集合知识点总结与习题集.doc

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1、集合一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y(3) 元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3元素与集合的关系（不）属于关系（1）集合用大写的拉丁字母A、B、C表示元素用小写的拉丁字母a、b、c表示（2）若a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作aA;若不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作aA;4.集合的表示方法：列举法与描述法。（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法格式： a,b,c,d 适用：一般元素较少的有限集

2、合用列举法表示（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。格式：x|x满足的条件例如：xR| x-32 或x| x-32适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示u 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N=0,1,2,3，正整数集 N*或 N+ = 1,2,3，整数集Z ，-3，-2，-1，0,1,2,3，有理数集Q实数集R有时，集合还用语言描述法和Venn图法表示例如：语言描述法： 不是直角三角形的三角形Venn图:4、集合的分类：(1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集

3、合例：xR|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集定义：若对任意的xA，都有xB，则称集合A是集合B的子集，记为（或BA）注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。符号与的区别反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2“相等”关系：A=B 定义：如果AB 同时 BA 那么A=B实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”3.真子集:如果AB,且存在元素xB,但xA,那么就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)4.性质 任何一个集合是它本身的子集。AA如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同时 BA

4、那么A=B5. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB =x|xA，或xB)设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）SA记作，即CSA=韦恩图示SA性 质AA=A A=AB=BAABA

5、ABBABAB=AAA=AA=AAB=BAABABBABAB=B(CuA) (CuB) = Cu (AB)(CuA) (CuB) = Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= 第一章：集合与函数的概念第一课时：集合1.1集合的含义与表示1.1.1集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。元素a属于集合A，记做aA，反之，元素a不属于集合A，记做aA。1.1.2集合中的元素的特征：确定性：如世界上最高的山；互异性：由HAPPY的字母组成的集合H,A,

6、P,Y；无序性：如集合a、b、c和集合b、a、c是同一个集合。1.1.3集合的表示方法：列举法；描述法；Venn图；用数轴表示集合。常用数集及记法有非负整数集（即自然数集）正整数集整数集有理数集实数集NN+或N*ZQR1.1.4集合的分类：根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。本节精讲：一. 如何判断一些对象是否组成一个集合：判断一组对象能否组成集合，主要是要看这组对象是否是确定的，即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，如果这组对象是确定的，那么，这组对象就能够组成一个集合。例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能

7、否组成一个集合。（1）大于等于1，且小于等于100的所有整数；（2）方程x2=4的实数根；（3）平面内所有的直角三角形；（4）正方形的全体；（5）的近似值的全体；（6）平面集合中所有的难证明的题；（7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系中x轴上方的所有点。解：练习：考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由：（1） 平面直角坐标系内x轴上方的一些点；（2） 平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的园内的所有的点；（3） 一元二次方程x2+bx-1=0的根；（4） 平面内两边之和小于第三边的三角形（5） x2,x2+1,x2+2；（6） y=x,y=

8、x+1,y=ax2+bx+c(a0)；（7） 2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0；（8） 新华书店中意思的小说全体。二有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。例：集合A=y|y=x2+1,集合B=(x,y)| y=x2+1,(A、B中xR,yR)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（ ）A、2A，且2B B、（1,2）A，且（1,2）BC、2A，且（3,10）B D、（3,10）A，且2B解：C练习：3.1415Q； Q； 0 R+； 1（x,y）|y=2x-3； -8Z；三有关集合中元素的性质的问题：

9、集合中的元素有三个性质:分别是确定性互异性无序性例：集合A是由元素n2-n，n-1和1组成的，其中nZ，求n的取值X围。解：n是不等于1且不等于2的整数。练习:1. 已知集合M=a,a+d,a+2d,N=a,aq,aq2,a0,且M与N中的元素完全相同，求d和q的值。2. 已知集合A=x，,1,B=x2,x+y,0，若A=B，则x2009+y2010的值为，A=B= .3. (1)若-3a-3,2a-1,a2-4某数a的值； (2)若m,某数m的值。4.已知集合M=2，a,b,N=2a,2,b2，且M=N,求a,b的值。5.已知集合A=x|ax2+2x+1=0,aR，(1)若A中只有一个元素，

10、求a的值； (2)若A中至多有一个元素，求a的取值X围。四集合的表示法：三种表示方法练习；1. 用列举法表示下列集合。（1） 方程 x2+y2=2d的解集为； x-y=0（2）集合A=y|y=x2-1,|x|2,xZ用列举法表示为；（3）集合B=Z|xN用列举法表示为；（4）集合C=x|=+，a，b是非零实数用列举法表示为；2.用描述法表示下列集合。（1）大于2的整数a的集合；（2）使函数y=有意义的实数x的集合；（3）1、22、32、42、3.用Venn图法表示下列集合及他们之间的关系：（1）A=四边形，B=梯形，C=平行四边形，D=菱形，E=矩形,F=正方形；（2）某班共30人，其中15人

