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1、第二章平稔过程1.指出下面所给的习必中.哪些是平松过程,哪当不是平稳过程？(1)设随机过程X(f)=e,，0,其中X具有在区间(0.“中的均匀分布解：Y该随机过程的数学期里为：,该随机过程不是平稔过程.(2)设班机过程X(f),-8X()=0=1-p其中0p1解：.该随H母程的数学期望为，、.)=X。)=1.PX)=1+()P(X)=0=P(常数)该随机过程的自相关函数为：=PX(t)=1.PX(+r)=1.=r结果与t无关：.该随机过程是平枪随机过程.(3)设(Xa.t21是独立同分布的加机序列，其中X/的分布列为XiIJ.j=1.2.-P22定义匕=fx)，试对随机序列匕,1.),讨论其平
2、极性.，六I解：VKX)=1.PXj=1.+(-1.)P=/3即Ry(,+M=npRY(m)该随机过程不是平稳过程,(4)设1.机过程X)=AeS(0M+),7ovrv+z=,其中。为正常数.从中是相互独立的叨机变显，且A服从在区间O.IJ上均匀分布,而服从在区间0,2”上的均匀分布。解：m1.(/)=X(r)=JACOSfcV+)=fda-)一cosiv1.+)d=O(常数；JnM211而自相关函数为：A该随机过程是平稳随机过程，(5;设随机过程Xa)=COSar1.8jm其中&在区间-JA.0U+-)中服从均匀分布。22解：随机变量。的概率密度为/=z4)O其它n,t=EXG)=f也cos
3、o)td=sin-S=sin()coM/不是常数t2：.该随机过程不是平稳过程。(6)设有曲机过程Xa)=X+%-8Vf+00,而随机向量(XJ)的协阵为:1.r解：tn1.(t)=EX(t)=E(X+Yr)=EXtEY当20时，明”)不是常数A该随机过程不是平检的机过程，(7)设有随机过程X(f)=X+%+Zr-9Vo,其中X.Y,Z是相互独立的1.机变fit各自的数学期里为0.方基为I.解：m,(t)EX(t)EX+Yt+Zt2=EX+EY+t2EZ=O(常数)自相关函数%(+r)w*(r)该随机过程不是平稳fif1.机过程。(8)设有的机过程X()=X1随机变St),那么以=,OX=2.
4、ft?：.mt)=EXit)=EX=a(常数).该随机过程是平稳随机过程.2 .设防机过程X)=sin5.其中U是在02打上均匀分布的随机变玻.试证(I)假设而T=U2，而XH)/=12)是平稳过程：(2)假设壮丁，而丁=0+),而XH)JO不是平稳过理.证明：(1)Y该随机过程Xa)=Sins的数学期望为jW,()=(/)=sinvft,=-cos1.,=(cos2t-IJ=O(常数)加2/r2r2m：.X)=12)是平梗随机过程。(2) .(X(r)je0rMo)的数学期望为n1.(/)=EX()=EsinV,/=rsinvidv=-CosvzIyr=-I-cos2t不是常数为2尸211t
5、1111(X()j0.+x)不是平稔过程.3 .设密机过程其中是常数.A与中是独立陆机变Iih服从在区间(O.211)中的均匀分布.A版从瑞利分布.其密度为设防机过程y)=8cos6V+CSinftV.fx,其中B与C是相互独立正态变量，且都具有分布N(0.2).(I)试证X)是平桧过程证明：对于随机过程Xa)=Aa(ct+)的数学期望为(常数:-Jx-e-J.vjy-cos(0t+)t1.=0自相关函数1(r,r+r)=2-cos0r=2cos0根据例4,Iifi机过程Y是平税随机过程，4,设S是周期为T的周期函数,而是在区间(0.T)上的均匀分布的的机变量，随机过程称为随机相位冏期过程.试
