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1、常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。L绕点型(手拉手模型)遇60旋60,造等边三角形(1)自旋转：自旋转构造方浏遇90旋90,造等腰直角遇等腰旋顶角，造旋转金等遇中点旋180,造中心对称图(l-1-a)A图(l-1-b)。图(2-l-b),例题讲解：L如图所示,P是等边三角形ABC内的一个点,PA=2,PB=23,PC=4,ABC的边长。2 .如图，O是等边三角形ABC内一点，已知：ZAOB=I15o,ZBOC=125o,则以线段OA、OB.OC为边构成三角形的各角度数是多少？3 .如图，P是正方形ABCD内一点
2、，且满足PA:PD:PC=I:2:3,则ZAPD=4 .如图(2-1):P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=I,PB=2,PC=3o求此正方形ABCD面积。F(2)共旋转(典型的手拉手模型)模型变形:共顶点等腰三角形共顶点等腰:角形例题讲解：1.已知AABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF（按A,D,E,F逆时针排列），使NDAF=60o,连接CF.如图1,当点D在边BC上时，求证：BD=CF,AC=CF+CD如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请
3、写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。FACD图3图1图22.(13北京中考)在AABC 中，AB=AC, Z BAC= a(0o60o),将线段BC绕点B逆时针旋转60。得到线段BDo如图1,直接写出NABD的大小(用含夕的式子表示);如图2,ZBCE=150o,ZABE=60o,判断aABE的形状并加以证明;(3)在(2)的条件下，连结DE,若NDEC=45,求的值。2.半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接
4、在一起，成对称全等。AmMADBBEC例题:1.在等腰直角AABCD的斜边上取两点M,N,使得NMCN=45。，记AM=m,MN=x,BN=n,求证以m,X,n为边长的三角形为直角三角形。2 .如图，正方形ABCD的边长为1,AB,AD上各存在一点P、Q,若APQ的周长为2,求NPCQ的度数。3 .七、尸分别是正方形ABC。的边8C、Cz）上的点，且NEAF=45。，AHLEF9H为垂足，求证：AH=AB.4 .已知，正方形ABCD中，MAN=45,NMAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N,AHlMN于点H.（1）如图，当NMAN点A旋转到BM=DN时，请
5、你直接写出AH与AB的数量关系：AH=AB;（2）如图，当NMAN绕点A旋转到BMDN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明;（3）如图，已知MAN=45,AHlMN于点H,且MH=2,NH=3,BM 图BM图MH N图求AH的长.（可利用（2）得到的结论）5 .已知：正方形ABCD中，ZMAN=45o,NMAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N.当NMAN绕点A旋转到BM=D1）,易证BM+DN=MN.当NMAN绕点A旋转到BMDN时（如图2）,线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明.当
6、/MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.6 .（14房山2模）.边长为2的正方形ABC。的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上（如图1）,现将正方形A88绕。点顺时针旋转，当A点第一次落在。尸上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M,BC边交。G于点N.（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积;（2）旋转过程中，当MN和AC平行时（如图2）,求正方形ABe。旋转的度数;（3）如图3,设M8V的周长为p,在旋转正方形A8C。的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论.7 .(2011石景山一模)已知：如图，正方形ABCD中
7、，AC,BD为对角线，将/BAC绕顶点A逆时针旋转0(0a45),旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q,交BC,CD于点E、点F,连接EF,EQ.(1)在NBAC的旋转过程中，NAEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围(直接在答题卡上写出结果，不必证明)；(2)探究AAPQ与AAEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明.8,已知在BC中，ZACB=90,CA=CB=62,Cr)于。，点上在直线CD上，DE=；CD,点尸在线段AB上，是。8的中点，直线AE与直线。尸交于N点.(1)如图1,若点E在线段8上，请分别写出线段和CM之间的位置关系和数量关系：,；(2)在(1)
