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1、2023年上海市15区中有数学一模汇专题O1.向量的线性运算（34题）一.逸邦JI（共12小题）1 .（2022秋金山区校级期末）已知；=3总下列说法中不正确的是（）A. a-3b=0B.；与方向相同C. a/bD.aI=3bI【分析】根据已知条件可知：；与芯的方向相同，其模是3倍关系.【解答】解：A、由；=3%知；-3石=另，原说法不正确，符合题感：8、由Z=3E知：；与石的方向相同，原说法正确，不符令快意：c由；=3%知：；与E的方向相同，则Z/K原说法正确，不符合感由D. ha=3:1.a1.=3W.原说法正确,不符合遨意.放选：八.【点评】本曲主要考杳了平面向量，注意:平面向度既有方向
2、,又有大小.2 .（2022秋徐汇区期末下列命题正输的个数是设K是一个实数，；足向埴,那么/与；相乘的积是一个向愤；如果人/0,a0那么k；的模足网W：如果K=O,或a=0,那么ka=O;如果K（）.k；的方向与Z的方向相反.A.1个B.2个C.3个D.4个t分析】由平面向录的性质,即可判断.【解答】解：设&是一个实数,；是向曜，那么与；相乘的枳是一个向量，正确，故符合题意:如果JtWO,a0.那么k!的模足网七,正确,故符合也强：如果K=O,或Z=.那么故不符合即意：如果&0,k：的方向与Z的方向相同,故不符合即意.因此正确的有2个.故选：B.【点评】本即考者平面向地，关键是掌握.平面向量的
3、性质.3 .(2022秋徐汇区期末已知Z和E都是单位向盘，下列结论中.正确的是()A.a=bB.a=bC.a=1.D.a-b=0【分析】根据平面向吊:模的定义、相等向量的定义以及向录加减运笄法则即可求出答案.【解答】裤：A、由咫造可知百=IEI=1.故A符合超造.b、ZIyB方向不一定相同，故H不符合国意.C、；是带有方向和数玳的，故C不符合题意.。、；-E仍然是向蹊，故。不符合SS意.故选：A.【点评】本必考查平面向At解时的关犍是正确理解平面向量模的定义、相等向量的定义以及向Ift加履运驾法则.本跑属于基础融型.4 .(2022秋黄浦区校级期末)已知Z=2E,下列说法中不正确的是)A.a-
4、2b=0B.；与七方向相同C.a7bD.I-S=ZIW【分析】根据平面向地的性质进行一一判断.【解答】解；A、由；=2日倒：a-2b=0,故本选项说法不正确.8、由Z=2K知，；马石方向相同，故本选项说法正确.Ct1.a=2b.Z与E方向相同，则ZE，故本选项说法正确.。、由；=2E知,T=2U.故本选项说法正确.故选：A.【点评】本即考查平面向髭，解区的关键是熟练掌握基本知识，M于中考常考即型.5 .(2022秋闵行区期末下列命处中，正确的是()a.如果&为单位向量，那么a=1.a1.eB,如果；、E都是单位向量，那么；=Ec.如果二=-E,那么；ED.如果讨=山.那么;=E【分析】根据平面
5、向做的定义、共线向球的定义以及平面向后的模的定义迸行分析判断.【解答】解：八、如果彳为单位向球，且彳与W方向相同时，那么；=ZW,故本选项不符合题总.以如果Z、E都是单位向量且方向相同,圉么；=E.故本选项不符合题意.c、如果Z=-E则向量Z与-E的大小相等、方向相反，那么;E故本选项符合题意./）、若讶=山,居么;与五Tj模相等,但地方向不一定相等，即;=E不一定成立，故本选项不符合的意.故选：C.【点评】本题主要考查了平面向量的知识,注怠平面向量既有大小,又有方向，属于易错题.6 .（2022秋静安区期末如果非零向量；、E互为相反向S1.那么下列结论中描误的是）A.a7bB.a=bC.a+
6、b=0D.a=-b【分析】非零向量；、E互为相反向盘.则IE零向量；、E大小相等，方向相反.【解答】解：.非零向此Z、E互为相反向量，aZ【分析】运用实数的运算法的解答即可.【解答】解：-（-3a+b-b=2b-b=-2a-故答案为：-2a.【点评】本即主要苦杏了平面向反的知识，实数的运算法则同样能适用于平面向辰的计算过程中,14. （2022秋吉浦区校级期末）计算：3-2=_a_.分析1实数的运分法则同样适用于该胚!.【解答】解：3-21-3b）=3a-3b-2a+3b=3-2）a+-3+3）b=a故答案是：a.【点过】考查了平面向早:.熟练掌握平面向玻的加法结合律即可解题,属于基础计算膻.