6、问X魁否为平稳过程，又问它是否具有各态历羟性ft?：Vmjt()=X（三）=S(1.+)dt+=ujS()dn=yS(wkw(周期的数性质)；.，”,(1)=(“)S(+r)：.Sa)Sa+)的周期也为./C,(.r+r)=yJS(u)S(u+rkM=yS(M)S(M+r)rfw=Rx()：.X()=S(r+)是平:稳防机过程.再讨论驰机过程x(t)的各态历羟性.=IunfX（三）Jr=IimrXaMhJTsO2/J-I/ty2/J5 .设(XH),evvxc是嵌1机相位冏期过程.它的一个样本函数XH)如以下图所示“周期丁和振帼“都是常数，相位b是区间(0,T)上的均匀分布.求次解：根据上图，
7、得T1.T.那么1X(3=Hwi)”矶+匚岁-网(F-；)/码6 .随机过程其中A和中是利Iq独立的随机变量，而。在区间(O.2n)上均匀分布，试问X是否具有各态历经性ft?：KX(r)=/4ACoS(03)=EAEcos(gr+)=EAcosfe1.)-d=EAJ-Sin(%/+夕)|7=0(常数)1,11”=EA1-sin2()fT(Tsin0T+cosdor)202T3。|(,=-EA2sin2J-(FsiniT+cos2J-)2zy1.,2T00=一4;-,sin20T-sin0a2n2T002T0：.该平稳过程具彳r数学期望各态历般性.下面讨论相应函数的各态历经性。令Hr)=X)X+
8、r)(固定r)由于A与相互独立,那么有令1.+那么有：.该平稳过程不舁备自相关函数各态经性7.随机过程其中A和B号均值为零不相关的随机变fit,KEA-=Eff2.试证明X(I)具有数学期更各态历经性.而无相关函数各态历经性.解：.mx(/)=EY(=fAsin+oos=Esin?+Effcosz=0(常数)=M2co(z+r-)+MEffsin(+r)=M2-cosr=Wx(r)Y该曲机过程是平稳随机过程。现证数学期望各态历经性.2sin2TIsiTCoS27-I1八=tA；0T22IT2.COSrHEcosr=Rx(r)该平衡过程具有数学期望各态历经性(利用均方极限的性质4)即自相关函数无
9、各态历经性8,设平稳过程X()fyr即平稳随机过程X具有IimRt(r)=f;：.平12随机过程关于数学期里具有各态历经性。9,设Xa)和丫是相互独上的平稔随机过程，证明z(t)=X(I)Y(I)也是平稳随机过程。证明：.”)=逐H)=HYa)=AyH)=%/(常数)=1X()X(+D1.1r(/)r(/+)1.=Rx()Rr(r)与，无关：.随机过程Z(r)=X丫(。也是平稳防机过程.10 .设平稳过程X0和y相互独立.z=z(o+x(o.试求Za)的自相关函数.解：z(+r)=EZ(t)Z(1.+r)=f(XO)+Y(t)1.Z(+r)+Y(t+r)VXS,丫都是平稳过程EX(t)=mx(
10、常数)，EY(f)=Hir(Wft)：.Rx(tj+r)=x(r)+Rr(r)+Inix-ttr11 .平枪过程(X),11ore的相关函数为()=4e1.dcos+COS3度求均方值EX:(/)解：根据平梗过程自相关函数的性质有13.设有随机过程其中A.是相互.独立随机变地，而A的均值为2.旗为4：中在(-心开)上服从均匀分布；”在(-5,5)上服从均匀分布，试求Xa)的自相关函数，并向XH)是否平稳以及是否具有各态历羟性.解：；mx(r)=EX(t)=EAcos(ftX+)=EA-Ecos(c(+)=2-sin(ofU；SinJ二-0(cos。)a-d=Q(常数)ti211I2乃：.该随机
11、过程具有平检性.又YC,(r)-snr=0=/?/；rr-*5该平稳过程关于数学期里具有各态历经性.又.=r,.该随机过程不具有相关函数各态历经性。14：设有随机过程其中平稔过程Xa)和y(/)仅腐机变量V三者相互独立，且八=0,%=0RN(T)=2ecos0,Ri(r)=9+e3r：,又EV=2,DV=9试求Z”/的数学期望,和相关函数.解：R(r)=2e*cos%r,r(r)=9+1产EXi=Rx(O)=2EY2=9+1=10.DX=EX2-(EX)2=EX2-m=2：./n;(f)=EZ(I)=E1.VX,1.Y1.,1.=EVEX(f)EY(f)=2OO=O.OV=EV2-(W)2.E
