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1、第一套线性代数模拟试题解答一、填空每题4分，共24分）1、假设M“是五阶行列式中带正号的一攻，那么i=I,J=2令i=1.,j=2.r（1.2354）+11（3524）=1+3=4,取正号.2、假设将”阶行列式。的祗一个元素添上负号得到新行列式力，那么D-(-DgD即行列式。的每一行都彳r一个（-1）的公因子,所以方=（Ty7）3、设A=；）A2=；：）（；HUJ-GXHD-设A为5阶方阵，A=5,那么54=5用矩阵的行列式运算法那么可知：|5八|=5|4=5T.5,4为阶方阵,=E且AA,I=4Ar=A*=|=1A=1.nA=-1，Iftj:A+f=A+AA,I=AE+=A+f=-A+E=A
2、+E=O.,200,6、设三阶方阵4=0Xy可逆，那么M)，应满足条件3x62y.023Z200可逆，那么行列式不等于零：IN=0Xy=2(3x-2y)0=3xx2y.023二、单期&界题1每题4分，共24分）8、设阶行列式。“，眼么D=O的必要条件是D,A.。,中右两行(或列)元素对应成比例B-2中有一行(或列)元素全为零c.&中各列元素之和为零D.以&为系数行列式的齐次践性方程组有非零解9、对任意同阶方阵A3,以下说法正确的选项是C,A.(AB)ABtB.A+S=Aj+懈C.(AB)rBrAD.AB=BA10、设A.8为同阶UJ逆地阵，4WO为数，那么以卜命题中不正确的选项是_，A.(A,
3、y=AB.(A)=A,C.(ABy1=BA,D.()-,=(A1.)r由运算法那么，就有(7A)T=1.AAIK设A为阶方阵，且Iq=()那么V=A.aB.-C.n,D.anaw=-=同=A门AT1.=IA门A=.1210、12、矩陈3-102的秩为2,那么=1)通过初等变换，出秩为2可得：3-11)2U-7-32=73s=1.89解：先按笫,行展开，再按第三行展开，有:00a2byb,a2b,瓦4a24=(1.4-11.)(24,-,),(1-)xi-Ix2+4x,=O15、问一取何值时,齐次规性方程组2+(3-)x,+.V3=O有非零解,x1.+x2+(I-)xs=0*齐次找件方程组有非零
4、解,屈么系数行列式为零:I-X16、设矩阵A=230-34-(1.-)j0I-A-1+2%=-(2-3)(2TNn%=0,4=2.4=3解：因为IA=2=-7.所以椰可逆，有Bz-A2(BA)=B2-A1AB=B2-AB=(B-A)B=17.解电阵方程AX+8=X,求X其中A-111.8=200-I5-3MAX+B=X=(A-E)X=-B=X=-(A-EB.0-2/3-1/3=(A-EY1=I-2/3-1/3=J)1/3-1/3；3-X=-(A-E)1B=20。J-1.520018、设A=2100,利用分块矩阵计算A.001-2=AT=、00I1.-25A=AC1/3-1/32/3V3J四、证
5、明题(每题5分，共10分)19、设阶方阵A满足(人+=0.证明电阵A可逆，并写出A逆矩阵的表达式.证明：因为(A+E)=a3+3A2+3A+E=OnA(A2+3A+3E)=-E.从而A(-V-3A-3E)=-=A,=-A2-3A-3E.20,假设矩阵A=-A,那么称矩阵A为反对称矩阵，证明奇数阶反对称矩阵一定不是酒秩矩阵。证明,设A为”阶反而称矩阵.”为奇数,那么A=-Ar=-A,=(-1.)rtj=-4=4=0,所以A不可逆.即A不是满铁矩阵。第二套线性代数模拟试题解答一、填空J题每4分，共24分）1、 A为3附方阵，用=-2,是A的伴随矩阵，那么4A+=I因为；A=AA-2A=pA,+A,