11、喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为，用Venn图表示为：。五有关集合的分类：六集合概念的综合问题：练习1. 若，则t的值为_；2. 设集合A=y|y=x2+ax+1，xR,B=(x,y)|y= x2+ax+1, xR ,试求当参数a=2时的集合A和B；3. 已知集合A=x|ax2-3x+2=0,aR,求（1）若集合A为空集，则a的取值X围；（2）若集合A中只有一个元素，求a的值，并写出集合A；（3）若集合A中至少有一个元素，则a的取值X围。1.1课后作业：1.判断下列各组对象能否组成集合：（1）不等式的整数解的全体；（2）我班中身高较高的同学

12、；（3）直线上所有的点；（4）不大于10且不小于1的奇数。2.用符号或填空：（1）2_ （2）_（3）0_（4）_ （5）0_（6）（7）（8）（9）3.写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是素数又是偶数的整数组成的集合（2）大于10而小于20的合数组成的集合4.用适当的方法表示：（1）(x1)20的解集；（2）方程组的解集；（3）方程3x2y10的解集；（4）不等式2x10的解集；（5）奇数集；（6）被5除余1的自然数组成的集合。5.集合1，a2中a的取值X围。1.2集合间的基本关系1.2.1子集：一般地，两个集合A和B，如果 集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这

13、两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记做AB（或BA）,读作“A包含于B”（或“B包含A”） 。如右图示。比如说，集合A=1、2、3，集合B=1、2、3、4、5，那么，集合A中的元素1、2、3都属于集合B，所以，集合A为集合B的子集，记做AB（或BA）。1.2.2集合相等：如果集合AB且BA时，集合A中的元素与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记做A=B。或AB。1.2.3真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集。记作：AB（或BA） 也可记作：（或）1.2.4空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做，并规定：空集是任何非空集合的子集（当然是真

14、子集）本节精讲：一 集合间的包含与相等的问题:对于集合相等，我们要从以下三个方面入手： 若集合AB且BA时，则A=B；反之，如果A=B，则集合AB且BA。这就给出了我们证明两个集合相等的方法，即欲要证明A=B，只需要证明AB和BA都成立就行了。 两个集合相等，则所含元素完全相同，与集合中元素的顺序无关。 要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看看两个集合中的元素是否完全相同；若是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。例：若集合，且满足，某数的取值X围.解：练习：1.已知，且，某数p、q所满足的条件. 2. 若，则（ ）. A. B. C. D. 3.

15、已知集合Px|x2x60与集合Qx|ax10，满足QP，求a的取值组成的集合A。二 有关子集以及子集个数的问题：例1：判定以下关系是否正确(2)1，2，33，2，1(4)00 （5）=0 （6）0解根据子集、真子集以及集合相等的概念知是正确的，后两个都是错误的说明：含元素0的集合非空例2：列举集合1，2，3的所有子集分析：子集中分别含1，2，3三个元素中的0、1、2或者3个解：含有0个元素的子集有：含有1个元素的子集有1，2，3；含有2个元素的子集有1，2，1，3，2，3；含有3个元素的子集有1，2，3共有子集8个例3：已知a、bAa、b、c、d,则满足条件集合A的个数为_分析：A中必含有元素

16、a，b，又A是a，b，c，d子集，所以满足条件的A有：a，b，a，b，c，a，b，d，a、b、c、d。解：共3个例4：设集合Ax|x54aa2，aR，By|y4b24b2，bR，则下列关系式中正确的是。 解：A例5：已知集合A2，4，6，8，9，B1，2，3，5，8，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C分析:逆向操作：A中元素减2得0，2，4，6，7，则C中元素必在其中；B中元素加2得3，4，5，7，10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7答:C4或7或4，7练习：A1个 B.2个 C.3个 D.4个是A8

17、个 B.7个 C.6个 D.5个4设I=0，1，2，3，4，5，A=0，1，3，5，B=0,则:0_A 0_B CIA_CIB5已知A=x|x=(2n1)， nZ，B=y|y=(4k1)，kZ，那么A与B的关系为6.已知集合A=1,3，a,B=1,a2-a+1,且AB，求a的值。7已知集合A=xR|x23x3=0，B=yB|y25y6=0，8已知集合A=x|x=a21，aN，B=x|x=b24b5，bN，求证：A=B。课后作业：A组1.写出集合1，2，3的所有子集，并指出哪些是它的真子集。2.下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若，则。其中正确的有（ ）A、

