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1、7.8用空间向量证明平行与垂直结构旃)空向证平与直用间量明行垂HMF4三-判定方法如果我乐I1.零向破”的门向规段历任ft*ftFT1.r.布么弥向靖”垂直于平*idft*1.41.ftffHE1.StMt1.*的法向t心*JMk呐利小片耀向.力平闻的法向”.则求法向.的方膛册为：；：只需找出平行*tt.CJ1.GG1Gh1.9i1M千加的法向或就是平面的法线的方向向量课标要求精细考点素养达成1.能用空间向量语言描述直峻和平面,理解直城的方向向量与平面的法向，2运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系,能用向语言表述直线与直统.直线与平面.平面与平面的垂直与平行关系3.能用向量方法证明必修内容
2、中有关直统、平面位at关系的判定定理1.体会向方法和烷合几何方法的共性和差异.惠情向是研究几何问题的有效工具,体会向方法的优势方向向与法向量通过用空间向量表示直战的方向向量与平面的法向,培界学生的数学油象、直观线象、数学运算素养用空间向量证明平行通过用空间向判断直战与直统、直统与平面、平面与平面的平行关系，培养学生的或观想31.数学运算素养用空间向量证明垂直通过用空间向量判断直统与直线.直城与平面、平面与平面的里旗关系.培养学生的直观想象、数学运算素养线面严行”定其他方法共Iii定*：阳平面内的两个不共M1.量表示农谶方向向tI级面中f淞联定耳：直城的方臼向tttfu平面内的一条”?峭方向同t
3、f11j夯实1.(柢念掰析)下列结论正转的是().A.面送的方向向量是唯一婀定的B,若直战.的方向向量和平面“的法向平行,则n1.C,若Hhc是空间的一个基底,则ah中至多有一个零向量D.SabO,a,b是钝角答案B解析对于A,iS姣的方向向不是唯一的.有无数多个.故相误；对于C.若a,b,c中有一个是6则a,b.c共面,不能构成空间向量的一个基底,故C错误;对于U,若=X,则aMO,故U错误2.(对接教材)已知A(1.,1.,1.),B(0,2,0),C(2,3,1.),则直姣M的一个方向向为；(2)平面ABC的一个法向为.答案(1)(2,1,1)(2J3)(答案不唯一)解析(1)因为B(0
4、20),C(231),所以无X2.1)是直姣BC的一个方向向.设平面ABC的一个法向为n(xj.z),则:由(I)得前=(2),又沅=(1.2.0),所以j一取y=1.,f1.Jx=2,z=3,所以n=(2J3).3,(对接教材)在空间直角坐标系中,设平E1.经过点P(Zg.平IHa的法向为n(R.B.C),则平SIa的方程为.答案A(x)(yy,)K(z)=0解析设N(x,y,z)是平面a内的任意一点,则PKi=(xx,y*,zzJ.因为Ii是平面的法向量.所以nPM1Mf1.SnPM=O.BP(A.B.C)(xx,yy1.zz.)=O.H1A(xx,.)-*B(yy,)-C(zz.,)=O
5、,所以平面。的方程为(xx1JXyy,)C(zz,)0.4 .(易楣自H)(多选)在正四棱椎PABCD中MS分别是梗P,PHJ,C上的点.且丽=X而,丽=y而.K=Z元.其中x.y,ae(0.1,JIJ().A.当x=y=z时,平面ABCD平面MXSB.当x=1.,y=,z=1.时,PD平面啾SC.当x=,yg,z中立点DW平面MNSD.当X=Iy=I时$在z(OJ使得平面PAC：平面MNS答案BD解析对于A,当x=y=z=1.时.平面ABCD与平面MNS重合,A错误.对于B.当x=1.,y=,z=1.时对与A重合、与C重合,N为PH的中点,如图1,连接AC,BD,交于点0,连接0工因为四边形
6、AHCD为正方形.所以0为B1.)的中点,又为PH的中点,所以OPD,又ONU平囿ANC1P1.K平面ANC,所以PD平面ANC1BPPD”平面MNS.B正确对于C.如图巳连接MD工蜴设DC平面於S,又VG平面MXS,C平面於S,所以DvU平面1IXS,DU平面MXS,所以平面DMN即为平面必S,显然不成立,C错误.对于U.如图3.Pf)的中点Q,连接AC,BD.交于点0,连接QM因为四边形ABQ)为正方舷所以AC_1.B).因为0为正方形ABCD的中心.所以M，平H1.ABa),又BDC平面ABa),所以PO1.BhIPorIACaPo.ACU平面PRe.所以BDJ.平面PAC.因为Q.N分