6、=4A,-2A=21.=841=-I.,IO2、2、 A为5X3矩阵.秩（A3.4=O2O,那么秩（/VO=3.、00%因为8可逆，AB相当于对人作列初等变换，不改变人的秩，3、%,%自MM均为4为列向量,A=WhBxg5=（多，综用，=I.=4,那么A+6=IO+B=(1.+a,.21.,2/7,.27,)=+=(1+a2,2i,22,2j=8Ia1.+a”综A、夕J=8(M%闻+%4闵)=8(1+4)=404. a=2.=3.且a7=4,那么r=A.a,=(21)3=/+6+2=4=/=-4.25、如果无非齐次线性方程组凡X=B有解.R（八）=r.那么当时有唯解:当AiARCA=A,EA=
7、BCA=E.I2I0、9、矩阵3-102的秩为2.那么J=I)、-It-2-2,A. 3B.4C.5D.6fI21O1,J1.210通过初等变换，由秩为2可得：3-10210-7-32.IJ-I2-21IOf-600,10、线设方阵Ai不可逆.那么人的列向量中A.必布一个向奴为零向敏B.必有二个向配对应分M成比例C.必行个向量是其余向量的畿性组合D任列向信是其余列向量的线性祖方阵不可逆，那么4的列向盘线性相关，,由定义可得。Ik假设r维向坦组.?g线性相关.a为任一r维向量那么_A_.A.?%,。线性相关B.%y,a戏性无关C.ia线性相关性不定D.?中一定有零向量由相关知识可知，个数少的向奴
8、组相关，那么个数多的向1组一定相关.12、假设矩阵4”有一个3阶子式为0,那么C.A.秩A42B.秩AW3C.秩（八）W4D.秩（八）W5由矩阵秩的性植可知：（A1.xs）min4.5,而有一个3阶子式为0,不排除4阶子式不为0。三、计*每7分，共42分）13、计算行列式I1.I+abaI+ab1+abIab14、设A=AYB=C.求矩阵丫.R=U00000I02ad1.+c0I223=(1.+c)+ad=abcd+ab+cd+ud+1IV1.2op0解，Y=CB=1-I3II1.JI=-11。-3-2,1I-15,三阶方阵A=OI1,且a2-A6=E.计算矩阵ZrOO-IIA1.=TA可逆,
9、ab=a2-e=B=A-A16、求矩阵解r322-I1OR（八）=3,2-IO-1-8)03-4-7I1.-2133I1.O城高阶非零子式是同外,蜀.2x1+X,-x1.+x4=I17、写出方程组X1+22+x,-4=2的通解.V1+x2+2x+.0=318、R中的向Jft组外线性无关，向收组=-Ra?也=?+,=4+A线性相关，求人值。4e+2A,+5=4(区-ka,)+(,+j)+j(+1.)=(4+A1)-kI04=0,因为b1.,“也相关，所以4,4.%有非等斛,故系数行列式=0,得=1。4+ky=0由即a?.由线性无关,得广禁+&=()4+4=o四、证明J(每J6分，共10分)19、
10、设A8为阶方阵，假设4?=0,那么秩（八）+秩(8).证明.因为雄性方程组Ar=0,当秩A=，时，根底价系为-r个，由AB=A(bt,b2.=(Abt,Ab2,.Aif,)=0那么有八/0(y-1.,2,.H),即B的列均为Ar=O的解.这些列的极大城性无关组的向量个数W，-r,即秩(8)-r,从而秩（八）+秩n.20、如果线性相关,但其中任意3个向量都线性无关,证明必存在一组金不为零的零Z,勺生,使得Ka1.+k2a2+kfa,+ktat=0。任明，因为4线性相关,所以存在一组“不全为零”的数4使得k1.a1.+k2ai+kyai+kta4三0,如果，=0,那么=且由于右，玲，一不全为零所以