18、0个 B、1个 C、2个 D、3个3.设，则A，B的关系是_4.已知，某数的取值X围。5.已知集合,集合，若，则实数的值。6.设集合，若A是B的真子集，某数的取值X围。7.用适当的符号填空：_8.判断下列两个集合之间的关系：,是8的约数 _， _,是4与10的公倍数 _9.设集合，若，某数的值。10.下列选项中的M与P表示同一集合的是（ ）A、，B、，C、，D、，11.试写出满足条件的所有集合M12.写出满足条件的所有集合M13.已知，求14.已知集合,，若A=B，求的值。15.已知集合,，求满足AB的实数的取值X围。16.设集合,且BA，求的值。B组1.下列命题：空集没有子集；任何集合至少有

19、两个子集；空集是任何集合的真子集；若A，则其中正确的是（ ）A、0个 B、1个 C、2个 D、3个2.已知集合，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有（ ） A、13个 B、12个 C、11个 D、10个3.设集合，则（ ） A、M=N B、MN C、 D、NM4.已知集合,，且BA，则实数的取值X围是_。5.已知集合,若集合A有且仅有2个子集，则的取值是（ ） A、1 B、 C、0，1 D、，0，16.设，集合，则（ ） A、1 B、 C、2 D、7.已知,则_8.已知,则_9.已知集合,，若且BA，某数的值。10.如果数集中有3个元素，那么不能取哪些值？11.不等式组的解集为，试求及12

20、.已知集合, （1）、若，某数的取值X围。 （2）、若，求A的非空真子集的个数。1.3集合的基本运算1.3.1并集：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作AB,(读作“A并B”).即 AB=x|xA,或xB。如图1-3-1所示。例如，设A=4,5,6,8, B=3,5,7,8,求AB.解: AB=4,5,6,8 3,5,7,8=3,4,5,6,7,8UCUA再比如说，设集合A=x|-1x2,集合B=x|1x3，求AB.A解: AB=x|-1x2 x|1x3=x|-1x2，则AB等于()Ax|2x3 Bx|x1Cx|2x25设集合Ax|1x2，Bx|x

21、a，若AB，则a的取值X围是()Aa2 Ba2Ca1 D1a26(08某文)满足Ma1，a2，a3，a4，且Ma1，a2，a3a1，a2的集合M的个数是()A1 B2C3 D47(09全国理)设集合Ax|x3，B，则AB()AB(3,4)C(2,1) D(4，)8设P、Q为两个非空实数集合，定义集合PQx|xab，aP，bQ，若P0,1,2，Q1,1,6，则PQ中所有元素的和是()A9 B8C27 D269已知集合Ax|x2k1，kN*，Bx|xk3，kN，则AB等于()ABBACNDR10当xA时，若x1A，且x1A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集

22、”，若集合M0,1,3的孤星集为M，集合N0,3,4的孤星集为N，则MN()A0,1,3,4 B1,4C1,3 D0,3二、填空题11若集合A2,4，x，B2，x2，且AB2,4，x，则x_.12已知Ax|x2pxqx，Bx|(x1)2p(x1)qx1，当A2时，集合B_.13(胶州三中20092010高一期末)设Ax|x2px150，Bx|x2qxr0且AB2,3,5，AB3，则p_；q_；r_.三、解答题14已知Ax|axa3，Bx|x1或x5(1)若AB，求a的取值X围(2)若ABB，a的取值X围又如何？15设集合M1,2，m23m1，N1,3，若MN3，求m.16已知A1，x，1，B1

23、,1x(1)若AB1，1，求x.(2)若AB1，1，求AB.(3)若BA，求AB.当x时，AB1，117某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人？18已知集合Ax|3x70，Bx|x是不大于8的自然数，Cx|xa，a为常数，Dx|xa，a为常数(1)求AB；(2)若AC，求a的取值集合；(3)若ACx|x3，求a的取值集合；(4)若ADx|x2，求a的取值集合；(5)若BC，求a的取值集合；(6)若BD中含有元素2，求a的取值集合二 有关全集、补集、空集的问

24、题例1 判定以下关系是否正确；(2)1，2，33，2，1；(4)00例2 列举集合1，2，3的所有子集_ 例5 设集合Ax|x54aa2，aR，By|y4b24b2，bR，则下列关系式中正确的是 M与P的关系是 AMUPBMP例7 下列命题中正确的是 AU(UA)A例8已知集合A2，4，6，8，9，B1，2，3，5，8，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C例9设S1，2，3，4，且MxS|x25xp0，若SM1，4，则p_例10已知集合S2，3，a22a3，A|a1|，2，SAa3，求a的值则 AMNDM与N没有相同元素