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1、第1讲长方体和正方体知识点一I长方体和正方体的认识1.K方体的特征长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。2.长方体的长、宽、高的含义长方体相交于同顶点的三条棱的长度,分别叫作它的长、宽、高。知识点二：长方体和正方体的展开图1 .沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图.2 .正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中,正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。3 .一个表面涂色的正方体，把每条
2、梭平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。（1）3面涂色的小正方体有8个。2）如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么u=（n-2）X12,b=（n-2）2X6知识点三：长方体、正方体的表面积计算1.意义长方体（或正方体）6个面的总面积.2.计算方法1）长方体的表面积:长X宽X2+长X高X2+宽X高X2=（长X宽+长X高+宽X高）X2。（2）正方体的表面积-棱长X棱长X6。知识点四I体积与体积单位1.体枳的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体枳。2.容枳的诲义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。常用
3、的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm、dm；和m。计量液体的体积，通常用升或考升作单位。1立方分米=1升，I立方丽米=1老升知识点五I长方体和正方体的体积1.长方体的体积=长X:X高，字母公式为V=abh.2.正方体的体积=校长X棱长X棱长，字母公式为V=a工底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。4 .体积计算公式：长方体（或正方体）的体积二底面枳X高，如果用字母S表示底面枳，h表示高，长方体（或正方体）的体积计算公式可以写成V=Sh.5 .体积单位常用到，相邻进军是1000,立方分米立方米，它们进率是1000立方分米立方厘米，它们进率是1000.长方体和正方
4、体的认识【例1】（2020寺恭江区期末）用根氏6（WW1.的秩条正好可以焊接成一个长6版，祗5dm.高4dm的长方体框架.【思路分析】川根60分米长的铁统,恰好可以阚成长方体.这个长方体的校长总和就是60分米：长方体的楂长总和=（长+宽+高）4,用楂长总和除以4减去长和蜜，即可求出长方体的高.【规范解答】解：604-6-5=15-6-5=4（分米）答：这个长方体框架的总是4分米.故答案为：4.名师点国此的主要考查了学生根据长方体的校长总和的公式解感的能力.1. （2020春英山县期末）一个长方体的长宽高分别是2cm、3e、4这个正方体中，m4,的对面是“5”（2）她起这个正方体，落下后，历数相
5、上的可能性比合数朝上的可能性大.（填“大”或“小”）【思路分析】（I）如图根据正方体展开图的I1.种特征,属于“2-2-2”型,折电成正方体后,1与6相对,2与3相对，4与5相对.（2）正方体的六个面中有三个面耳质数2、3、5,有两个面写合数4、6,弛起这个正方体，落卜后，旗数朝上的可能性比合数朝上的可能性大：据此解答.【规范解答】解：（I）这个正方体中，“4”的对面是“5”.（2）正方体的六个面中有三个面写质数2、3、5,有两个面写合数4、6.32,所以跄起这个正方体落下后,质数期上的可能性比合数班上的可能性大.故答案为：5.大.【名师点国】此题是考查正方体展开图的特征，事件发生的可能性.正
