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1、第五章三角函数知识检理1.角的概念(I)定义：角可以看成条射线绕着它的迹旋传所成的图形.按旋转方向不同分为正角、一角、零角.(2)分类I按终边位置不同分为年限角.和轴线角.(3)相反角：我们把射线OA绕然点O按不同方向旋转相同的汆所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为二4(4)终边相同的角；所有与角”终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S=VJ=+*360,ZJ.2,强度制的定义和公式(I)定义：把长度等于主鱼氐的圆弧所对的耀心地叫做1弧度的角，蛆度单位用符号rad表示.(2)公式曲”的瓠度蚊公式IaI=*长用/表示)角度与歪度的换算,=rad=,rad=(瓠长公式瓠长=1.r扇形面积
2、公式S=；.一儿尸3.任意年的三角函依(1)设是一个任意角，R,它的终边OP与总位圆相交于点PCr,).K1Isin=,8Na=,1.ana=：(x0)(2)任意向的三角函数的定义(推1.)设印3)是角终边上异于原点的任意一点,其到阻点O的用离为r.ftSinrx=;.COSa=5tana=xO).(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切四余弦,如图.-*-A1.Mr3rUna4.常用结论(1)角度制与弧度制可利用180。=Jrrad进行互化，在同一个式手中，采用的度员制必须一致,不可混用.2)象限角I第速限的aUa.ezi第四象限向I同2t32a2A+2.i.ifeZ5 .同
3、向三角函数的基本关系(I)平方关系：SiMa+co=I.商数关系：=tann(+A-11.Z),6 .三角函数的诱导公式公式二三四五六角211+a(*Z)n+a-a1.aX2-a2+a正弦sina-sinc-sincSinaCQMco4余弦cosa-cosaCOSa8Sasinc-Sina正切tanUM)-tana一na、口认有变偶不变，符号看欧限7 .常用结论同角三角函数的基本关系的常见变形sin%=I-cosja=(1.+csa)(1-csa);CoGa=1-sin2a=(i+SinaK1-sina)；(sinacosa)=1.2sinacosrx.2)送导公式的记忆口诀“奇变儡不变,符号
4、召象限”.其中的奇、偶是指名的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.3)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方.要特别注意判断符号.8 .两角和与差的正弦余弦和正切公式sin(a?)SinaCQMCQ4aircos(*/?)=csttcosinasi吸an(O=ana1.an14UuwxtaiVT9 .二倍角的正弦、余弦正切公式sin22sincosa.cos2=cos%-sin%=2cosT=1-2sin%tan2=2tan1tan*K).辅助角公式sin十v=M+4sin(十0其中Siw=活方I1.两角和与差的正切公式的变形(1)1.ana+U1.jM=Um(+口)(1-IanaUin
5、/?).(2)tantanZ=(an(-/?)(1+tanman/J).12.倍用公式的变形(1)降鹏公式：sinacos=sin2:sin2-CQea二)士罗菖.(2)升补公式：Ixin2a=(sincos)2：I+cos2a=2cos2rt:I-cos2a=2sin2a.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y=siru.x0,211的图望匕五个关雄点是：(0,0),，I),(11.0).(y,-1.(211.0).余弦函数)=cos,W0,2n的图象上，五个美键点是；(OJ),图0),6，I),(0).(211.I).14.正弦函数、余弦函数、正切函数的图和性质(下表中女EZ)函数,