7、15. （2022秋黄浦区期末）计算：3-（3a+2b=U.E一.【分析】运用乘法分配律进行计算.【解答】解：32a-b)-(3a+2b)=6a-3b-3a-2b故答案为：3a-5b【点评】本跑主要考杳了平面向不，实效的运算法则同样能适应于平面向M的计算过程中，MF基础SS.16. (2022秋青浦区校级期末)许算：3a+2b)-2(a-b)=_a8b_,【分析】乘法结合律也同样应用,平面向业的计算.【解答】解：原式=3a+Gb-2a+2b）=a+8b故答案是：a+8b【点评】本题主要考连了平面向木，主于考醐了,实数的运算法则同样应用于平面向量的计算.17. （2022秋徐发区期末）如图，在梯
8、形ABa）中，ADBC.EF是梯形ABCC的中位线，A”。分别h-，【分析】由悌形中位线定理蹲到EF：若G，结合梯形的性质,平行四边形的判定与性质求窗G尸的长若AD=a.BC=b.则用a、b衣示EG=度，利用平面向歆底示即可.【解答】解：；在悌形ABa）中，A08C，I）HC.AH/CD,.四边形A，CD是平行四边形.,.AD=HC.又EF是梯形A8CC的中位线,.EF=C,且GF=AC.23尸9=心理M区辿2BC=b.而=号.【点讨】考查了平面向J和梯形中位线定理,注意：向量既有大小又有方向.18. （2022我嘉定区校级期末）如果向量;、b.飞甫足关系式;-G-2E）=E,那么7=_品芯_
9、t,小向fitBE=b-a【分析】首先由。8。得到八八。6448。由耗=：.无=%,即可求得前，由相似三角形的对应边成比例,即可得到而,DE:即可求得Ei【解答】解：.AO=2,AB=5.DE/BC.ADEAC.ADDE2AB=bC05,BD=BA.DE=-BCVAB=a.AC=b.,BDBC=BA+AC-a+b.5E4(-1.b)-Q232*BE=BD+DE=-ya-(-a+b)=a-a故答案为：-I【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及向量:的意义与运算.此题难度一-般，制电时要注意数形结合思想的应用.2().(2022狄金山区校级期末)如图.8从A/)分别是ZkA8C的两条中线.