11、%丹,%线性无关，与题设矛盾，所以勺工0；同理,可证明k20.k30.40.第三套线性代数模拟试题解答一、填空JB(每4分，共24分)I231、三阶行列式。=456.A表示它的元素明的代数余子式,那么与7894+应+cA2a对应的三阶行列式为由行列式按行按列展开定理可得.2、48均为”阶方阵，M=同=3,那么出于:1a11=(i11A=(r.3、(30、03j,那么(A-2E)=-1/21/20。由于rI001.0rI00I20、001-2000、1/201,0I.4、向量组=(1.2,3).%=(-2,1.)q=(2.0.5)线性无一关5、设6阶方阵A的秩为5,a.万是非齐次线性方程组At=
12、6的两个不相等的解，那么Av=ft的通解为X=M-a)+,由于R（八）=5,所以Ar=O的根底解系只含一个向量:夕一,故有上通解.二、单项选界J（每J84分，共24分）A.APiP2=BB. APiPi=BC-PiPiA=BD.PyPiA=B对A作行变换,先作6,将第一行加到第三行上，再作交换一二行.8、“元齐次线性方程组AX=O有非零解的充分必要条件是，A.R(,A)nB.K（八）11齐次战性方程殂AX=0有非零解的定理。9、，X“矩阵4的秩为-1,1.4是齐次雄性方程组AX=O的两个不同的解.在为任意常数.那么方程组AX=O的通解为C.A.ka1.B.ka,C.k(at+a2)D.k(ai
13、-a2)根底解系只含一个耨向量,但必须不等于零.只有D可保证不等于零.10、矩阵A与8相似,那么以下说法不正确的选项是A.秩)=秋(8)B.A-HC.!=D.人与8有相同的特征值相似不是相等.IK假设阶方阵A的两个不同的特征值4.4所对应的特征向盘分别是芭和士,那么旦。A,司和七线性相关B.XMIX2战性无关C.司和X2正交D-司和.0的内积等于零特征值,特征向量的定理保证.12、阶方阵A具有“个线性无关的特征向里是/1与对角矩阵相似的C条件。A.充分条件B.必要条件C,充分必要条件D.既不充分也不必要矩阵A与对角矩阵相似的充分必要定理保证,三、计算题（每i三7分，共42分）13、设A与3均为
14、3阶方阵,E为3阶舱位矩阵，B+E=A2+B,且2O-1、A=O2O；求8IOIM：因为八8+=八2+8=(A-E)B(A-E)(A+E)A-E2-1OO-12-1OOI-,-E=,A-E可所以H=A+E=x1.t22*k14、4满足什么条件时,方程组，七+2%+6=#2有唯一耕,无解,有无穷多解？2+xik2Xy02k1O0(t-2Xi+3)(t+3)当火工2且火=-3时，方程组有惟一解.当A=2时方程组无解.当Jt(*+3)=O时方程组r（八）=/?),当k=0时I3这时方程组只有零解.这时方程组仃无穷多解,15.向一向4=(132,0)1%=(7,0,14,3),%=(2,T0,1.),
15、4=(5,6,2)6.=(2,-1,4”,计算该向量级的秩，(2)写出一个极大无关组，并将其余向吊用该极大无关组线性表示.Mtf(1.a,.ava4,a,)=3.囚.4.,为一个极大无关纵a,=%+：.fO1OIOO16、设矩阵A=CCOOy,001-3I扁如:0000、的一个特征值为3,求)“2;000、0=8(2-y)=0,=v=2.y-31I-1-117、计算矩阵-4I1030的特征侑与特征向设,-A-E=-402t-1t42=O4-1-12402+Z2+/=(1.2-3r)-(2+r)2=2(2+)(1.-)0解不等式：4-r20(2+-r)0=三-2t=(+Z)A=4(z1.+,+zj)=Azi+Aa2+Aa,=x,ii-i12*402-所以得：特征值4=&=1,解方程组(A-E)X=0,只得一个时应特征向增为：(-1,-2,1)14=2,解方程组(A-2E)X=O,可得特征向域为(OOI)1.18.当，为何(ft时,/(x1.2.xj)-X；+4.tj+4,+21.v2-2.vx3+4x,xj为正定二次型？