6、=sinxy=Cosxy=Iain图就Jc,A.I“h定义城RRr且XWi11+.AZ值域1.1.I1.1.1.J1.R周期性211Inn奇偈性奇一致一一一奇函数单调性堵区何口丘一夫2M(jteZ):做区间2_2(JteZ城区间2履，211+11(eZ):增区间2依一九，2A1.(A三Z)箝区间(后一宗以+#CZ)对称中心(far,()KZ)(E片,0)(*eZ)(y.O)OIdZ)对称轴x=x+融GZ)X=k仅GZ)无考点突破考点一象限角与终边粕网的角【例1】若角魂的顶点为坐标原点,始边在X轴的非负半轴：.终边在出线y=一5xj:.则向盘的取俗集合是()A. (=211-j.*eZB. (=
7、2jbt+y.ZC. (=fat-JtGzD. )(xa=i11-Zr【答案】D【解析】因为更及F=一1.r的便斜角是空.(ana=-j.所以终边落在直iV=X-3印Iqa=Ait亨KWZ1.故选D.归纳点拨(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些务件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后独过集合中的参数MtEZ)赋值来求得所得的角.确定总.包C终边位置的方法先写出Aa或钠范围，然后根据k的可能取值确定a或例终或所在的位置.对点训练I.集合(。忸+：+全RCZw的珀所表示的范肺阴影部分温(ABCD【答案】C【解析】当A=HnWZ)的.2m+211+f.此时表示角的终边的苞围
8、与jWa号表示角的终过的范用一样：百K=2”+1(”GZ)时，2m+jr2,m11+5此时式示角的终边的范围与n+jSW;T+：表示角的终边的范围一样.故选C.2.若用是第二象限角，则施第象眼角.【答案】一或三【解析】：a是第二象】艮角，.*+2H3【备案】D【白析心图，等辿三角形A8C是芈径为/的I。的内接三角形.则线段A8所对的园心角乙W3竽.作OW_1.A艮卷足为M.在RIAAOM中.AO=r.AOM=j.M=.=3r,=3r.由瓠长公式得Q=彳=呼=遮2 .已知扇形的周长为8cm,则该扇形面积的最大值为cm2.【答案】4【I?析】设扇形半径为，Cn1,弘长为/cm.则2r+=8(Kr0
9、,解得，“=)(2)设Hx.y).由题设知X=一#,y=w所以r=OP2=(-3)2w(O为原点)，即r=3+mi.所以Sina=氏所以r=3+F=2小.EP3+w2=8,解得叨=W1.cos=三=-,1.a11=-:当Wr=一小时，COSa=一乎,tan=当W归纳点拨(D直接利用三角语数的定义,找到给定角的终边上一个点的坐标,及这点到原点的里高,确定这个生的三角南数值.(2)已妞用的某一个三角函数值.可以通过三箱函数的定义列出含参政的方程.求参蚊的值.对点训练1.已知角的终边经过点(3.-4),则Sina+T二等干()vvc1C37C37n13A.-5B.-i5C-20D.-【卷案】D【辞析
10、】因为花的终边级迂点(3.-4),所以Siiw=cos故选D.考点四三角函数值符号的判定3-S5-34-51315【例4】设。是第二:象眼角，且卜局=一说,U-，-A.第一叙限角C.第三象限角(2)sin2cos3ta114的值(A.小于0C.等于01(DB(2)AB.第二象限角D.第四象限为B.大于0D.不存在【解桁】(1)由。是第三象限南知.专为第二或第四象眼角,因为卜Oe1.=-C所以Co0.琮上可知，号为第二象限角.(2)523114v所以2ad和3rad的角是第二象泯龙.4rad的角是第三象限角,所以sin2X),cos30所以sin2cos3tan4已知角a的顶点为坐标原点.四象限
