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1、VS1.xHKtSNM空西W*W京昆育、夷角SRt1.*W5三f2：利用底霰孝生网肉包*9413：刎用型网用量成冬定理木彩先酒定库一、空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共而，邨么对任：一个空间向量p,存在*一的有年实数1.(x,y,z),使得p=xa+f*zc.我们杷%,c叫做空冏的一个息底，f1.b,C都叫做息向量.二、空网向量的正交分解1 .单位正文基底如果空间的一个基底中的三个县向量两两至在，且长度都是I,师么这个县底叫做单位正殳基底.常用H.J,A)表示.如果三个向量.b.c不共面，坏么对任你一个空间向量存4唯一的有序实效姐(x.%)使得p=.w+2我们把,b,c叫做空间的一个基
2、底，.,C都叫做向量.2 .向芝的正殳分解由空间向量基本定理可知.对空网任一向量a均可以分解为三个向量此0.球使得4=W+.炉T1.像这样把一个空间向骨分解为三个两两至五的向量,叫做把空同向骨进忏正义分解.三、空间向量北本定理的应用I.求异而直投的失角：cos=I1.f,2,证明共线(平行)、共而、垂直同匙：(1)对于空间任两个向量a、b(bO),aHb的充要条件是存在实效兀tta=zh.2)加果两个向a.b不共找.那么向量P与向量a.b具面的充要条件是存在唯一的有年实效对(x.).使P=Xa+yb.(3)若a、b是非零向量，ia1bA.1G-bB.h+G-bC.ca+b、/0.422，a+b
3、a-b1-3.2024裔一下湖南,期末给出下列命题:若0,Z,c可以作为空间的-祖基，dc共线，a0,则。，氏力也可作为窗间的一组明：已知向量J9,则，J与任何向量都不能构成空间的一组基:AB.M,N是空间四点,若B,BM.BN不能构成空间的一组基，那么AB.M.N共面：已知Ar是空间的一组基.若=+乙则也，“也是空间的一组基.其中真命题的个数是().A.1B.2C.3D.414,（2024高一下湖南期末）已知。氏力是空间的一个基底.若pb=2ciC.r=+2-D.r2a+b+C彩售题淞相利用基度表示空间向:Ix用法底去示向IK时，着艇底确定，要利用向格加法、减法的三角形法和平行四边形法则，以
4、及向价数乘的运算律进行化简：若没给基底,首先要选出基底再求解.2.用基底表示向量的步骤：（I）定票底：由已知条件，确定三个不共面的向盘构成空间的一个班底.（2）寻目标：由确定的基底表示目标向麻.潴要根据.角形法则及平行四边形法则，结合相等向屈的代换、向立的运算进行变形化简.（3）下结论：利用空间的一个基底S.b.c可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有.b.c,不能含有其他形式的向量.2：利用鼻底衰示空间的量2-1.（2024:下江苏械州期中）如图，在平行六面体ABa）-A8。中，P是CA的中点，点Q在CA上,且CQ：QA=4:1,设a8=“，Db-A41.=3,则（）.-1_1.