6、方体展开图中哪些面相对是有规律可循的,自己折折看.总结出规律,以利于解答此类时.长方体、正方体的表面积计算【例3】（2020春武川县期末一个正方体的校长是6c，”，衣面枳是216cm2.【思路分析】根据正方体的我面枳公式：S=&A把数据代入公式艇答.【规范解答】解：666=36X6=216（平方丽米）答：它的表面枳是216平方哩米.故答案为：216.【名师点评】此翘主要考直正方体表面枳公式的灵活运用.关键是熟记公式.1. （2020春上蔡县期末）把一个校长6分米的正方体木块锯成两个完全一样的长方体后，表面积比原来增加了72平方分米.【思路分析】一个正方体木块锯成两个完全一样的长方体后，表面积增
7、加的部分为两个正方体的面积，根据正方形的面积公式：S=宗，计算即可.【规范湃誓】解：增加的面积为：2X6X6=12X6=72（dm2）答：表面积比原来增加了72平方分米.故答案为：72.【名师点评】本SS主要考农了图形切割，明确切割前后面积的变化，是本题解题的关键.2. （2020蓬涣县）一个正方体的极长为2.匣米，极长扩大到潦来的3倍后，它的丧面枳增加了192平方陛米.【思路分析】根据正方体的体枳公式：V=fr,再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积.据此解答.【规范解答】解：226=24（平方厘米3X3=924X9-24=216-24=192（平方厢米）答：它的衣面枳
8、增加了192平方哩米.故答案为：192.【名师点评】此跑主要考查正方体的表面积公式、因数与税的变化规律的应用,关键是熟记公式.3. （2020永嘉县将一个大正方体切成大小相同的8个小正方体（如图），斑个小正方体的表面积是18平方厘米，原正方体的表面枳足72平方匣米.j一，】根据正方体的表面枳公式：S=&已知每个小正方体的表面枳是18平方闻米，由此UJ以扁市K、正方体一个面的面枳,大正方体一个面的面枳是小正方体一个面底面积的4倍.据此可以求出大正方体一个面的面枳，然后把数据代入公式解答即可.【规范解答】解：小正方体母个面的面积是：I86=3（平方厘米）大正方体每个面的面积是：34=12（平方厘米
9、）大正方体的表面枳是：12X6=72（平方匣米答：原来正方体的表面枳是72平方厘米.故答案为：72.【名师点评】此SS主要考含正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式.体积与体积单位【例4】（2013福田区校级模拟）一种If1.I柱形铁皮油桶的底面直径是40.厘米，Jfii是50顺米，这个油桶的容积是62800意开.【思路分析】这个油桶的容枳是内底面枳柒高，知道直径即可求出半径，再求底面枳，利用底面积乘高则可求这个油桶的容枳.【规范解答】R：402=20（厘米），3.142O25O.=3.!44OO5O=62800（立方厘米），=62800皂升.答：这个油桶的容枳是62800a开.故答案为：
10、628（X）【名师点评】此即考查网柱的体积,根据已知给用公式计算即可.1. （2010广州自主招生）有一种饮料的瓶身如图所示,容积是3升.现在它里面装了一线饮料,正放时饮料诙度为20厘米,倒放时空于部分的高度为S厘米.那么瓶内现有饮料升.【思路分析】正放时饮料高度为20匝米，倒放时，空余部分的高度为5匝米，如果把饮料瓶内饮料的体积看作圆柱体，正放和倒放瓶内饮料的体积不变，用高之比等于体积之比，即可求出饮料有多少开.【规范解答】ft?：饮料和空气的体积比是：20：5=4：1饮料管3-08=2.4(升)4+1答：瓶内现有饮料2.4升.故答案为：2.4.【名师点评】此即主要考查应用圆柱体的体枳(容积
11、)的计算方法，解决有关的实际问电.2. 在1立方分米的正方体容湄里袋满水，能笠】升水.【思路分析】1立方分米=I升，据此即可解答.【规范解答】解：因为1立方分米=I升，所以1立方分米的正方体挣盟里袋满水，能装1升水.故答案为：I.名师点评此时考查的目的是理解容积单位与体枳单位之间的关系.3. -只歇杆中装有400，/.的水，当放入两个相同的玻璃球星，水面刻度指示为600，比，好个玻璃球的大小相当于100m1.的水.【思路分析】用后来的体积微去原来的体积就是2个相同玻璃球的体积，再除以2,即可解决何时.【规范解答】解：(600-400)2=22=1.(m)：答：每个玻璃球的大小相当于100”山的