11、，则用的终边在()A.笫一象限C.第三象限【答案】B始边为X轴的非负单轴,若点P(Sina,uma)在第B.第：象限D.第四象限【解礼】1点P(Sina,tana)在第四象IR.sinaX),tan4【解桁】(I)因为es=-;且G(0.x),所以sin”=1一cos%=,所以tan=言W=一?.故选D.由tana=-g,得Sina=-gcosa,将其代入$in%+CoS%=,汨攀%=,所以cos%=，j,易知“、3iIO.iosO,所以CoSa=-,sna=j,故SIna+cosa=j.归纳点投利用同角基本关系“知!一求二”的方法对点训修i.(多选)已知。G().X),sin0+coS=4则
12、下列结论正确的是()B.cos=-J4Asin4=gC.tan=T(ABD【解桁】由股港知SinO+cosG=g,(sin+cor=1+2stn0cosZ/=,2sinosZ/=25又丁(0,x),tf0,sinf1.cos?=1-2stnsf1.=-J1sn=5,cos/=-工=J.ftA.B、D正确.考点六同角三角函数弦切互化”问J1.1例6已知P(7,3)为用终边上的一点，则黑翌=.SIWiVOSiX(2X2O22J；林长春高三模)已知si11tt=3costt.则Si1.fa2COS%=.【答案】(IE(2【解析】(I)因为氏一1.3)为角“终边上的一点.所以Uma=-3.故笨第=黑M
13、=我苛打_5-8-.，Sina._,sin:2cos1(an%23,一27(2)因为Sma=3cosd所IUana=有=3.所以sm%-2co$=京忑TW=嬴讦|=齐|=而归纳点投利用“弦切互化”求齐次式假的方法(1)若齐次式为分式,可将分子与分母同除以COSa的“次区,将分式的分子与分母化为关于tana的式子.代入Uma的值即可求解.(2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后杯分母1用疝+cos%替换，再将分子与分等同除以cos%.化为只含有Iana的式子.代入UUu(的值即可求解.对点训雄则金的优为.Sina+女5。,t.知3cos-Sina=5,【答案】5.1sin+3co
14、sz-tana3八”22(sin2a+cos2a)2(tan2a+1)【解柝】由=5,得K京=5所以忸的二2所以而G=-%nG=r1.2(22+1.).=-2-=5考点八同角三角函数和积转换”问题【例8】已知sinf1.cos=1,I1.v则Co-Sina的由为()A.一半B.乎C.-D.7己知SinG+cosG=驹个】(I)B(2)B.31.cosas(sin/?-cos/)2=-MI2sin优。$伊=一坐.故选B.归纳点拨“和积转换”解决求假问题由同角的三角函,关系可知：(SiIWcCOsa)2=12siutcosa,(Sina+cosa2+(Sinacosa)2=2,(SinaCosa)
15、2=(sifk+cos)24sinos_ib1cD_近)I*.rV.、U)4，/【答案】A【解析】sin57Oo=sin(72Oo-150o)=-sin1.50o=-.归纳点拨(I)诱导公式的两个应用求值：负化正，大化小，化到黄角为终了.化简：统一比,统一名.同角名少为终了.(2)含2x整数倍的诱导公式的应用由终论相同的光的关系可知，在计算公有211的整数倍的三角函数式中可直接将211的整数倍去掉后再进行运算.对点训练1.化筒z9111的结果是(cos(11-)sin(-11-小巩+，A-IB.IC.1.anD.eIana【答案】C-cosa(-sina)c.(-aj-sinja明所以3sin
16、a-sin=3sina-SinGa)=3sina-csa=4i.又sin%+COCa=1,联立解得Sina=嚼；=COS,则c卷+J+sin号-G)的值是.121台点P(CoS仇4的与点Q(CoS(，+季)sin(4+)关于y轴对称.写出一个符合题意的O=夕案】(I)O(2)含满足6=fac+符，J1.WZ即可)怦析K1.)c43+0)=co11.(A4X-2=,二CoS+。+Sin管一“=0.(2).P(8M.sin仍与Q(COS(O+今).sin(+g)关于F独对称.即优。+袂于轴对称.，.&+*+=+211,Z,则9=kr+普*Z,当J1.=O时，可取伊的一个使为,归纳点拨(D利用同角三