12、V2=13.OZa)=I320=26015：设X，是雷达的发射信号，遇到目标的回波信号为“X(-r),“1.,力是信号返回时间，回波信号必然伴有噪声,记为Nft).于是接收机收到的全信号为假定X(t)和N(t)平稳相关.(I)求互相函数R”.(r)：(21假设N(t)的数学期望为零.且与X(t相互独立.求KXy(T).解:(1)先求互相关函数RXr(r)(2) VX(t)与N相互独立，且ENa)=Ofy(r)=aRx(r-r1.)+EY()ENu)=ORX(r-r1.)16：设有两个平稳过程X(f)=cos(/+),y(r)=bsin(0f+)t_IOcos(1.1.r+)sin(y+nr+)
13、17 .设*(，),一力/4是独立同分布质机过程.11,E(X)/=0.DX(r)=1.试问X)是否为平稳过程？又Xa)是否均方连续.解：.mx(t)=EX(I)=O(常数)Rx(/./+r)=E(t)(t+r)=EX2=DX=I.r=OUtEX()EX(+r)=O,r()这与，无关:该施机过程是平枪Mi机过程乂因为R(r)在T=O点不连纨，根据定理X)不均匀连续.18 .设x(r),cto是平稳过程(I)假设存在7X)使得Kx(T)=Rx(O),那么对固定的，有X(r+T)=X(),as(提示：HX-EXI2g与)证明：根据概率论中的契比臂夫不等式有.XQ)是平稳过程故(X(r+r)-X(r
14、)=O.p+axs*目+7y=W”存在D0,使得RAer)=/?、,(0),那么对上式no.X(t+T)=X(),a.S证毕1(2)假设Xa)可导.僚么EXX(I)=心(O)证明：.EX()X(/)=/X（三）1.i-HI493)二XS1-O/(3)假设Xa)可导.僚么X“)是平柳过程,且它的相关函数证明：.X(r)是平稳过程，故mx(t)=mxRx(tj+)=Rx(r)r.R,J1.X(r+z)-X().EX(+0-EX()n而EX(f)J=1.Un1=Iim=0j/My（三）=O(常数)又Vf(r+r)=EX,()X,(+r)19 .设X(),Y0/E和Y(),Yt,-OOvr+8是平植过
15、程.22 .设X)是数学期望为零的平稳正态过程,又Y(r)=2,求证证明；显然EIy()=E20)=(0)=1.fx2y2cxp(2-2w+V2)dxdv其中r=8112217j-2-(-)Rv(O)1.=.ve-dxy-expJ(Tm:孙，令“=与之JfJf2-(1.-r-)1.-r2=f“x、-3”公(ZX+V1.-r2w)2edu2rJyJ-82(1.-r2).vV,.r=r公=4(1.-r23r2,=2r24+4=2/?；(r)+/?,；(0)=/?,(r)上面的证明同时也说明Y(I)=X2(I)是平稳的机过程，证毕23 .(1)以下函数就些是功率谱密度.哪些不是？为什么？解:根据功率
16、谱密度的性质,功率讲密度是实的,非负的偈函数,所以S(o),S式。),Sq(O)不是功率讷带度，而Sy)是功率诺容度.(2)时上面的正确功率谱密度表达式计算自相关因数和均方值BD,-c6+1/+12I解：3,(M=：=；=-；：co+5(0+6(cd+2)(0)解：SI(M=U(r)J=FeCOSeiiccos(y+90)ar=-cos(w+O)Q)deu,.*(+xe-rcos(y+n)ui=aJA1.a“ios同理Prcos(-a)rdr=-tocr+(0)5,(y)=a；r+：r+(y+w0)“-+(-5)-1-Tr=rcosy/-1=rU-cosy71=rsnT2OT2T2Tm22Rx
17、(r)=4+ICoSK+cos311r解：VSx()=F(x(r)=F4ecos+cos3rr4F1.crcos+F(cos3=4(+d+-3)+(+311)+-11)I+(+”)-(4)Rx(r)=r-absinZr)其中aQ解：.SX(M=F1.&)=1.-Z)22+(+Z)-而FIfsin/”r=Je-sinJr=ec：sin/?rcoscm/rc,、2aa21-Ib+tb-j1,1.SX(CT)=(-r+-r-Cab-+-r27：以a+(t-b)a+(+b)+()+r11)a+(-)下平稔过程X(f)的功率谱密度，试分别求X)的自相关函数1JSx(CT)=II0区/0其它解：(r)=1