12、水.故答案为：100.名师点请】明确增加的体根就是2个玻璃球的体枳是解题的关键.长方体和正方体的体积例5（2020春雁塔区期末）用10个棱长为1厘米的小正方体搭成一个大长方体,这个长方体的体积是IO立方厘米.【思路分析】根据微意UJ知，搭成长方体的体枳等于10个桢长是I厢米的正方体的体枳.根据正方体的体积公式：V=苏，把数据代入公式解答.【规范解答】蚱：1X1X1X10=10（立方厘米）答：这个长方体的体枳是10立方厘米.故答案为：10.【名师点评】此的主要考变正方体、长方体体枳公式的灵活运用，关键是熟记公式.1. （2020春芦溪县期末一根4,“长的方刖，把它豉成3段，表面积增加80而匕原来
13、这根方钢的体枳是800dm【思路分析】微方钢时，增加的衣面积为4个方钢的横搬面枳，以此求出方纲横裁面积,再乘方钢的总长，即为方钢的体枳.【规范解答】解：截方钢时.增加的表面积为4个方钢的横极面积.方剂的横截面枳为：804=20（iim2）4m=40（w方纲的体积：2040=SWX）答：原来这根方钢的体枳是SOMR故答案为：800.【名师点评】本Sfi主要考查了长方体的体枳，明确裁断时增加的面积与横微面枳的数后关系.是本题解题的关键.2. （2020春宝鸡期末）一块长方体形状的大理石，体枳为30”此底面是面积为6w的长方形，这块大理石的岛是5，”.【思路分析】根据长方体的体枳公式：V=Sh,推导
14、出求高公式：A=VS,代入数值计徵即可.【规范解答】解:306=S（WJ）答：这块大理石的两是5，”.故答案为：5.【名师点评】本Sfi主要考查了长方体体积公式，需要学生熟记并灵活运用.3. （2020套和平区期末）个长方体，校长总和是8（W”,长和宽都是8c，”，这个长方体高是4（W.这个长方体体枳是2S6立方厘米.【思路分析】根据长方体的校长总和=长+宽+高）4,用核长总和除以4再M去长和宽即可求出高,根据长方体的体枳公式：V=ubh,把数据代入公式解答.【规范解答】解:804-82=20-16=4（厘米）8g4=256（立方哩米）答：这个长方体的高是4瓯米，体枳是256立方厘米.故答案为
15、：4.256立方厘米.【名师点评】此SS主要考杳长方体的校长总和公式、体枳公式的灵活运用，关键是熟记公式.选算（共6小JB）1. （2019山西模拟正方体有一个面，相对应的两个面.（A.6.大小不同形状一样B.6.大小相同形状一样C.6.大小不同形状不问【思路分析】正方体有6个面，6个面都是完全相同的正方形；据此解答.【规范解答】解:正方体有6个面，相对应的两个而大小相同形状一样.故选：B.1名Q1.i点if此即考交了对正方体特征的掌握.b【思路分析】根据正方体J.二?A.2. （2020春顺义区期末）下面的平面图形中，（）不能折成正方体.D种特征,图八不属干正方体展开F二卫二成正方体：8图、
16、图C崩于正方体展开图的“1-3-2”型,图。用于正方体展开图的“1-4-1”型，都能折成正方体.【规范解答】解：不能折成正方体:FFIFjj,i-【名师点评】IE方体展开图有I1.种特征，分四种类型，即：第一种：-I-4-1结构，即第一行放1个,第二行放4个，第三行放I个：第二种：“2-2-2”结构，即每-行放2个正方形，此种结构只有种展开图；第三种：“3-3”结构，即此一行放3个正方形，只有种展开图：第四种：-1-3-2-结构,即第一行放I个正方形.第二行放3个正方形.第三行放2个正方形.3. （2020作顺义区期末）一个长2&w、窕18.5cm、原0.5,”的物体，爆有可能是（）A.普通手
17、机B.橡皮C.新华字典D,数学书【思路分析】根据生活实际，一本数学书，长的26I里米，宽约18.5迎米，亚度约（）5厘米.由此推测可悭是教学书.【规范解答】解：一个长26厘米、宽18,厘米、高0,厘米的物体,最有可能是数学书.故选：D.【名师点W】解答此题的关键是结合生活实际，明白I闻米实际有多长.4. （2020春上蔡县期末）把一个极长为”的正方体,平均切成两个体枳一样的长方体,它们的表面枳之和为A.6rB.82C.I22D.无法计算【思路分析】把一个正方体，切成两个相同的长方体后，表面积比原来是增加了两个原正方体的面的面枳，由此即可解答.【规范解答】解：6+2f1.a=6a2+22=82答
