对所有的n有nli=2XJW-:=Jr.令OrID=*WjrW-*W-WJtd*XiW+r1*、*=*JXIM+6,：*=yiW+yC故系统是线性的。(b)令”G1tD-mJ,则y-故系统是时不变的。(c)由题设知，当l*VB时,IgIVC.又I舟JI-I工IVZljr*IB1.19判定下列输入-输出关系的系统是否具有线性性质、时不变性质，或两者俱有。(a)y(t)t(l-l)(b)yxt-2(C)y(*-4-(d)y(f).Otflx(I)I解：
14、(a)x.(e)y(t)-r,x1(r-1),art(r)-*=r,(t-l)令31(力bx(.t)X1,，)，则Xj()-y1-z,x*?axi(1)+jrl(t-1)=a,Xj(r1)+txj(-1)=ajr(t)y1(f)故该系统是线性的。令*(,)=a-,.),贝J4(r)yi(t)=r4(r-izxx(r-1r)a-4)*a1打-*i)=yr-r0)故该系统是时变的。(b)设JW_yw-2Xt-*yW=XiCn-2令ar,n+4rln=工4则2-ax,-2+6x,n-2PX-2+2a32jn-2+护舅n-2ayW+frjC故该系统是非线性的。4,xn+1-JrCn-1-Tj-W-x1
15、+l-xtn-1令ar，”+如”=,t,则xn-*JfWNx1n+13-r-IJot+1+i+1-arCn-Ij-Ar1C-1a=yxnx设Nln-yxC-xn短”-*W-rznyx：-令OrII+fcr,=xn,则4fCy-En-yJ-nyoAM+y&riWxC_*Ar1-=。品一:工工一中齐：一十工：L)-yln+6y,n故该系统是线性的。W-*yWjC-y-r-x-#C-=jf-x-n+n,4故该系统是时变的。1.20一个连续时间线性系统S的输入为X，输出为y，有下面的输入-输出关系:x(f)=e9-y(f)=e,3fx(z)=ei2,-Ly(r)=cJ(a)若XIU)=Ca2f),求系
16、统S的输出y(t.)。(b)若町(2(，一),求系统S的输出y?。解：(a)j-,(f)cos(2r)=4(产+e-a)则yt(I)y(c,+e)cos(30COS(2yjj=cos(2f-D(J绮。+CfA)-ye1+yei小“(，)=ei俨+齐e-加-jm+e,3z-)-cos(3t-l)基本题1.21连续时间信号X如图1-5所示,画出下列信号并进行标注。解:图1-6 (a)(t-2),可知是原信号翻转后的平移。(cx(244)(H-)-)(a)X(t-l)即信号图像相对原信号左移了一个单位。(C)n=2(0的部分。图1-6(e)(f)工及+KLI)即是对x(t)在一3/2和3/2点处的抽
17、样。叩(T)r(T)44丁忖，图1-6(f)1.22离散时间信号xn如图1-7所示，画出下列信号并进行标注(a)xn-4(b)*3-n(c)x3n(d)*3n1(e)xn3-n(f)x1n-2n-2(f)y*f*j*y(-1)*?(h)x(n-l),J-4-3-2-!0I-2345；I4-I图17解：(a) rn,信号波形如图1-8(a)所示。.一“1113一图1-8(a)(b) m-O-W-5-3),信号波形如图i-8(b)所示。(c) x3n,信号波形如图1-8(C)所示。图18(c)(d) C3n13,信号波形如图1-8(d)所示。一了j_-3-2-101219图1-8(d)(e)心=-
18、,信号波形如图1.8(e)所示。Ur3r川UHrJHU-一&-K-4一，一？一ICn-101234用图1-8(e)xn3-=工(f) xC-2X-2xC0Xn-2=3Cn-2,信号波形如图1-8(f)所示。0234图1-8(f)LE+L-m。产EJ为偶数(g) 220”为有数，信号波形如图18(g)所示。图1-8(g)(h) *Cyx(C)+x-/)OdyEj()j(-0直接代入可以求出三个信号的奇、偶部图像。(a)Ev(G)OdU(r图1-1()(a)(b)EvUG)Od(jrf)图1-10(b)(C)图I-Io(C)1.24 确定并画出图1-11所示信号的奇部和偶部，并进行标注。图Lll解：此题解题步骤同题1.23。(a)x-w图1-12Ev(C)x(t)=cw(2f-yjj(d)x(c)工 Vcoi(4)tt(1)：(e)x()=vin(4n-cos(4f)w()+cos(-4t)u(-/)cos4t)(O+ycos4)tt(-t)=cos(4w)ysinM()+ESin(-4视，)(t)ysin(4M)ysin(4r)w(*)故x(t)是非周期的。(f) X是周期的。因为令2T=k=l,所以周期鼠1.26判定下列离散时间信号的周期性；若是周期的，确定它的基波周期。