18、1.Sv(ey)=y-Sx(.njefdettd=sincy0r(2) S*(m)=勖）+2+书）小00.其它解：R)=HSXS)=(值HS(3) S(o)=1-.G70c7(O.其它解：Rv(r)=/-Sx(0)=/S(Wrdc7I-ICoSeTrdm=2.,1.,rrsm2-皿厂2(4) Sx(t)=(1.+o)解：论S.(0)=+GJ当20时那么(r)=/由于R（）是偶函数解：.RX=KS(o)=尸I。+ba002aO其它ft?：vRx(r)=F11Sx(nr)=Sx()e,td(2/7=befrdt+1.reod211i-2a211j,28：记陵机过程其中Xa）是平稳过程，为区间（0,
19、211）上均匀分布的随机变量，卬.为常数，且X和是相互独立的，论X”）的自相关函数为“，功率谱密度为又（。）试证：（1）Y是平稳过程I1.它的自相关函数（r）=g（r）cosr（2）Y（t）的功率谱宓度为Sy=x（z-GT0）+S,v（fi+tv）4证明：（I）先证丫是平衡过程=mx；CoSta7“+)d=0(常数；.Y(t)=X(t)cos(0“t+)是平稔随机过程，HRy(r)=(r)cosz1.1.r(2)S(j)=Fe,(r)J=H:Rx(r)ear+e%/2=35.、.（。-。）+5,1.（。+0）|（利用Fcurier变换的性质）429：如以下图所示系统中，假设输入的平稳过程，输出
20、为Y(t)=X(t)+X(t-v),试求Ya)的谱功率为Sy(M=2S(mX1.+cos)解；R(f,t+)EY(f)Y(r+r)=E(X(t)+X(f-T)(X(t+r)+X(t+-T)=2Sx()+S(f)e,+Sx(t)eia=2Sx(gt)I+cost(利用FOUrier变换的性而)30：设平枪过程为其中“是常数是在（0.2x）均匀分布的施机变玳Q是具有分布密度幻为偶函数的随机变量.且与。相互独立,试证X。)的功率谱密度为：S,v(G7)=j()证明：根据相关函数的定义有：31：假设二个随机过程Xa)=A(F)COSfiJT,Y(t)=（三）si110F.-+其中A(t)和8，是相互独
21、立数字期望为零的平稳过程,且有相同的自相应函数.iAi：Z(t)=X)+Y(t)是平稳过程，而X(t)和汽，)都不是平稳过程证明：；Ex0)=E4(r)cosrorJ=EA(t)wsart=0v(.r+r)=EIA(X)COSGffA+r)cos(/+r)j=CoSG1.rCOS(8+11jC1(r)与1有关，二X(r)不是平稳过程同理可证Y(f)也不是平稔过程.理证Z(J)=X(r)+Y(f)是平秘过程。因为mi(t)=EZa)=X(I)+y(t)EX(D+EY(t)=0(常数)=EX(t)X(t+r)+EX()Y(t+r)+EY(I)X(t+r)+EY(t)Y(f+r)=R(T)costc
22、os(-r+研)+RB(T)Sin，WSin(x+)=f.t(rXcosyr=1()cos(与,无关)：.z(/)=x()+r(t)是平稔的机过程.32 .设平稔过程X(J)和丫。)是平稳相关的，试证：证明：.Ry(r)=%(-r)Sxr(0)=Rxyr)e-i*,d=w(-r)n(rJrRJSxr(y)=RJStX(w)1.，n1.Sxr(y)J=1.(y)33 .设Xa)和丫是两个不相关的平稳过程，数字期里分别为6,即都不为零，定义Z()=X（三）+Y(t).试求互谱密度Sx()和5,z().解：Rxy(T)=7(f)y(/+r)=EX(I)EY(t+r)=mxntrSxr(Qf)=F(n