18、：它们的表而枳之和为故选:B.名师点评】抓住一个正方体切割成两个相同的长方体的方法，得出切制后表面枳增加了两个原正方体的面的面积,是解决此类问遨的关谊.5. （2020蓬溪县）业筒里原有180先升的水，现在将15个楂长都是1网米的正方体铁块放入玳筒内（正方体全部浸没在水中）.水面上升到（）寇升的位置.A.180B.185C.195D.205【思路分析】根据正方体的体枳公式：V=求出这15正方体的体积,再根据体积与容积的换算方法.把15个正方体的体积换算成用容积单位,然后用量筒中原来水的数Ift加上这15个正方体的体积即可.【规范解答】蚱：1X1X1X15=15（立方厘米）15立方机米=15戛升
19、180+15=195（亳升）谷：水面上升到195名升的位河.故选：C【名师点评】此即主要考森正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，注懑：体积单位与容积单付之间的换算.6. （2019春无棣县期末）如图依有可能是（）的展开示意图.A.D.方形（特殊情况有两个相时的面是正方形），gb轴忠QJfJI】根据长方体的特征，氏方体的6个皿”匚4相对面的面积相等.当长方体有两个相时的面是正方形，其它4个面是完全相同的长方形.据此解答.【规范解答】解：通过长方体的展开图可知,这个长方体有两个相对的方是正方形,所以其它4个面是完全相同的长方形.出此可如,如图最有可能的图C展开图.故选：C.名师点i平此SS
20、考住的目的是理斛掌握展开图的特征及应川.二.（共6小Ji）7. （2013秋南京期末）下面是一个长方形的灰面展开图（每个小方格的边氏衣示1J里米）.这个长方体的底面积是8平方厘米,去面枳是52平方丽米,体积是24立方闻米.【思路分析】通过图知道这个长方体的长足4厘米,宽足2厘米，高是3厘米,I面积=长X甯，求出长方体的底面积，根据：长方体的表面枳=（长X宽+KXX长方体的表面积，根据：长方体的体枳=长X宽X高,即可求出它的体枳.【规范解答】解：通过图知道这个氏方体的长是4厘米，宽跄2阻米，岛是3理3底面积：42=8（平方显米），表面积：42+43+2X3）2=52（平方闻米）；体积：4X2X3
21、=24（立方厚米）：答：这个长方体的底面枳是8平方厘米，表面积是52平方厘米，体枳是24立方厘米；故答案为：8.52,24.【名师点评】此8主要考查了长方体与它的仰面展开图的关系，再利用相应的公式解决向8S8.（2020春交城县期末）一块体积为32，7的长方体大理石，底面积是8”乙高是4米.【思路分析】长方体体积=底面枳X高.已知体枳和底面积.那么高就等于体积除以底面积.【规范解答】解：328=4（米）答：高是4米.故答案为：4.名师点评解答此题要知道长方体的体积=皮面枳Xi.9.（2019秋洪泽区期中）长方体和正方体都行6个面,12条械.长方体及多行2个面是正方形.【思路分析】根据长方体和正
22、方体的共同特征，长方体和正方体都有6个面、12条棱、8个顶点，长方体的6个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）,当长方体有两个相对的面是正方形时，其余四个面的面枳相等，形状完全相同.【规范解答】解：根据分析可得：长方体和正方体都有6个面，12条梭.长方体最多有2个面是正方形.故答案为：6.12,2.【名师点评】此题主要考查了长方体的特征.要正确理解和掌握长方体的特征,平时注意基础知识的积崟.10. 2020春洪泽区校城期中用一个正方体只能画出种正方形，用一个长方体最多能画出二种不同的长方形.【思路分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形，相时