17、角山歌关系和诱导公式求值或化简时,关健是寻求条件、结论间的联系.灵活使用公式迸行变形.注意角的范围对三角函数值轿号的影晌.(2)用诱导公式求值时,要善于观察所给明之间的关系,利用整体代换的思想简化.髀题过程.常见的互余关系有名一与5+,:+与专一.：+喝一等,常见的互补关系有专一与茅+优；+与专一优：+6与空一&等.对点训练I.已知。为蜕角,且则角=(1Csina+jsin1.【解柝】由条件丹一E二-h点S1.Ma一钉Cos1.z-rI又因为a为杭角，所以sin（a-：）=CMa+鼻），即$in（a=sin2-(a+3)J所以有a=*-(+,解得a=,故选C.2.已知0是第四象限角，且Si【辞
18、析】由sin（什知CO）G-0=轴为。为笫因象限角.所以一份为第T限利AG为第4-3,一段限购或第二象限缸又因为80（；一。）=5.所以:“为第一象限缸所以tan（；一。）4-3-考点十一和、差、倍角公式的宣接应用IWII1.计算SinI33。CaSI97。+8547。73。的结果为()32A.1C亚V)【售空】B解析sin133c,cos1970+cos470cos730=-sin47os170+cos47os730=-sin470sin730+cos470cos730=s1.n“一匕叨12十3-4I+tantan?,+(-4)(-2)=一看故选A.3.若OStan2一COSq2-sinrt
19、,则IanaT唱BTCYD.平【解析】1an2=吃就,且“G.n2coxacos2a-2-sin*2sin1.6。2tan1.611CoS1.6I+(an-160一,i11j16c,+os-60=2Sin1.60CoSI60=sin320,显然sin310in32oVSin330,所以“ahcB.hcaD.cbaC.cab2在ZkAbC中，若(aa4(an=IaM+un+11则CoKr=.【二案】(I)B(2健析】“=*cos290-ISin29=sin(6029)=sin310,所以A+B=苧,则C=；.COSC=归餐!点拨运用而，差、倍角公式时，不但要勒隽公式的正用，汪要熟悉公式的逆用及变
20、形应用，如tana+tan/=tan(a+(I-IanWtan)和二倍角的余弦公式的多种变形等.对点训练I.已知Sina=5i+T)+g，W1.es(a+g的值为()b4A.IC空J3【专案】B(：三?Sina=Sina+)+g,得sin=sincos+cossi11+=sin+cos+,则栗:oSa-ISjna考点十三辅助角公式的运用【例13化简：Si哈一小CO哈:(2)cos1.50+sin1.50:焉W(4)3V5sinr+3,5cos.(札愿氏=2(J$i哈一CO*)=2($incos；-CoS各i11)=2sin(古一:)=2si：)=_2Sinj=-2.(2kos1.50+sin1
21、.5=2(cos450cos150+sin450sin1.50)=2cos(45o150)-2XW=李CoSKrfSin102&.吁咨n1.)乐大一sinOncosIOr-sin1.Or,cosI(T4(n30cos1.Oo-8/T5sin.r+35cosx=SinX+gCOsX)=65siaxos+COSAsi吟)=frsin(x+)归纳点拨对asiu+cosx化锭时，注意精肋角3的值的确定和函数名的对应.对点训薛I.SitU+【答案】.2一3*=；,所以COS(X所以tan(x+专)【解析】由于SinX+coJiX=多徉2sing+3)=坐.即tan(+?)=Ian(X+专)=或.考点十四
22、角的交换【例14已知锐角a,4满足CoSe,sin(a-d)=-5,则Sinfi的值为()A毡B或C纯D或a55v25,25(2)已知Cq烹一a)=坐，则Sin一2a)的值为.思路引导(1)用/。一成表示0-求。.。一”的三角函数值一代人公式求解.用Aa表示手一勿一利用二倍用公式求值.J?(I)A(2)-J【解析】(I)Va是锐角，是说角，CoSa=Sing-#=-*.sinet=坐,cos(a-J)=,si?-.ttA.=Sinia-(a-)=乎X,一平x(-0)=W.(2hin(y-2)=sin?+(1-2a)=cos(三-2a)=co2(-a)=2cos3(套一a)-1=2X()2-=y
