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1、7.6二面角与面面垂直读标要求精细考点素养达成1.理解二面角的概念:和面面垂直的定义2 .以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解平面与平面垂直的判定定理和性质定理3 .能运用平面与平面垂直的判定定理、性质定理和已经获得的培论证明一些空间图形中的垂直关系的陆单命题求二面角通过求二面角,培养学生的遗箱推理.直混想象、数学运算素养平面与平面垂直的判定与性质通过平面与平面垂直的判定与性质的应用,焙养学生的逻辑推理.直观想象索养平行、垂直关系的综合运用通过平行与垂直关系的综合应用,培界学生的遗楼推理、直观理素界构植电厂定义T般地.如两个中制所成的.胤角是H4角.惠久我总这何个平画互和图形面面
2、垂直ntf性质定理两个平面T1.如果介平面内有-条鱼线率Kr这科个平面的俎.C么这条“城个面唯在a1.a111.ABdaAB1.I一/卬夯实墓碉1.（2024江苏期初调研）设m.n.1.是三条不同的S姣.u.B,丫是三个不重合的平面,有下列命就中.真命题为（）.A.若m_1.n.nJJ,则mi1.B.若QJ.3,BJ.Y,则UyC.n0,nn,n/!_1.BD,若nu,n/,则na答案C解析对于A,若“一n,n1.I,则m1或m,1.相交或叫1畀面,A错误;对于B,若aJ1.,J1.,RJa丫或，丫相交,B箱误；对于（.若rajn.M11a,又nB,则Q_1.B.C正鹤；对于1）,若nn,m/
3、Q1.MnUa或n/a,D错误.2 .（对接教材）如图,已知AB一平面HCD1BC1CD,则图中互相垂直的平面有对.答案3解析因为AB，平面BCD.ABU平面ABD.ABU平面ABC,所以平面ABDd.平面BCD.平面ABCJ_平面BCD.又ABMD,BCJ_CI）.ABnMB,AB,BCU平ISABC,所以CD1.平面ABC.又CDU平面ACD.所以平面ACDJ.平SiABC.3 .（对报教材）如图,在正方体ABa）A，B,CD,中：（1）二面角DAB1.）的大小为.（2）二面角AABD的大小为.解析在正方体ABCDABCD中,AB1平面ADDA,所以AB1AD,AB1AD.因it1.TD为
4、二面角DABD的平面角.在Rt（）AD中.NDAD45,所以二面角IrABD的大小为，15.（2）同理NAAD为二面角ARBU的平面角,因为NAAD90，所以二面角AABD的大小为904 .（易诺自纠X多送）如图,已知六楼世PABCDEI：的底面是正六边形下A_1.平面ABCFA=2ABJW结论正造的是（）.A.I,BADB.平面PAB平面1.,ICBC平面PAED.直段PD与平SiABC所成的角为45解析因为六边形ABCDeF是正六边形商以NI）RB60因为PA_1.平面ABC商以I,1AD.若PB1.m又PACPBP.则MU平BJPAB,故A1.）垂直于平面PAB内的任意一条直段,因虻AI
5、1.1.RH,这与NDAB60矛盾,故假设不成立.故A不正软因为PA_1.平面ABC,所以PA1.AB,在正六边形ABCDEF中,AB1.AE,PADAE=A,所以AB_1.平面PAE.又ABU平面PAB,所以平面PABJ.平面PAE澈B正确因为BCAADfADC3FBSPAE=A,所以BC与平面PAE不平行,故C不正确,在RtZXPAD中,PA=AI）=2AB,所以PDA=45,故1）正确.5 .(真就演妖)在正方体AHCDA1B1C1D中,EJ；分别为AB1BC的中点.则().A.平面B,EF150.显候CEnDE=E,CE,DEU平面CDE,于是AH平面CDE1XHC平面ABC1因此.平
6、面C1.)EJ.平面ABC,显然平面O)Er1.平面ABC=CE,直线CDU平面CDE,则直然CD在平面ABC内的射影为直城CE1从而NDCE为直蝶CD与平面ABC所成的角,令AB2.则CEIj)E3.CIH中.由余弦定理知CD=CE2+DE2-ZCEDErosZ-CED=11+3-2x1.x5x(y)=7,由正弦正理F浜F三，即SInNDa-节-WS然/DCE是锐角,COSDCE=1-SiMKDCE=J1.-(品)-所以直线CD与平面AIK所成的角的正切值为?平面与平面垂直的判定与性质典例2如图,在三核柱ABCW中AC，平面BC,ZCB=90证明:平面ACCA_1.平面BB1C1C;设AB=
7、AH,AA,=2,求四棱锥A1BU1C1C的高.解析（1）证明:因为Ac，平面AK,BCU平面AHC,所以A,C1.BC,又因为NACB90,即AC1.BC,又ACACU平面ACCAACnAe=C,所以HCJ,平面ACCA,又因为BCU平面I5CC1B11所以平面ACC）AJ平面IJCC1B,.如图,过点儿作MUCC.垂足为0.因为平SHCCNJ.平面BeCM,平E1.ACCAr)翠IBBCC1BCeMQU平S1.ACC1A.所以AQJ.平面BCC1B1.t所以四梭债ARBCC的离为AQ.因为AC1.平面ABC,AC.BCU平面ABC,所以Ae1.BCAC_1.AC.又因为,U=.B,BC为公