5、O.QP=ci+b+c1010102-2.（2024i二下江苏盐城期中）在四面体O-AeC中,PA-2P。是SC的中点,且M为PQ的中点,，OA=aOB=bOC=c则Of=（）2D.1-C423.(2024高二上浙江丽水期末)在平行六面体V8-A4GA中，AC,8。相交于0M为OC的中点，设八8=，AD=bAA=C,则CM=A.-11+-fe-c44224(2024高二上福建泉州期末)己知四面体。一八HC,3是NHC的Hi心，G是OGf上，点,且OG=3GG/.若OG=AoA+vOB+2C,则（My,外为（）444J1.H）B.0.4,4,471.1113、3司（三）空间向置基本定理在几何中的
6、应用用空间向盘基本定珅斛决几何问题时需注意(I)若证明线线平行，只需证明两向吊共线.(2)若证明线战垂口，只需证明两向僦的数积为0.(3)若求#面H我所成的角，则转化为求两向此的夹角.(4)若求两点间的距离，则转化为求向量的模.*熨3：利用空间的本JtJK求泰效3工(2024高二卜云南阶段练习如图，在正方体ABCD-A禺GR中,E.尸分别为ARDp的中点,若EF=XDA+yDC+DDi,则x+W=.3-2.（2024尚:下江苏常州期中己知矩形ABeAP为平面A&7）外点，片口平面八成7）,点M,N满足PM=；PC,PN=-PD.11MN=xAB+yADZAP,则x+）+z=（）23A.-B.-
7、C.-D.12 263-3.（2024高三上安徽宣城,期末四极锥P-ABeT）中，底面ABeD是平行四边形，点E为梭尸C1的中点,若AE=XA8+）AO+AP,则X+y+2等于3 5A.-B.1C.-D.22234（2024,陕西一模）空间四边形ABcC中，八C与8。是四边形的两条对角线,M.N分别为线段八8.。上的两点，旦满足AM=W八BDN=-DC.若点G在线段MNjt,且满足MG=外可，若向从人匕满34足AG=xAB+yAC+2AD.则x+v+s=.MS4：利用空间向量率本定现证明位J1.关系4-1.（2024高二江苏课后作业已知空间四边形。WC中，ZOHZBOCZAOC,且（M=OS=
8、OC.W.N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点，求证：OGSBC.4-2.（2024高二江苏课后作业）如图，在平行六面体ABaX4,8CD中，八B=AD=A=1.,A1AB=ZA1AD=,RAD=6Q,求证；II线4C3平面B/）彷胡.4-3.(湖南省长沙市四校联考20232024学年高二上学期9月阶段考试数学试题)如图所示，三棱柱BC-,B,C1.CdCBh.CC1=c.CA=CB=CC1=I.(d.fc)=(d.r)=-y.=N是A8中点.用0,6,c我示向JfiiAN:在线段C圈上是否存在点M.使A1.A?若存在，求出M的位置.若不存在，说明理由.44(2024高二上全国专即练习已知
9、四面体中三组相对校的中点间的距离掷相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直.己知：如图，四面体ABCO,E,F,G,H,K,Af分别为板ABC,CD,D,BD,Ae的中点，且|用=|卜|照必求证AB1.CD,C1.BID1.BC.5：利用型间向量鼻本走取率把白、夹角51.(2024高二上天滓髀海阶段练习如图所示，已知空间四边形A8CD的条边和对角线长都等于1.I点RF.G分别是A8.AD,CC的中点.设八8：“，CbD-AAi=C.(1)试用我示向fitMN:(2)ZfiAC=9Z4A,=ZCA,=6(J.AB=AC=A,=1.求MN的长.5-3.(2024高二上浙江杭卅期末如图.平行六面体AB
10、CD-At冰汨中,CB1.BD.ZC1CD=45o,ZCC1.=60.CC1-CB-B1.)-.求对角践CA的长度：求弁面出线CA1.jD4所成角的余弦值.回阪习与是升一、单选,1.(2024高二下安徵开学考试)已知四ftt)-WC.GVAfiC的重心,P是线段OG上的点,且OP=2巾.若CP=XcA+yOB+IOC.则(x,y,z)为()2. (2024高二上JX宁期末己知“.则丁二二+7的最小值为（）3+4?r+3,9c98rs8A.-B.-C.-D.757511 .（2024高二上山东聊城期末）如图，在四棱惟产-4C。中,底面ABa）为平行四边形，且AB=AP=6,八/）=2./BAD=