10、设的=2工,BD=b加么向Ift前川向量；.E表示为_2b-3a_.【分析】根据8E、4。分别是ZSA8C的两条中线得出8C=28Z),BE=菅BO再根据平面向此的减法运算法则即可求解.【话答】解：.8E,八。分别是&?C的两条中线，VB0=2aBD=b.BC=2bBE=3a/.K=BC-BE=2b-3a.故答案为：2b-3a【点评】本胚!考查了：.知形弟心的性质，平面向收的的减法运律法则，熟练掌握三角形羽心的性质，平面向St的的犍法运霓法则是解他的关健.21 .（2022秋黄浦区校级期末）如图.在梯形ABe力中，AD/RC.BC=2AD.设向仄瓦=；.AD=b用向砒a、b丧示AC为_a+2b
11、_.（分析】根据梯形的性质和三角形法则解答【解答】?:如图，在梯形ABC。中，.FO8C,BC=2AD,AD=bBC=2AD=2b.AC=AB-BC=a+2b.故答案是：a2b.【点评】此时考杏/平面向Iit的知识以及梯形的性舫.注意利用图形求解是关健.22 .（2022秋徐汇区校级期末如胤点G足AABC的重心,OE过点G且平行于BC,点D,E分别在【分析】先根据三地形重心的性质（用心到顶点的用肉与重心到对边中点的距周之比为2：1）,求得前与前的数量关系.然后再根据前一次-标,可得正、标的数壮关系.【解答】解：连接AG并延长AG交Be千点F.-DE/BC.,.AG：AF=DE:BG又；点G是A
12、ABC的杀心，：.AG：AF=2:3.：.DE-BC=2：3；即前：BC=2：3：VBC=AC-AB.故答案为：-b-a.【点国】本题主要考杳了三角形的重心、平面向量,在解答此题时要注意两点：三角形的重心的性质:31心到顶点的距离与流心到对边中点的距离之比为2：1,即AG：GF=2：I,而不是AG：AF=2：I：平面向吊是有方向的.23 .（2022秋徐汇区期末）如图，在八8C中，B=C.AD1.BC.iftAB=a.BC=1.那么【分析】由在ZSABC中,AB=AC.AD1.ffG根据三线合一的性质可得：三=BC=-b.然后由:角22形法则，求得答案.【解答】裤：Y在ZiA8C中,AB=4C
13、.AO1.BC.BD=-jBC=bVAB=a.故答案为:点评此题考杳了平面向收的知识以及等胭三角形的性质.此咫难度适中，注意掌握三角形法则的应用.三.解答Ji（共11小JB）24 .（2022秋青浦区校级期末）如图,在平行四边形A8CD中.E为DC卜一点.AEfcjQ交于点F.DE：EC=I:2.（1】求8用。尸的值:（2）如果AD=Z,g=b试用a、b衣示向俄DF【分析】（1）由平行四边形的性质得OC7AB,从而他FS）凡利用相似三角形的性质得比例式.从而解得8GDFz2）先求出8尸=擀BD,再利用向业的加法可得答案.解答解：（1Y四边形八8C。是平行四边形，：.DC/AB.DC=RB,.A
14、BFEDF.BFABDF3DEVDE：EC=I:2,：.DC：DE=3:1.：.AB-.DE=3:I.：.Bh：DF=1：YBF：DF=3：I.：.DF=-BD.4VBD=AD-AB.BD=a-b.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性旗及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解咫的关键.25.(2022枚静安区期末如图,已知在(,中.点ZXE分别在边八8、AC上，I1.BD=2AD.求证:DE/BCz【分析】(D由平行跷分线段成比例迸行证明:b表示向3AC(2由三角形法则求得EC然后由AE与EC的比例关系求后向*AC【解答】(1)证明：HD=2AD.AE=-EC.2.ADAE1A
15、BAC32)VBE=a.BC=b.EC=BC-BE=b-a【点评】本题主要考杳了平面向量,掌握平行线的判定,三角形法则即可髀管该题，属于基础赠.26.(2022秋稼汇区校级期末如图，在AAHC中，ZBCD=ZA,AD=5,DB=4.)求8C的长:若设既=；.CB=b试用；、E的税性组合表示向版而.t分析】(1)由N3d=NA,公共角NC8O=NA8C.可证出Z80)sAMC再利用相似三角形的性质可求出BC的长.由A。：BD=5：4,可得通=最结合而=UA+而，即可求出结论.【解答】解：(1：ZBCD=ZA.NC8D=ABC.：.ABCDS&BNC,.氏=也raJ1.=A.BABC4+5BC.8