23、归的点拨利用角的变换求三角函效IS的策略(I)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或爱的形式.2“巳如角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“巳知角”的和成差的关系，传后应用诱导公式把“所求明”变成“已知弁”.对点训练1.已知tan(a+向=1.tan(a-1)4则1.an(6十的值为()4-5.D3-4C12B.2-3N2B【解桁】1.an(7+)=tan(+A)-(rt-3)tan(+/7)tana17K=*故选B.I+tan(a+/?)tana1+1X2.若SirG-a)=；，则8$+%)=()A.【答案】A【解析】Co$传+2)=CUjr一信-2a)_cos付
24、-2)=一1I-2Sing“)=故连A.考点十五三角函效的周期性、奇U性、对称性例!5(多选)下列四个函数中，以K为周期且在(*)上单调递增的偶函数为()A.y=cos2xB.y=tau1C.y=si11WD.V=IgIsiaxj(2)函数x)=3sinQ-亨+1TG(OX).且f(x)为偶函数,则=,一幻图象的对称中心为.【岑案】(I)BD2弟仔+亨.O)JeZ【杯板】若XG(0.f),则2r三(0.11),显然函数F=Co$囱在(0.?上单谡通或，故A不桁合题目要求：物函数y=U11u在K轴下方的图象“布折”到X的的上方(4的上方的图象保持不变).即可汨到函数),=(x)=IarUi的图索
25、，显然函数y=()=1.anx的周期为心且在(0,上单调递增，又八一力=|Ian1.X)I=(ar=().所以y=/(X)=IuhuI力偶西效.所以B符合题目要求：先作出y=siru在0,+8)上的图象.再作出其关于y轴的对称图.散，即可得到函数y=sinM的图象，通过图象(图咯)可知函数F=SinkI不是周期函数，所以C不符合题目要求：将函蚊F=SinX在X轴下方的图修“翻折”到X轴的上方(X轴上方的皆象保技不变).即可得到函数y=Kiu的图象，易知函数)=si!U是周期为的倒函数，且在(0,*)上单珊递增.所以函数y=Mx)=siju(xWfat,AGZ)在(0,切上单调避增，且g(r)=
26、1.jsin(-x)I=IgISi1.U1.=g(),K(X+n)=1.gsin(+11)=Ig1.siiu1.=g(x).所以D符合题目要求.故选BD.(2)/(*)为偈函数,二一三十$=搭十A11,Z.卷+fcr,Z.又伊(0.11).=.-VCO=3sin2v+=3cos2x.由2v=T+AxZ.得*=：+与kWZ二“目图象的对称中心为仔4亨0),KZ.归结点找(1)三角函教周期的一歌求法公式法.不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.(2)对于可化为f(x)=Asin(x+夕)(或八K)=ACOS(+中形式的函数,如果求/(*)的於称轴,只需令1.u.v+=2.WIe的
27、个可能取值为().S5511d_26b3c63【答案】C【解析】Y/(X)=小sin(2x+o+cos(2t+1)=2sin(2x+w+器)为奇西效，二9+专=Ak(A6Z),可得甲=AK-*4GZ,故排除B.D选项.对于A,当0=制，/(x)=2sin(2r+)=-2sin2,().时，2r-2,满是网意.(0.y),/(x)0,不符合熟；.对于C当中=-/时，/(x)=2sin2%(多选)已知函数.X)=Sincost4与-2sin),则有关函数.x)的说法正确的是(A. 的图象关于点停(。对称B. /(K)的Ai小正周期为XCf(X)的图象关于直线X=器对称D./(N)的最大伯为5【3订