8、的条件下，当点尸在线段AO上，且AF=2所时，求证：ZCNE=45;(3)当点E在线段CO的延长线上时，在线段A3上是否存在点尸，使得NCNE=45。.若存在，请直接写出Ab的长度；若不存在，请说明理由.9.(2014平谷一模24)(1)如图1,点心尸分别是正方形的边BG上的点，Z区4斤=45,连接E五,则EF、BE、皿之间的数量关系是：EF=BE+FD,连结BD,交力E、AF于点M、N,且AfMBM.DN满足MN?=BM?+DN?,请证明这个等量关系；(2)在43C中，AB=AC9点。、E分别为BC边上的两点.如图2,当/A4O=60,NZME=30时，BD.DE、HO应满足的等量关系是如图
9、3,当2期0。,(0oa90,ZABM=ZADN=45.把M绕点力逆时针旋转90。得到MDw.连结NM则DM=BM,AM=AM,ZADM=ZABM=45o,ZDAM,=NBAM.AEAF=45o,./期旃NZMAM5,ADAM,+Z4F=45o,ZArAN=NMAN=45。./.AMN也AMN.M，N=MN.在DN中，AMDN=ZADN+ZADM=9伊,M,N2=DN2+DM,2/.MN2=DN2+BM2(2)DE2=BDl+BD-EC+EC?；DE2=BD1+2cosaBDEC+EC23,空翻模型CAQ名BPA例题：L如图，点M为正三角形丽的边AB所在直线上的任意一点（点B除外）,作Zz）M
10、ZV=60。，射线MN与NDfiA外角的平分线交于点N,DM与MN南怎样的数量关系？【解析】猜测nW=M7V.过点用作MG的交AD于点G,AG=AM,/.GD=MB%ZADM+ZDMA=120,ZDMA+ZNMB=20：.ZADM=NNMb,而NDGM=M8N=120,：ZXMgg4BN,.*.DM=MN.2.如图，点M为正方形ABa）的边AB上任意一点，MV_LZW且与NABC外角的平分线交于点N,MD与MN有怎样的数量关系？【解析】猜测ZW=M?V.在AZ）上截取AG=AM,.*.DG=MB,.*.ZAGM=45/.ZDGM=ZMBN=135o,/.ZADM=ZNMB,：ZXM9MBN,：
11、DM=MN.3【探究发现】如图1,A3C是等边三角形，ZAEF=60H尸交等边三角形外角平分线。尸所在的直线于点尸.当点后是右。的中点时，有AE=EF成立;【数学思考】某数学兴趣小组在探究5氏Eb的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线3。上（丹。除外）任意一点时（其它条件不变），结论AH=EF仍然成立.假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点七是线段石。上的任意一点”；“点石是线段石。延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并进行证明.【拓展应用】当点后在线段8。的延长线上时，若CE=BC
12、,在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出Smsc：5必所的值.4.弦图模型外弦图内弦图总统图例题：L两个全等的30,60三角板ADE,BAC,如右下图所示摆放，E、A、C在一条直线上，连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.(1)求证：ZXEDM&2XCAM;(2)求证：ZXEMC为等腰直角三角形.2.如图4ABC中，已知NA=90,AB=AC,(I)D为AC中点，AE，BD于E,延长AE交BC于F,求证：ZADB=ZCDF(2)若D,M为AC上的三等分点，如图2,连BD,过A作AE_LBD于点E,交BC于点F,连MF,判断/ADB与NCMF的大小关系并证3.(14朝阳二模)已知N4809
13、0,。是直线月石上的点，AD=BC.(1)如图1,过点力作4斤146,并截取4尸=m,连接。GDF、CFy判断ACD尸的形状并证明；(2)如图2,E是直线BC上的一点，直线力区8相交于点B且NAPD=45o,求证包AC区图1图2二、对称全等模型下图依次是45。、30。、22.5。、15。与有一个角是30。直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。例题:1 .如图1,在AABC中，已知NBAC=45,ADlBC于D,BD=2,DC=3,求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、Ae为对称轴，画出AABD、AACD的轴对称
14、图形，D点的对称点为E、F9延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形.设AD=x,利用勾股定理，建立关于X的方程模型，求出X的值.参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2,在aABC中，ZBAC=30o,ADlBC于D,AD=4.请你按照小萍的方法画图，得到四边形AEGF,求aBGC的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）图1图22 .问题：已知月BC中，NA4O2N/8,点。是A13O内一点，且AACD,包AA4.探究NoB。与/度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.(1)当N8490时，依问题中的条件补全右图,观察图形，45与力。的数量关系为;当推出NA4O=15时，可进一步推出/。6。的度数为可得到NDBC与ZABC度数的比值为(2)当/氏40*90时，请你画出图形，研究N与/月BC度数的加以证明.A