16、C=6或OC=-6（不符合电意，舍去,.8C的长为6：=Zq（-a+b）=-a+b(.,if本题考查了相似一：丽形的判定与性质以及平面向fit.解JS的关犍是：(I)利用相似一:角形的判定定理,证出48C0S而a(2)根据各向境之间的关系,用a、b的战性组合去示出向;*CD27. (2022秋仔浦区校级期末如图，已知AAHC中，DE/RC.4D=3.DR=6,4C=8.设BA=a，BC=b.清直接写出向量51瓦关于；、E的分解式.ra=_yb_：AE=_-1；亭_.(2)连接企图中作出向什瓦分别在；、E方向上的分向量.【可以不”作法,但必须写出结论】t分析】（1）过点A作8。的平行线.过点C作
17、BA的平行线.两出城相交于点立ftniAF=BC=b.AB=-BA=-a进而得出近=屈+赤=-；+K通过证明aA8CszADE,根据相似三角形对应边成比例即可进行解答：（2连接8E,过点E作A8的平行线，交BCF点G，即可进行解答.【解答】解：（1）过点A作BC的平行战，过点C作8人的平行规，两H戌相交于点F，：AF/BC,CFB.四边形A8CF为平行四边形，.AF=BC.BA=aBC=bAF=BC=bAB=-BA=-a，AC=AB+AF=-a+b.JDEBC,：.ZADE=ZB.NAED=NC.ABCAE,.ADDEJiE3_3_1,1.1.1.r.pJ.pr-TbTcTTT,ijde=3b
18、cae=3ac,M=BC=bAE=-AC=-(-a+b)=-yabSSO*5*5O故答案为：b/a*b(2)如图所示，向量丽分别在！、E方向上的分向量为瓦、BG.t点评】此题考IS了向最、向M的平行四边形法则和三角形法则、相似三角形的判定和性质等知识,数形结合是解即的关U1.28. （2022我闵行区期末）如图,已知ZABC中，点。、E分别在边八8和AC上，/）斤BC且/）经过48C的重.心，设标=：,AC=b求作：a+b.【分析】（I）根据三角形的双心的性质，平面向冰的三角形法则即可求解:根据平面向量的三角形法则作图即可.【解答】解：（1）；“经过44BC的重心，OEBC.DEAE2BCAC
19、3VBC=-a+b.DE=-1.b.故答案为：-a+b;33如图所示rbV-xc【点评】本遨考查了平面向fit,三角形的重心,作图-更杂作图,关犍是熟练掌握三角形的重心的性筋.平面向量的三角形法则.29. （2022秋黄浦区校段期末如图，在平行四边形A8C。中，对角戏八C、，。相交于点O.点在边8C上，AE与8C相交于点G,AG：GE=3：I.1）求EG8C的值：设标=：.而=E那么箴=二a二义b_（用向量a、b表小：,BEC【分析】1）根据平行四边形的性质，平行城分城段成比例定现即可解决问题;利用三角形法则计算即可：【解答】解；（1Y四边形A8C。是平行四边形，.ADBC.AD=BC.AD-
20、AGBEGE.BjBE：.EC：BC=2t3.VA0=b.AC=2AO,.AC=2b.EC=EaWb.:AD*BE,.BG_EG_1三三三GDAG3,.BG=-UD.4BD=BA+AD=BA+BC=a+a+2b=2a+2b,BG=-(2a2b=-a+-b.故答案为a+b,33【点得】本题考杳平行四边形的性随，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，制烟的关键是熟练掌握范本知识，思于中考常考典型.30.2022秋浦东新区校段期末如图，己知平行四边形八8C。，点M、N是边。C、8C的中点，设H=aAD=b求向量而（用向量；、E表示）：2在图中求作向fiAB.正方向上的分向Ij1.不要求写作法.但要