8、共边，所以aRBC与BC全等,所以,CAC.设A1C=AC=X1MA1C1=X1所以。为Cc的中点,0CTM=1.又因为A,C1.4C.所以AC+AC=AAj,即x+=2集得x=2,所以AQJAICbOCjJ()2U.所以四棱锥ABHCC的高为I.8 .面面垂潼判定的两种方法与一个找化(1)两种方法：面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问出.ISEj垂直的判定定理(ii_1.B.=1IB).(2)一个转化：在已知两个平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.首先在一个平面内作交姣的垂城,转化为姣面垂直.然而进一步精化为我践垂直.*定tt
9、9 .面面垂直性质的应用(1)证明线面垂直.运用时要注意“平面内的直线”，(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它行的交线也垂直于第三个平面.调练2已知三楼惟PABC(如图】)的展开图如图2.其中四边彩ABCD为边长等于近的正方形.AABE和ABCF均为正三角形.求证:平面PAe_1.平面ABC.Dg图I图2解析如图,取AC的中点0,连接H0.H).由用意可知PA=PB=1,C=2.I,0=AO=BO=CO=1,又AB=BC,所以BOAC.因为在APAC,PA=PC1O为AC的中点,所以PO1.AC.所以/POB为二面角PACB的平面角.因为在ZiPOB中fPO=1.,OB=1.,PB=,考
10、点所以PO1.OB=PB,所以P0B=9H,C的中点,所以FGBCFGwBC.因为四边形ABCI)为矩形,且I-：为AI)的中点,所以DE,BCJje=JBC.所以DEZZPG1De=I-G.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EFDG.又因为EFa平面PCDJ)GU平面PCD,所以EF平面PCD.超素号:能力丽)拓展点投影法求二Ei角典例如图,在四梭物PABCI)中,四边形ABa)是菱形,其中NBAD=60，平面MI)_1.平面BCD,其中APAD为等边三角形.AB1.M为粳,D的中点求异面直城PB与AM所成角的余弦值解析如图,设ACCBD=N,则点为BD的中点.连接,ftJGPB,所以NR
11、MM或其补角)是界面直皴PB与AM所成的角设AD的中点为连接OBQP,因为PD.BAD均为等边三角形.所以0P_1.AD,又平面PAD_1.平面ABCD.平面PADr)平面ABQ)=AD,0PU平面PAD.所以OP平面ABa),所以APOB为直角三角形，又因为OP=O=2/.所以PB2倔2押V吊.在aKN中Jw=AN=26川N=、由余弦定理可得CoSNA4*故异面目姣PB与AM所成角的余弦值为4调蟋如图.在五面体ABCDFE中,四边形ABEF为正方形,平面ABEF-1.平面CDFE,CDEF.I)P_1.EREF=2CD=2,DF=2.求二面角ACEF的正弦值.解析因为平面BII1平面CDFE
12、,平面ABEFC平面CI）FE=EF1.EFj）FU平面CDFE,所以即，平面ABER又AFU平面ABEE所以DFAI又因为AF1EF.DFEFF.W?ciFHCDFE.即U平面CDFE.所以AF_1.平面CDI-E.在平面CEF内过点F作FG1CE于点G.连接AG.则AG1.CE.所以NAGF为二面角MEF的平面角在ACEF中,CE=CF=,EF=2,由Sw=eFDF=-CEFG,得FG=苧.在AAFG中4GAR+FGZ=缥所以SinNAGF卷V,所以二面角ACEF的正弦值樽.（30一、单选题1 .已知平面,6和直线叫1.则下列命题正真的是（）.A.若aJ.B,u=n,1.j,!W11B.若
13、UCB=m,1.Uu,1.1.m,则】_1.f1.C.若_1.BJUa,则1J.BD.若J.B.11B=mUa_1.m,则1_1.B答案D解析对于A,若“；B,C6=m,11%则IUfJ或1P或1与口相交,故选项A不正确；对于氏若UCB=BJUJ1.m,则I与B相交但不一定垂改,故选项B不正确.对于（,若J.BU。，则IUP或16或1与U相交,故选项C不正侬；对于U,若1.1,=t.,由面面垂直的性质定理可知选项D正确，2 .已知两个平面3iiS,则下列结论正确的是（）.A. 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B. 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C.
