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1、第二章习题习题2.1设随机过程X可以表示成：式中,是一个离散随机变量,它具有如下概率分布：P=0.5,P=0.5试求EX和。解：EX=P2+P习题2.2设一个随机过程X可以表示成：判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：为功率信号。习题2.3设有一信号可表示为：试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：它是能量信号。X的傅立叶变换为：则能量谱密度G=习题2.4X=,它是一个随机过程,其中和是相互统计独立的高斯随机变量,数学期望均为0,方差均为。试求：EX,E；X的概率分布密度；解：因为相互独立,所以。又因为,所以。故 因为服从高斯分布,的线性组
2、合,所以也服从高斯分布,其概率分布函数。习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：； ；解：根据功率谱密度P的性质：P,非负性；P=P ,偶函数。可以判断和满足功率谱密度的条件,不满足。习题2.6试求X=A的自相关函数,并根据其自相关函数求出其功率。解：R=EXX=功率P=R=习题2.7设和是两个统计独立的平稳随机过程,其自相关函数分别为。试求其乘积X=的自相关函数。解：=EXX=E=习题2.8设随机过程X=m,其中m是广义平稳随机过程,且其自相关函数为试画出自相关函数的曲线；试求出X的功率谱密度和功率P。解：-101其波形如图2-1所示。图2-1信号波形图因为广义平稳,所以其功率
3、谱密度。由图2-8可见,的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积,因此习题2.9设信号x的傅立叶变换为X =。试求此信号的自相关函数。解：x的能量谱密度为G=其自相关函数习题2.10已知噪声的自相关函数,k为常数。试求其功率谱密度函数和功率P；画出和的曲线。解：0和的曲线如图2-2所示。10图2-2习题2.11 已知一平稳随机过程X的自相关函数是以2为周期的周期性函数：试求X的功率谱密度并画出其曲线。解：详见例2-12习题2.12已知一信号x的双边功率谱密度为试求其平均功率。解：习题2.13设输入信号 ,将它加到由电阻R和电容C组成的高通滤波器见图2-3上,RC。试求其输出信号y的能量谱密度
4、。解：高通滤波器的系统函数为H=CR图2-3RC 高通滤波器输入信号的傅里叶变换为X=输出信号y的能量谱密度为习题2.14设有一周期信号x加于一个线性系统的输入端,得到的输出信号为y=式中,为常数。试求该线性系统的传输函数H.解：输出信号的傅里叶变换为Y=,所以H=Y/X=j习题2.15设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为的白噪声时,试求输出功率谱密度和自相关函数。解：参考例2-10习题2.16设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为的高斯白噪声时,试求LC图2-4LC低通滤波器(1) 输出噪声的自相关函数。输出噪声
5、的方差。解：LC低通滤波器的系统函数为H=输出过程的功率谱密度为对功率谱密度做傅立叶反变换,可得自相关函数为(2) 输出亦是高斯过程,因此习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声,当输入一个均值为0、双边功率谱密度为 的白噪声时,试求输出噪声的概率密度。解：高斯白噪声通过低通滤波器,输出信号仍然是高斯过程。由2.15题可知Ey=0 ,所以输出噪声的概率密度函数习题2.18设随机过程可表示成,式中是一个离散随变量,且,试求及。解：习题2.19设是一随机过程,若和是彼此独立且具有均值为 0、方差为的正态随机变量,试求：1、；2的一维分布密度函数；3和。解：1因为和是彼此独立的正态随机变量
6、,和是彼此互不相关,所以又;同理代入可得 2由=0； 又因为是高斯分布可得 令 习题2.20求乘积的自相关函数。已知与是统计独立的平稳随机过程,且它们的自相关函数分别为、。 解：因与是统计独立,故 习题2.21若随机过程,其中是宽平稳随机过程,且自相关函数为 是服从均匀分布的随机变量,它与彼此统计独立。1 证明是宽平稳的；2 绘出自相关函数的波形； 3 求功率谱密度及功率S 。解：1是宽平稳的为常数；只与有关：令所以只与有关,证毕。2波形略；而的波形为 可以对求两次导数,再利用付氏变换的性质求出的付氏变换。功率S：习题2.22已知噪声的自相关函数,a为常数： 求和S；解：因为 所以习题2.23
7、是一个平稳随机过程,它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间-1,1上,该自相关函数。试求的功率谱密度 。解：见第2. 4 题 因为 所以据付氏变换的性质可得而故习题2.24将一个均值为 0,功率谱密度为为的高斯白噪声加到一个中心角频率为、带宽为B的理想带通滤波器上,如图1 求滤波器输出噪声的自相关函数； 2 写出输出噪声的一维概率密度函数。解：1因为,故又由 付氏变换的性质 可得2；所以又因为输出噪声分布为高斯分布可得输出噪声分布函数为习题2.25设有RC低通滤波器,求当输入均值为 0,功率谱密度为的白噪声时,输出过程的功率谱密度和自相关函数。解： 因为所以习题2.26将均值为0,
8、功率谱密度为高斯白噪声加到低通滤波器的输入端,1 求输出噪声的自相关函数； 2 求输出噪声的方差。解：；习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形,它的每个脉冲的持续时为,脉冲幅度取的概率相等。现假设任一间隔内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关,且过程具有宽平稳性,试证：1 自相关函数2 功率谱密度。解：1当时,与无关,故=0当时,因脉冲幅度取的概率相等,所以在内,该波形取-1 -1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均为。（A） 波形取-1-1、11 时,在图示的一个间隔内,（B） 波形取-1 1、1 -1 时,在图示的一个间隔内,当时,故2,其中为时域波形的面积。所以。习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器,若输入过程,是平稳的,求与的互功率谱密度的表示式。提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对解：所以令习题2.29若是平稳随机过程,自相关函数为,试求它通过系统后的自相关函数及功率谱密度。解：习题2.30若通过题2.8的低通滤波器的随机过程是均值为 0,功率谱密度为的高斯白噪声,试求输出过程的一维概率密度函数。解：;又因为输出过程为高斯过程,所以其一维概率密度函数为