7、别为PD1FB的中点.所以QXBD,所以QX，平面PA&又QU平面VXQ.所以平面MXQ，平面PAC.设PCr1.平面MQ=S,连接XS,QSNS刖平面MXS即平面MQ,所以平面MNSJ平面PACJ)正确.5 .(真题演缥)(浙江卷)如图.已知正方体ABCDA,BCD,MX分别是ARD,B的中点,则().A.直姣A1D与直姣I1.1B垂直,直姣MN平面ABCDB. 1.D.轴、y轴、Z轴的正方向,建立空间改角坐标系Dxyz.设正方体的楼长为2.JMA(2,0.0),C(0,0),D(0,0,0).M(1,0.1),N(1.1,0),P(1,2,1).由正方体的性所知,RDJ.平面CCDtD,所
8、以第=(2.0,0)为平面CCDD的一个法向.HMN=(O1I1I)1SrWMN而=0X2+1XOY1.)XO=0,所以而U冰又MSC平面CC1D1.D1MftMN平IBCC1D1D.(法二郦西丽而=d7a*D1D)D1D4(DAiDC)4(dcd).又因为灰力用在平面CCRD内且不共姣.所以而与元.印共面，又MxQ平面CCMD,所以M平面CC1D1D.(法三)由法二知而玩，丽)京,所以丽市，又DCU平面CCRDJEW平面CGDR所以/平面IT1D1D.(2)由(1)得而=1.平面HCDE.又BE.DEU平面HCDE,所以A1E1EDEBE.因为DEBE,所以AEED,BE两两垂直.以EB.E
9、D.EA,所在直姣分别为X轴、yW.Z轴建立空间或角坐标系.如图,易知AE=2,DE=2X所以A1(0.0,2),B(2.0,0),)(0123.0),C(J123.0).设P(X.0,0),平面A1DP的法向量为n=(x,y,2),因为=(0,25,2),布=(,0.2).所以I亚n=。,即5y2z=0,(A1Pn=0.1x-2z=0.令x=2,得y=,z=,所以n=(2,浮入r),设平面AIBC的法向量为5=(x,j3zJ,又福气2.0,2),前=(2,2、区0).啮式:啮:瑞,令x=2产内,则y1.=1.,所以11t=(3,1.3).因为平面,DPJ.平面A1BC.所以nn,0,即25X
10、T0,解得3.因为P(3,0,0)不在姣段BE上,故不存在该点.田ST点被运用空间向量探究立体几何中平行垂直策略空间向量是循合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无须进行复杂的作图.论证,推理,只需通过坐标运算进行判断.探究问题有探究条件和探究结论两栗问题,一般是“先设再求.回归物证”，即假设存在,设出参数,综合己知和培论列出等式,再求拿效.能求出咨数就存在.求不出就不存在.调练3如图,在四核椎PABCD中,CDJ.平面PAD,4PAD为等边三角形,短氏氏口=(：=2吃2,&1：分别为核11)*13的中点.试问梗PC上是否存在点G,使均DG平SIAEF?若存在.求提的值,若不存在,请说明理由.
11、解析取AD的中点0.连接。匕OB.由题意可得回01),且BC=OD.则四边形OBa)为平行四边形,可得OCD,fiCD.平面PAD,则OB平面PAD.由OpU平面PAD.得0P1.0,又因为A1PAD为等边三角形,且0为AD的中点,所以可得PD.又OBr)AD=O,0B,ADU平面ABCD,所以OP平面BCD.如图.以0为坐标原点.9A,0B,OP所在直线分别为X轴、y轴、/轴建立空间直角坐标系.JMA(1.,0,0).B(0.2,0),C(1.,2,O)J)(1.,O,O),P(O,O,5).E(.5Ay),H(,1.jy).三e=(-a,eF=(,i,o),.3InAE-x+-z0.设平面
12、AEF的法向为n=(x,y,z),则一J2nEF=-+y=0,令x=2,Jy=1.,z=23,BPn=(2,1.,23),又玩(12日),设而配(0石W1.).G(a,b,c),则而(a,b.c3).,a=,(a=一九可得b=2九解得b=2九c-3三-3IC=3(1.-),即G(,2入.3(1),可得由:轴、y粒、Z轴,建立如图所示的空间直角坐标位则A(0,1,0),U(3,0,0),C(011,0),D(310,0),A(010,3)1C1(0,2,3).锐设在直线CC,上存在点P,使BP平面DA1C,.设评=Cc7,P(x.y.z),W(x.y1.z)=(0,1.,3).即x=O,y=1.