28、AB【鲜桁】目题可知U=sin2t+率COS2r=sin（2r+g.当X=；时.2v+=11,故函数f（x）的图第关于点停，0）对称,故A正瑜：多数x）的最小正周期7=竽=凡故B正确：当X=寿时.2r+尹号,所以函钻/的图象不关于直线K=/对称，故C错误；函数*）的最大值为1,故D惜谈.考点十六求三角函数的单羯区间【例16】（I）已知函数/（X）=COS-sin：.则（）A. /（）在（W-5）上船调递收B. /（x）（-J当上单调递增C. /在（o.3上单调递减D.侬在尊葡上单调递增函数y=sin俘一5）Ke1.2,2树的总调通M区间是.【毋案】C（2）-.y1.【解析】（1）由二倍南公式可
29、知5）=cos2-sin2=es2x.对于A选项,因为xG（-孑，一年）,所以2x（-11.一不）,故由数/（x）=COS2t在（一去D上单调递增,所以不正确;对于B选项,因为xW（一今书），所以2（一去!）.他函数/（x）=COSZx在（一：，当上不隼调,所以不正确：对于C选项，因为XG（0.1）.所以2Y（0.y）,故居（6=cos2x在（0.3）上单诩递减，所以正确；对于D选项，因为正俘患），所以级建，）,故函Q（X）=CosM在（：，匍上不单调.所以不正确.故选C（2）.v=Sing-；X）=-Sin（I鼻）由T+2inW；x卜弓+2履优eZ）.得一；+4HWxW号+4fac（kWZ）
30、.故在-2心2可上的单调递城区间是一争y归加点拨求较为复杂的三光多数的单调区间时，首先化简成y=Asin（sx+g形式,再求y=Asin（sx+g的隼调区间，只带把“x+0t作一个整体代入F=Si1.U的相应单调区间内即可.注意要先把。化为正教.对点训练1 .设函数fcG-2）则/（x）砸，打上的单调递减区间是（）aoIb-oIJD【解析】由巳知/=COs(ZV一号，2112-f211+11.ACZ.j+xfar+y,eZ.又o.卦.单调建城区间为伍f.2 .已知f(x)=2sine*+：)I(SO),若f(x)在一会和:单调递增，则的取位范围为【答案】213【解析】因为(x)=2sinj(A
31、.M=NB.三fC.NQMD.Af11N=0【答案】B【解杆】由于M中,x=180a45=-9()c+45=(2+1)45o.2+1.足奇数：而、中，x=-1.800+450=450+45=(*+1)-45,*+1是整数,因比必有Af=M2.已知角a的终边与总位硼的交点为一；，),则Sinatana等于()3-2BD【答案】C【解析】由0f=+V=,得y=李当产料.Sina=乎,tana=一6，比时Sinatanw一.V=9.Sina=(awz=3.sintan=-sinwtan=-3.已知廊形的周长是6cm,而积是2cm，则域形的周心角。的弧度数是()A.IB.4C.1或4D.2或4【咎案】
32、C【解析】设扇形的半径为rcm,孤长为/cm,J!+2r=6.S=r=2,第得r=2,/=2或r=1.,1=4,故=1.或4.故选C.4 .已知角与角的顶点都为坐标原点，始边都与.r轴的非负半轴取合，若角的终边与角的终边关于X轴对称,则下列式子一定成立的是()Asina=si?B.sin=oosy?C.cos=cos?D.CoSa=SiM【答案】C【解柝】由角的终边与角ft的终辿关于X轴对称，如a+A=2fa,Jt(三Z,故cos-cosJ.sina-si/.故选C5 .已知角Q的终边过点RSinI1.80%cos1180),则CgOa+6()=()ATBjC.ID.0【一案】A【解桁】设。为坐标原点,由题需题QH=On?1180+co：1180=1.sin=-j-=cos(1.(N)c+33600)=cos1.(X0=-sin1.=sin(-10).三=*湍JSim1000+3360)=Sin1.O0=COS100=CoM-IO0),.=-IO+i-36OaeZ),COS(3+60o=cos(300+3%365+60o=cos30=坐.故选A.6 .(20
