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1、习题一1、取3.14,3.15,作为的近似值,求各自的绝对误差,相对误差和有效数字的位数。解：所以,有三位有效数字绝对误差：,相对误差：绝对误差限：,相对误差限：所以,有两位有效数字绝对误差：,相对误差：绝对误差限：,相对误差限：所以,有三位有效数字绝对误差：,相对误差：绝对误差限：,相对误差限：所以,有七位有效数字绝对误差：,相对误差：绝对误差限：,相对误差限：3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数,试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限,有效数字的位数。解： m=-1所以,n=3,有三位有效数字绝对误差限：,相对误差： m=0所以,n=4,有四位有效数字绝对误差限：,相对误差： m
2、=2所以,n=4,有四位有效数字绝对误差限：,相对误差： m=4所以,n=4,有四位有效数字绝对误差限：,相对误差：4、计算的近似值,使其相对误差不超过。解：设取位有效数字,由定理1.1知,由,所以,由题意,应使,即所以,n=4,即的近似值取4位有效数字近似值6、在机器数系下中取三个数,试按和两种算法计算的值,并将结果与精确结果比较。解：所以,比精确,且与相同；因此,在做三个以上的数相加时,需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。8、对于有效数,估计下列算式的相对误差限。,解：,m=1;所以 同理 或或或所以,所以,所以,综合得：,9、试改变下列表达式,使其结果比较精确其中表示x充分接近0,表
3、示充分大。1,2,3,4,5,答案：1；3,4法一：用得出结果为： 法二：或12、试给出一种计算积分近似值的稳定性递推算法解：显然, In0,n=1,2,当n=1时,得,当n2时,由分部积分可得：,n=2,3,另外,还有：由递推关系In=1-nIn-1,可得计算积分序列的两种算法： n=2,3,下面比较两种算法的稳定性若已知的一个近似值,则实际算得的的近似值为所以,由此可以看出的误差放大n倍传到了,误差传播速度逐步放大由计算若已知的一个近似值是,则实际计算的的近似值为所以,由此可以看出的误差将缩小n倍传到了,误差传播速度逐步衰减。综上可看出,计算积分的一种稳定性算法为习题二1、利用二分法求方程
4、3,4的根,精确到,即误差不超过。解：令,说明在3,4有根,利用二分法计算步骤得出,满足精度要求所以,共用二分法迭代11次。2、证明在0,1有一个根,使用二分法求误差不大于的根。证明：令,所以,由零点定理知,在0,1有一根根据计算得出：,此时共迭代15次。4、将一元非线性方程写成收敛的迭代公式,并求其在附近的根,精确到。解：令令=0,得到两种迭代格式,不满足收敛定理。,满足收敛定理由方程写出收敛的迭代公式为取初值为 ,得出近似根为：5、为方程在附近的一个根,设方程改写为下列等价形式,并建立相应的迭代公式：1,迭代公式；2,迭代公式3,迭代公式解：1利用局部收敛定理判断收敛性,判断初值附近的局部
5、收敛2局部收敛3不满足局部收敛条件但由于,所以比收敛的慢取第二种迭代格式 取初值,迭代9次得7、用牛顿法求解在初始值临近的一个正根,要求。解：令由牛顿迭代法知：迭代结果为：012321.888891.879451.87939满足了精度要求,8、用牛顿法解方程,导出计算C的倒数而不用除法的一种简单迭代公式,用此公式求0.324的倒数,设初始值,要求计算结果有5位有效数字。解：,由牛顿迭代公式迭代结果为：012333.0843.0864183.086420满足精度要求所以,0.324的倒数为3.086411、用快速弦截法求方程在附近的实根,取=1.9,要求精度到。解：,迭代结果：0123421.9
6、1.8810941.879411601.87939满足精度要求12、分别用下列方式求方程在附近的根,要求有三位有效数字1用牛顿法,取2用弦截法,取3用快速弦截法,取解：求出的解分别为：习题三1、用高斯消元法解下列方程组1 2解：1等价的三角形方程组为,回代求解为2等价的三角形方程组为,回代求解为2、将矩阵作分解。解：,3、用紧凑格式分解法解方程组解：,.4、用列主元的三角分解法求解方程组解：,5、用追赶法解三角方程组,其中,.解：,6用改进的Cholesky分解法解方程组解：,7、用改进的cholesky分解法解方程组解：,8、设,求。解：9、设,求解：,10、设,计算,及,并比较和 的大小。