13、+,z=3.从而有P(0.1+,3),BP=(3,1*,5).设平面DAC的法向为n=x1,y1.z1.).则nXAICIn1.D,又砧；(0.2.0),D;(3.0.3).：X=O.Kn=(1.0.1).因为BP平面DA1C1,所以n.1.BP1BPnSP=33=Q,解得=1,即点P在C1C的延长税上,且CoCP,使得BP平面DA1C1.(30一、单选题1 .(2023江苏常州校慑月考)已知空间向a(123)b(4,2,m).若Hbua,则m().AqBqC.吟答案A解析因为空间向a(1.,2,3),b(42m).(a*b)1.,所以Wb)aa，ab1-49(14*223n)0,则n竽2 .
14、已知平面。，6的法向量分别为n1=(2.3.5),n1=(3,1.,1.),f1.J().A.BB.BCaJS相交但不垂直D.以上均不对答案C解析因为n1An：,且n1.%=23O,所以u,6相交但不垂直.3 .已知直线a,b的方向向量分别为a=(A+1.,0,2),b=(6,2v1,2),且a#b,MX与U的值可以是().A. 2.IB.1,IC.3,2D.2,2答案Ax(+1)=6,解析因为ab,所以设b=xa,即2-1.三0.2x=2,解得I=H或=N(=21.=-3.4.已知四边形ABa)满足而BO.BCCDO.CDDO.DA-丽0.则该四边形为().A.平行四边形及梯形C.长方形D.
15、空间四边形答案D解析由丽BC0.82CDO.CDDO.D通0,知该四边形一定不是平面图形.二.多选题5,下列利用方向向、法向量判断竣、面位直关系的结论中,正侬的是().A,两条不康合直I1J的方向向分别是a(231).b(2.3.1),则1,/71B. I的方向向a=(1.1.2),平面的法向是u=(6,(1.).则】.，C.两个不同的平面C的法向分别是u=(221),v=(3,4,2),则aD.直线1的方向向量a(030),平面a的法向是u(01.5,0),M1#a答案AC解析对于A,两条不笠合直姣1“1的方向向分别是a=(2,3,1.),b=(231.),则b=“,所以a匕即1.1.,tt
16、A正确；对于I.两个不同的平面,B的法向分别是u(221),v(3,1.2),则UY=O,所以u_1.B.故C正碘|；对于B,一线1的方向向=a=。,1,2),平面”的法向量是u=(6,4.1).Mau16142(1)O1.Srtta1.u1BP1JftIU.故B错谟;对于D.直与1的方向向J1.U=(0.3.0),平面的法向量是U=(0,5,0).则u=a,所以ua,即H,ttDaW.6.在四面体PABC中,以下说法正确的有().A.若而=1版+；而则可知前=3而B.若Q为AABC的重心,则PCqP儿：PgfPdC.若正BC=O1PCAB-0.5EBAC=OI).若四面体PABC各梗快都为2
17、,M.N分别为PA1BC的中点,则MN=1答案AI1.C解析对于A,因为同3配+;而厮以3斤=近+2S,所以2而2丽=A615.所以2而=玩,所以3而=而+近即3BD前,故A正峭；对于H.若Q为aABC的重心.则QX+短+近=0,所以3pq+QA-Q由讹=3P所以3PQPA-PB*PC.BP同4万4而V同,故B正确；对于C.若而BC=O1PCAB=O.JMPABC+PCA由0.所以P1.BC-PC伍6画=0,所以PBCPpCB0,所以前BCpCP前0,所以(茄前，又C0,所以CABC+PCAd=O,所以AeCB+PCAd=O,所以AdGa前尸0,所以A(fPW=O,故C正弱：对于也因为而J=丽
18、而中方+明而中而+丽X),所以MNWPAPBPC,因为PAPBPC2=PA2PB2-PCPAPB2PAPC2PB正=2=+21+212X2X2xT2X2X2X+2X2X2xj=8,所以PAPBDd3,所以MN、故1)错误三、填空地7 .若a(0.2.),h(1,-1.,|).C(-2,1.，5)fiffi内的三点.设平面“的法向为a=(x,y,z).5Jx：y：Z=答案2：3：(1)解析AB=(1,-3,-j)1a=(2,-1,-3.I=一y,由a丽Oq前0,得3；即x：y：z*：、：(Ty)2：3：(4).卜=一8 .在正三棱柱ABCA1B1C中,侧棱长为2.底面边长为1,M为BC的中点,京