11、NBAP=NDAP=析,E,尸分别为叫上的点，凫PE=2EBM=FC|用=A.1B.2C.2D.而12 .（2024高二上浙江湖州期末）在校长为1的正四面体八员工）中.点/满足Af=.tB+yAC+（1.-A-y）AD（.r.yR）.点N满足DNW=3MG,过点M任意作一个平面分别交线段外,PB.PC于点D,E,F,若PQ=w,PE“PB，D.SA.2B.314 .2024高二上河南期末如图,在平行六面体ASeD-A始GR中,底而ABCD是菱形,侧面AA皿）,是正方形,且NA八8*20oDAB=ar.A=2,若P是G。与C4的交点.则AP=().C.AG的长为小B.AG=+)+dA. 9B.7
12、C.3D.715 .（2024商二下安徽合肥开学考试）在平行六面体A8CO-A8CR中，AA,=,abAD=6且NAAO-NA八845,/）A8=60，则怛回=（A1B.2C.3D.2二、多选JB16 .（2024高二上江苏连云港.期末）如图,在平行六面体八8CO-A4G。中,以顶点A为端点的三条枝长都是1，且它们彼此的夹角都是60.M为AG与8也的交点,若AA=G八。=儿AA=.则下列正确的是D.cos(AB,g)=417 .（2024高二下江苏常州开学考试）给出下列命即,其中正确的有（?A.己知向用“6,则4%与仔何向盘都不能构成空间的一力I基底B. A&M.N是空间四点,若8A.3W.3
13、N不能构成空间的一组基底,则A&M.N共向C.若。+。八+08+优=6，则点尸.489四点共面D.已知卜.，,是空间向般的一组基底,若j=+c.则,.小也是空间一组基底18. （2024高二上,山西晋中期末）.b.c是空间的一个基底,叮“+/,、a+c构成基底的一个向St可以是A.bcB.-.可以作为空间一个基底的向量级有=xDA+yDC+z。尸且x+z=1.,则|司的最小值为.25. （2024裔三全国专题练习）如图，已知四梭柱八BCO-ABCA的底面ASCQ为平行四边形，E为校AB的中点，=g1.,AG=2GA,AG与平面石产G交于点M,则*=.26. （2024将二上湖北孝感期中如图,在
14、空间四边形。18。中.已知是线段8C的中点,G在AE匕且八G=2GE.E(1.iJIJOA.OB.OC表示向依OG：(2)若OA=408=6,8=8,ZAOC=8()C=60。.ZA0B=i.求OG八8的值.27. 12024高二湖南课后作业）如图，己知W,N分别为四面体A-BCC的面8。与面AC。的重心，G为GN三点共践.28. （2024而二上广东中山如图所示,在四棱椎M-ASCD中，底而A8C0是边长为2的正方形侧棱rIAiBr1.a&iAw的长为3,且NMB=NM0=6(rN是CM的中点.设“八8.h=AD.C=AM用、h、。表示向信BN，并求8N的长.29. （2024高二上广东中山
15、阶段练习）在空间四边形A8CD中,H,G分别是AD.C。的中点.E.尸分别边AB.8C上的点且瘟=当=：CA=aCB=hDC=Cror.H3D(I)JRFH(用向巾,b.c衣示)：求证：点E.F.G,四点共面.30. （2024高二江苏课后作业）如图，已知正方体AbCD-ABC禺的梭长为1,P,Q,3分别在A8,CC,用37A表示PQ，PR；设JQR的无心为G,H1.i.k表示12；当RGJ.CG时，求“的取值范因.31. （2024ft:,全国专题练习）如图，空间四边形（M8C的各边及时角戏长都为2,E是八8的中点，F在OC上，I1.OF=2FC-c用OAO艮次表示EF:2）求向殳0与向埴放
16、所成角的余弦值.32 .（2024高：上山东聊城阶段练习）如图，在校长为1的正四面体SUJC中，.M,N分别是边QA,BC的中点，戊G在MN上，且G=2GN,设OA=“，OB=IxOC=C.(1)试用向fita,，c表示向量OG；UUUUU求CaS.33 .（2024:下,广西南宁开学考试）已知在平行六面体A8C）-A8Cq中，AB2，AA=3,八。=Ij1.求。8,的长：求向母F八8夹角的余弦值.34 .（2024高二上安微宿州期末）已知平行六面体A8CC-48,GR的底面足边长为1的菱形,且ZC1CH=ZC1CD=ZBCD=pDD1=2.(1)证明：DD11BD：2)求异面直线CA与AB夹角的余弦值.35.(2024高二上全国专Sfi练习如图,在底面ABCD为菱形的平行六面体ABC。-A4GA中，M，N分别在梭州，CC上，I1.AM=g,CN=CC1.J1AAO=AA8=OA8=M).(1)用向ftAA,ADA8表示向状MN：求证：D4N共面;