23、面的面积相等.正方体6个面都相等.据此解答.【规范解答】解：用一个正方体只能图出1种正方形，用一个长方体最多能Bf出3种不同的长方形.故答案为：I,3.【名点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征,明确:在长方体中,相对的面是完全相同的.11. （2020春宝鼎期末如图，把这个平面展开图折叠成。/体.1相对的字母是“F”.【思路分析】此图属于正方体展开图的“1-4-1”结构,折成正方体后，字埠“A”与“C相对,“B与相对，与F”相对.【规范解答】解：如图“SCDf小成立方体，与“E”相对的字母是“尸”.故答案为：“尸”.【名师点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，那种情况折成正方体后哪些
24、面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住,能快速斛答此类题.12. （2020春高邑县期中）玩具魔方一个面的面积是9平方厘米，这个魔方的表面积是54平方Jjg米.【思路分析】根据IE方体的衣面枳公式：S=&E把数据代入公式解答即可.【规范解答】解：9X6=54（平方厘米）答：这个魔方的表面枳是54平方厘米.故答案为：54.【名师点评】此翘主要考查正方体表面积公式的灵活运用.关雄是熟记公式.三.判断届（共5小JB）13. 4,把数据代入公式求出这个长方体的校长总和与48厘米进行比较即可.【规范解答】解：12X4=48（厘米）所以这个长方体的校长总和是48厘米.故答案为：.【名师点评】此题考杳的
25、目的是理鳏掌握长方体的特征，以及长方体校长总和公式的灵活运用，关谡是熟记公式.!4.（2020丰润区）如果左面看到是B面，前面看到是F面，W1.面可能是下面J（判断对错）【思路分析】根据长方体展开图的特征，此图属户长方体展开图的“I-3-2”型，折成长方体后，A面与尸面相对,8面与D面相对,C面与而相对.折成长方体后,如果左面看到是8面,前面看到是广面，则E面可能是下面.【规范解答】解：如图B面，前面看到是尸面,则E面可能是下面原题说法JE确.故答案为：【名师点评】此SS可操作下，即可很容易验证此SS说法是否正确.15. （2020石阡县）一个长方体的长、宽、高各增加2厘米.体枳增加8立方厘米
26、.X（判断对情）【思路分析】举出反例即可求解.【规范解答】解；如长方体的长、宽、高分别是4闻米、3厘米、2厚米，一个长方体的长、宽、高各增加2厘米后长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米、4J里米，它的体积增加654-4X3X2=120-24=96（立方匣米）.故题广的说法是错误的故答案为：X.名师点评此题考查的目的是使学生牢固以握长方体的体枳公式，并且能够根据体积公式解决有关的问题.16. （2019秋鹿邑县期末）一个无前的长方体玻璃曲缸，长50厘米，宽40厘米，高30厘米.做这个色缸至少需要玻璃74平方分米.J（判断对错）【思路分析】求歧场的面枳，就是求氏方体5个面的面枳,缺少上面，依班反
27、方体的表面积公式：S=2（+11+W）即可求解.【规篦解答】解：504（H-（5030+4030）2=200（）+540（）=7400（平方闻米）7400平方厘米=74平方分米答：做这个值虹至少需要玻璃74平方分米.起干的说法是正确的.故答案为：.名师点国此他主要考卷长方体的表面枳的计算方法在实际生活中的应用.17. （2（）2O春二七区校级月考）一个正方体的梭尺为KkVM.如果比梭长增加1。”,那么体枳增加IE1.X（判断对错）【思路分析】根据正方体的体积公式：V=rP,把数据代入公式求出原来的体枳,增加后的体枳.然后进行比较即可.【规范解答】解：10X10X10=1000（立方厘米）10+
28、1=11(厘米)1.x1.1.1.=I2II1=1331X2,把数据分别代入公式解答.【规范解答】裤：224+(124+126+46)X2=4X4+(48+72+24)2=16+144X2=16+288=304(平方匣米)答：这个物体的表面枳毡304平方J里米.【名师点评】此SS主要考杳正方体、长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式.19. 2020春幡江区期末计算下面图形的表面积和体积.Hto5do体的表面枳公式：S=(u+u+W)2.体枳公式：V=abh,把数据分别代入公式解答.【规范解答】蚱：21.5+21.4+54)2=(105+84+20)2=209X2=418(平方分米)215