19、而,且AB明则实效的假为.答案15解析如图所示,取Bq的中点匕连接”,以前己丽,丽的方向分别为&轴、y柏、Z轴的正方向建立空间05角坐标系Mxyz.因为底面边长为1删棱长为2,则A(O,y,),B1.(4-2),c(,O,).C,(,0,2).M(0.0.0),因为讦i觉,所以心，o,)所以ABI=G/冬2).而J=&O,卷).又因为所以画MN=O,所以*=0,解得=15.四、解答JE9 .已知正方体ABCDABiD的校长为2,E,F分别是眼血的中点,求证:平面AIJE平面BCE解析以U为坐标原点J)ADC,DD,所在直线分别为X轴、)轴、Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系IJXyZ.则D(0
20、.0.0),A(2.0.0),C,(0,2.2),E(2.2.1.),F(0,0,1).8,(2.2.2).所以所=(0.2.1.),5X=葩=(2.0.0),Xg=(O21).设n,=*,Zj是平面ADE的法向,则11,DA.n1.AE.n1DA=21.=0,11AE-2y1.+Z10,Xi=0,z2y1.令i,=2.f9y=1.,所以t1.=(0,1.,2).设n(x,y,z)是平面B1C1F的法向量,JMFC.njC1.B,即R豆2yz+z20唠10In2C1B12x2三O,1.zX2令Z：=2,得1.=I.所以n：=(O1.2).因为n=n.,所以平面ADE平面B1C1F.10 .如图
21、,在四梭HPABCD中,底面ABeI)是正方形.费梭PD,底面ABCD.PD=1)C,E是PC的中点,过点E作EF1.PB于点R求证:(I)PA平面IiDB;(2)I,H1平面EFD.解析以D为坐标原点,射技DA,DCJ)P分别为X伯、y轴、Z触的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设DC=a.(1.)三ffiAC交BD于点G,连接EG.依题意篇1.)(0,(M).AS.0.0)J(0,0,a)(0,籍)因为底SJABCD是正方形.所以G为AC的中点.所以点G的坐标为,0)所以PK=(a,0,a).而=GQMPA=2EG.iA/7EG.而EGU平面EDBFAa平面EDB,所以PA平面E
22、DB.(2)依就意得B(a,a,0),3rttPB=(a,a.a).又够(叫所以而DE=O+YT=O1SrWPB1.DE,所以PBDE.由慧可知EF1.,B.fiEFnDE=E.EF.DEU平面EFD.所以PB工平面EFD.11 .(2024江苏南通如东学情检测)(多选)在槎长为2的正方体ABCDA趾R中MN分别为BD“BC的中点,点1在正方体的表面上运动,且满足MP1.CN.记点1的轨迹为Q,则().A.点P可以是侧面BCCB的中心B.Q是焚形C.我段Mp的最大值为?D.。的面积是2遍答案ACD解析如图所示,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DI),所在的直统分别为X轴、：；柏和？附.建立空
23、间直角坐标系,如图所示,可得D(O,O,OM(1,1,1)盟1,2,2),C(O,2,O),所以国=(1,0,2),P(x,y,z),则MP=(x1.,y1.,z1.),对于A中.当点P可以是侧面BC0B的中心,可得P(121),此时而(0.1.0).可得M户K=O,所以MPICN,所以A正确；对于H中.因为MPjG所以1.X(x1.)2(z1.)0.可得x2z30.当X2时.zg:当X0时,z1,取E(2,04),F(2Z。H(0,0,那(0,2垓),连接EF,FG,GH,HE,则前=瓶=(0.2.0),由=前=(-2,0,1).所以四边形EKH为矩形,则弹CN=O1EH丽=。和EF1CN.EHJ.CN.又1.1.和EH为平面IiEGII中的两条相交直赎,所以CN，平面EFGH1又由国前=(,1,故即前=沅,所以M为EG的中点,则MG平面EI-GH,因为点P在正方体的表固上运动.所以点1的轨迹为四边形EFGII.又由EF=GH=2,EH=FG=百.所以EFKEi1.则点1的轨迹为矩形,不是菱形,所以B错误；所以矩形Era1.的面枳SEFE1.i25,所以I)正晌：因为EG=EFZ+EHZ=3,所以M1.的最大值为权G=I,所以C正胸.