21、指出所作图中表示结论的向豉.【分析】（1）由四边形458是平行四边形,可得而.又由点、N是边DC、BC的中点,根据三角形中位域的性质.即可求得向量而：42）首先平移向量而1然后利用平行四边形法则，即可求得答案.【解答】(1.VAB=a.AD=b.DB=AB-AD=a-b,.点”、N分别为/NBC的中点,IN=yDB=ya-b:2作图；结论：AP.而是向限而分别在标、疝方向上的分向量.【熏评】此阳考杳了平面向冰的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位践的性质.注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此册的关键.31.（2022秋浦东新区期末如图.在ZUHC中，BE平分NABC.DE/BC.A
22、D=3,ZJE=2.求A：ACMffi：设无=；,C=b求向收瓦（用向染；、E发示）.分析1由BE平分乙mCDE/BC可行NABE=NDE8,BD=DE=2,故器=熊=|，即八后八。的值是g：Db故BE=BA+AE.,BE平分/ABC.：.NABE=NeBE.：DE/BC.：.NDEB=NCBE.ZBE=NDEB,：.BD=DE=2,VAD=3.：.AB=AD+HD=3+2=5.VDEC.AE_AD_3,-,ACAB5*EAC的值是卷2)(1)1.E=C.VAC=AB*BC.33;BE=BA+AE=-a*a*b=Ya*bOOOO点评】本题考杳平行规分线段成比例，等腰三角形判定，向俄和差等知识，
23、解题的关键是熟练掌握建本知识,属于中考常考遨型.32.（2022狄徐汇区期末）如图.在平行四边形A/K7）中，点月在边成上，BE=2CE,AC、/）E相交于点F.1）求。用F的值:（2）如果屈=；AD=b试用;、E表示向量而.【分析】利用三角形相似的叉定和性质即可解决问题;利用三角形法则即可解决问鹿.【解答】解：（1；四边形A8C。是平行四边形,.,.AD=BC.DRC.：.4ADFS4CEF,.AD_DF，ECEFVBE=2CE.AD=BC=3CE.如H3；BFECIt1.(1)1.DFi2=3.EF=DE.EF=4dE4；BE=2CE,.BE=-BC.,.BE=-BC=b.AB=aAD=b
24、【点过】本甥考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质,平面向廿等知识，翎题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考典型.33.(2022秋杨浦区期末如图，在梯形A8C。中，AD/BC,BC=2AD,对角践AC、8C相交于点O,设而=：,AB=b试用；、&勺式子表示向网丽.分析根据平面向依定埋即可我示.【解答】解：AD/BC.IiC=IAD.C1,43=1-2=WADBC1-3=AoocOA-ACVAD=I.AB=b史与而同向,VAC=ABBC=b2a.AO=ba.33【点评】本SS考杳了梯形、平面向累定理，解决本SS的关键是掌握三角形法则.34. （2022秋黄浦区期末）已知：如图，平行四边
25、形A8C7）中，点M、分别在边。C、BCk,对角线8。分别交AM、AN于点E、F.O.DEzEF：BF=I:2：I.1求证：MNW）：设m=；,菽=E.请直接写出前关于;、E的分解式.【分析】1由平行四边形的性质可得，DMiMBBN/AD.BCD.D=BC,所以DEMsAbEA,BFNs&DFA,W1.DE：BE=DN:B=1.:3.BN：AD=BIiDF=I:3,所以OW：DC=BNiBC=I：3,由平行规分畿段成比例可得玷论:三三三三三三O（2） 由向ht的基可知，MN=AH-AN=a-b.易得MMBD=CMtDC=2：3,所以8O=MM由此可得结论.【解答】（I）证明：在平行四边形A友力中，.DfAB.RN/AD.AB=CD-AD=BC.：.ADEMS&BEA.ABFNs&DFA,：.DE：BE=DM：AB=h3.BN：AD=BFtDF=I：3.DW:DC=BN:BC=I:3.：.MNBD；V:VTS-a.AN=b.MN-AH-AN=a-b.Ihi）知，MNBD,DW：DC=BNtBC=I:3.,.M.V:BD=CM;DC=2：3,3：BD=WMN2-*QQQ-.BD=N=手争t点评】本胭上要考杳相似：.用形的性质与判定，平行践分线段成比例，平面向量的计算等相关知识,熟练掌握相关知识是解题关谊.