29、4=420（立方分米）答：这个长方体的表面积是418平方分米，体积是420立方分米.【名师点国】此鹿主要考卷长方体的表面枳公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式.五.应用（共6小）20 .（2020春武川县期末）一根长方体木料.长6米，横截面的面积是0.05m2,4根这样的木料是多少【思路分析】根据长方体的体积公式：V=Sh,把数据代入公式求出一根木料的体枳再乘4即可.【规范解答】解：0.056X4=0.3X4=1.2（立方米答：4根这样的木料是1.2立方米.【名师点评】此SS主要考查长方体体枳公式的以活运用，关处是熟记公式.21 .2020春股义区期末小刚用橡皮泡捏成一个梭长为4阻米的正方
30、体.（1这个正方体的体积是多少立方厘米？（2）如果把它现成一个长方体.长是811米,宽是2J里米，岛是多少厘米？【思路分析】（1）根楙正方体的体枳公式：V=a把数据代入公式解答.（2）根据题走可知,把正方体的橡皮泥捏成长方体后体积不变.根据长方体的体积公式：V=abh,那么h=V+ab,把数据代入公式解答.【规范解答】解：（I）4X4X4=64（立方厘米）答：这个正方体的体枳是64立方厘米.（2）6482=82=4（胆米）答：腐是4原米.【Z师点评】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用关批是钻记公式.22. （2020春恭江区期末）把一个校长为4e”的正方体铁块，烬铸成一个长8e”，宽
31、的长方体，这个长方体的高是多少E?【思路分析】根据即懑可知，把正方体铁块熔的成长方体或，体积不变，根据正方体的体枳公式，V=求出铁块的体枳，再根据长方体的体积公式：V=ahh,那么=yM,把数据代入公式解答.【规范解答】解：44484=6484=84=2(厘米)答：这个长方体的裔是2匣米.【名师点评】此翘主要考直正方体、长方体体积公式的灵活运用关腿是熟记公式.23. (2020春宁津县期末)做一个长160J里米，宽60厘米，高80厘米的无盆鱼缸，至少福要多少平方厘米的玻脚？【思路分析】这道题是求长方体的表面积这个长方体的表面由五个长方形组成,缺少上而：根据长方体的表面积公式直接求解即可.【规范
32、解答】解：I6O6O+(I6080+6080)2=9600+(128(XH-48()O)X2=960()+17600X2=9600+35200=448()0(平方艇米)答：至少需要44800平方顺米的玻璃.名师点评此翘主要考查长方体的表面积的计算方法在实际生活中的应用.24. (2020春英山县期末)学校要松利一间多媒体教室内的四壁，经测肽多媒体教室的长是9米，宽是7米，高是3米，门窗面枳合计是12.6平方米.需要粉刷的面枳是多少平方米？【思路分析】首先搞清这道避是求反方体的例面枳，其次这个长方体的侧面由4个反方形组成,缺少上下面，以后计算这4个面的面积减去门阻的面积，列式解答即可.【规范解答
33、】解：(9X3+7X3)X2-126=27+21)X2-12.6=48X2-12.6=96-12.6=83.4(平方米)答：需要粉刷的面积是83.4平方米.【名师点评】这是一道长方体女而枳的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面枳，法少的是哪一个面的面枳，从而列式解答即可.25. (2020春顺义区期末)一个长方体无盖的玻璃鱼缸,长是6分米,宽是S分米,总是4分米.做这个鱼缸需要的玻璃是多少平方分米？【思路分析】此题属于长方体表面积的意义，缺少上面,根据长方体的表面枳公式：S=Gb+ah+bh)2,把数据代入公式解答.【规范解答】ft？：6X5+(64+54)2=30+(24+20)2=30+44X2=30+88=118(平方分洪)答：做这个鱼虹需要的她璃是118平方米.【名师点评】此即主要考查长方体表面枳公式的灵活运用，关键是熟记公式.