7、解：,=10,=911、给定方程1写出Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式；2证明Jacobi迭代法收敛而Gauss-Seidel迭代法发散；3给定,用迭代法求出该方程的解,精确到。解：1Jacobi迭代公式Gauss-Seidel迭代公式3用Jacobi迭代得,13、已知,考察Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的收敛性。14、方程组,其中,利用迭代收敛的充分必要条件确定使Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛的a的取值围。解:Jacobi迭代矩阵为当得, Gauss-Seidel迭代矩阵为：当得,15、设方程组分别用Gauss-Seidel迭代
8、法和w=1.25的SOR法求解此方程,准确到4位有效数字取解：Gauss-Seidel迭代法共迭代17次,此时近似解为SOR法w=1.25时,迭代11次,此时的近似解为16、用SOR方法解方程组分别取松弛因子w=1.03,w=1, w=1.1精确解,要求当时,终止迭代,并且对每一个w值确定迭代次数。解：当w=1.03时,迭代5次, 当w=1时,迭代6次,当w=1.1时,迭代6次,习题四1、设,写出的一次插值多项式,并估计插值误差。解：,其中2、给定函数表-0.10.30.71.10.9950.9950.7650.454选用合适的三次插值多项式来近似计算。解：、求,选用插值节点为,用 lagra
9、nge插值多项式为：解得、求,选用插值节点,解得：4、给定数据2.02.12.22.41.142141.4491381.483201.549171试用线性插值计算的近似值,并估计误差。2试用二次Newton插值多项式计算的近似值,并估计误差。解：1取,2写出二次Newton插值差商表一阶差商二阶差商2.01.142142.11.4491380.349242.21.483200.34062-0.04315、给出函数值x01234y01646880试求各阶差商,并写出Newton插值多项式和差值余项。解：y一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商001161624630738821-3-5/240-88-
10、109/3-25/2-7/66、给定数据表0.1250.250.3750.5000.6250.7500.796180.773340.743710.704130.656320.60228试用三次牛顿差分插值公式计算和。解：、求,取,h=0.125差分表为一阶差分二阶差分三阶差分0.1250.796180.250.77334-0.022840.3750.74371-0.02963-0.006790.50.70413-0.03958-0.00995-0.00316由公式由牛顿插值公式有、求,取,h=0.125一阶差分二阶差分三阶差分0.3750.743710.50.70413-0.039580.62
11、50.65632-0.04781-0.008230.750.60228-0.05404-0.006230.002求解得9、给出sinx在0,pi的等距节点函数表,用线性插值计算sinx的近似值,使其截断误差为,问该函数表的步长h应取多少才能满足要求？解：设插值节点为,i=0,1h,由F=sinx,所以,即所以步长h应取为0.02才能满足要求。14、已知实验数据如下192531384419.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如的经验公式,并计算均方差。解：设拟合多项式为,则正规方程组为即：所以,经验公式为：均方误差为0.00301915、观测物体的直线运动,得出以下数据时间t00
12、.91.93.03.95.0距离S010305080110求运动方程。解：设拟合多项式为,则正规方程组为即：a=-0.5834,b=11.0814,c=2.2488所以拟合多项式为。习题五1、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分,并比较结果。1n=8解：用复合梯形公式 用辛普森公式 精确值：由上可看出复合辛普森公式更精确。4n=4解：用复合辛普森公式用辛普森公式 ,精确解为：所以辛普森公式的精度较高。3、用复合梯形公式求积分,问将积分区间a,b分成多少等分,才能保证误差不超过？解：由复合梯形公式的余项知,取求得 6、分别用下列计算方法积分,并比较计算结果的精度积分准确值I=1.098612。1复合梯形法,N=16 2复合抛物线法,n=8解：精确值：I=2.079441,所以,复合抛物线精度更高。7、试确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。1解：令f=1,x,得所以,令,左=0=右,左右所以,该求积公式的代数精度为m=3.2解：令f=1,x,得或经计算可知两组参数所对应的求积公式的代数精度均为m=2.9、利用表5.7求x=0.6处的一阶导数。X0.40.50.60.70.8F1.58364941.79744262.04423762.32750542.6510818解：选选用三点式得 即