23、.(r)=F1.nt*my1=mxmvF=2nS()mxmr向Rxz(r)=fzX(t)Y!+r)=EX(X(+r)+Y(t+r)J=/?t(r)+Rx(r)5xz(y)=Hw(r)=F1.x(r)+Jv(r)J=FRx()+FRxr(r)=Sx(y)+2zJ(JX-n,34 .设复随机过程X)是平稳的,试证：(I)自相关函数满足用不石=R*6)。(2) X)的谙功率是实函数,证明：.Rx(-D=EXU)X(t-r)，70=EX(t)X(t-r)=EX(t)X(t-r)=EX(t-r)X(O=RX(T)(1)式成立.又YSx()=FRx()=Rx(r)e,r=J二T1.dr=匚RX(-r)e1
24、.n,rdr=1二RX(v)e,adv=Sx()即Sx()=Sx(M$*(。)地实函数.35 .如果一个均值为零的平稳过程X)(-/)输入到脉冲响应为(UX)的税性谑波器，试证明它的输出功率i善密度为解：根据平稳过程的输入诺密度和输出谐密度之间的关系有其中H(i)=j,h(t)e,a,c1.=J：aeedt=aeat,m(It=e,*r,1a=-eae-w1-Jt1.i+aui+a=-ateu,(cosT-rsinvT)-Ia+(w=-gcosvT-I)-e7/sin)2+cos2t=-+-cos2t232Rr(r)=J；1-4-r)r(4)()Jz1J,=g+os2(-4-r)a2eaedy
25、(1.i=J-aeaidydz+,cos2(-i-)a2eaiedydzO(I32QQ=-cos2-(-r)e1.dyd=-华”(当rO时)由于号(r)为假函数.故对任意的r有Way2:采用领域法求解,.Sx(tw)=Hx(r)=1.-+：cos2t=-F1.+Fcos2t3232=-24(y)+-11()Ai(o=+(y2乃)+6（八）+2-)1.11as11ac,.11a_、=-；T)+(-2)+-r6(+*2+a-.Ry(r)=F,Sr()J=y-s()e,n,rd211a2-,C,叫+_2_1._1.1.3221.o21+M2ft+?j2,I,11+(-TTCOS324r+as24k+
26、6-2r211=-+:324112+acos2r38.在如以下图所示的R-1.电路系统中,给人电乐是谐密度为.的噪声X).试同颇率分析法求系统的输出电压的自相关函数，解：由电路知识有输入电压和输出电压满足如下方程:R两边对t求导有：-yV)+yV)=t)取双边1.ap1.ace变换行：P1.R1.p,m2=三f.R(r)=V(r)；.Sx()=S0(M-R2+(M)39：没有一系统.如以下图所示,X(t)是输入.Z(I)是酚出.试求：(I)系统的传递函数：(2)当系统的输入是港密自噪度为SO的声时，SJi1.I1.Z(I)的均方解：该系统满足下面的方程两边对t求导有两对两边作双边拉普拉氏变换有
27、其中Z(P)、X(p)分别为Z(t)和X(t)的双边1.aPkKC变换结果1产系统的传递函数为“(P)=P求Z”)的均方值注祗/婀萼=%40：一个平衡过程X(I)通过一个微分分,其输出过程为y(j)=X(r).试求:(I)系统的频率响应函数；(2)输入X)与输出X”)的互谙密度,输出XD)的功率谱密度.解：(I)对W)=*s的两边作双边1.aPIaCe变换有:：.系统的频率响应函数为，(，3)=h(2)输入X)和珀出X()的互谱密度为输出X(r)的功率谱密度为41；某枳分电路输入和输出之间满足如下关系其中T为枳分时间.假设输入Xa)是一个平衡过程,试证明输出y(r)的功率谱密度为证明：对积分方程两边关于I求号有F)=X()-(r-T)两边两边作双边1.ap1.ace变换有：42：以下图是一个单输入,双帖出的线性系统求证谕出工和打的互谱密度为解；.Y1.()=fX(t-t)1.(u)dn：.Y1.(t)Y2(A-r)=K1()X(f-r-u)h2(u)d对上面两个等式的两边取期里有X(O)1+(RzC2+R1C1)p+R1R2C1C2P.传递函数(P)满足:36