14、一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面D.若过一个平面内任意一点作交税的垂畿.则此垂竣必垂直于另一个平面答案B解析如图,对于A,在正方体ABCDAMR中,平面ADD3平面ABCDADU平面ADD1A1BDC平面ABCD,但A1D与BD不垂直,故R错误；对于B.在正方体ABCDABcD,中.平面ADDA_1.平面BCD.1是平曲ADDA内任索一条直线,1与平储ABCD内和AB平行的所有直姣都垂直,故U正确：对于C,在正方体ABa）ABCR中.平面ADDR_1.平面ABCDMDU平面ADDA,但D与平面ABCD不烈酒.故C错误:对于仇在正方体ABa）ABeD中,平IaADD,A平面ABCD,且平
15、面ADD,n平的ABCDAD.过交ttAD上的任一点作交线的垂线1,则1可能与平面ABG）垂直,也可能与平面ABQ）不垂直,故1错误.3 .如图所示,在平行四边形ABa）中,ABIBDNBI）三HI）折起,使平面ABDJ平面Ba）,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为（）.A.1B.2C.3D.4答案C解析平面ABD1平面Ba）,平面ABDC平面IJCD=BD1AH1.BD.AHC平面MID,故B平面BCD,又ABU平面.W,故平面ABC_1.平面1?1）；又CIuBDeDU平面BCD,平面ABD_1.平面BCD.故CD_1.平面ABD,CDU平面RCD,故平面Aau
16、平面ABI）.综上所述,平面AB【）平面Im平面ABCI平面BCD,平面ACI）平面AHI）.4 .在正方体ABCDABCD,中二面角RBII）肉的正切值为（）.A.yB.yC.2D.2答案D解析如图.设Aq和旭相交于点0,连接AO.因为ABCDA1B1C1D为正方体.所以AC1.BD,AB1=AD.因为0为BD的中点,所以AO_1.BD.则/A0即为二面角ABnA的平面角.设正方体AHCDA1B1C;D,的边长为a,M.A,=a,0A,=ya1所以IanZAOA1-AAi-OA1.%二、多选题5 .如图,C=2R为DSO的直径,PCA=45,PA垂直于费O所在的平面,R为3S周上不与点,C集
17、合的点,AS1.PC于点SANJJB于点工则下列结论正鹤的是（）.A.平面ANSJ_平面PBCB,平面ANSJ.平面PABC.平面PABJ平面PBCD.平面ABCJ平面PAC答案ACD解析因为PAJ平面ABC1UCC平面ABG所以PA_1.BC.又AC为IBO的直径,所以AB1.BC又PAeAB=A,PA,ABU平面PAB,所以K_1.平面PAB.因为ANU平面PAB,所以fJCAN.又AX-PB,BC）PB=B,BC,PBU平面I1BC,所以ANJ平面PBC.因为ANU平面ANS,所以平IaRNS_1.平IaPBC.所以A正电C1.）显然正确，6 .已知Sj锥的顶点为P.底面圆心为O,AB为
18、底面直径.APB=12（,PA=2.点C在底面圆居上.且二面角PAa）为45,则（）.A.该IS饿的体枳为nB.该圆槌的侧面积为1.5xC.C-22D.PAC的面积为5答案AC解析依题意.NAPB120,PA2,所以OP1.0AOB3,选项.贡锥的体枳为JXXX（5）2i=n,A选项正确：B选项.21倍的侧面枳为HxJx225n,B选项错谡；C选现设I）是AC的中点.连接3）,PD.则AC1.OI）,ACJ.PD,所以NPDo是二面角PACo的平面角，则PI）0=45.所以0P=g1.,故AD=Q）=5=T=,则AC=2,C送项正鞋；DSIf1.1PDP+VI所以S,.2222.1）选项错误三
19、,填空就7 .,n表示IS城,u.,表示平面期出下列结论：若nJ.a.nB.m_1.n,则J.B：若J.B.ma,11J.B,则m_1.n；若=n,rc,nm,Mn1.B；若1,m1.a,n.,则n1_%故含）正确；对于,若。=11,nCO,n_1.It.如正方体中,平面ABmrI平面ABCD=BC,ABU平面ABCD,AB_1.Be但AB与平面AK1.）I不垂直.故国误；对于.aP,a=n.=n.如正方体中.平面ABC1.），平面ADD,A.平面ABCDC平面BCD.=BC,平面ADUA1平面BCDAD,但BCAM故:错误8 .如图.在四棱鞋PABa）中,四边形ABa）是边长为2的正方形,（
20、SPAB是等边三角舷I1.CID则平面PAB与平面ABCD的夹角为.答案I解析分别取AB.CD的中点F.G.连接IT1PG1FG.因为侧IBPAB是等边三角形,PC=PD2,四边形ABCD是边长为2的正方形.所以I1B,PG1.1.）C,B1.FG,PI=3,PG=1.FG=2,又PFIAB,AB1.FG,平面PABC平面ABCD=AB,所以NPFG是平面PAB与平面ABa）的平面角.又PF5j6I1FG2,所以皿样嚅含魏吉享所以NPFGa所以平面PAB与平面ABCD的夹角为士D四、解答题9 .如图,在矩形ABg中,AB=2AD=1.:是B的中点,沿DE将aADE折起,得到如图所示的四楼谊PB
21、CDE.(1)若平面PI)E_1.平面HQ)E.求四棱鞋PBCDE的体积：(2)若PBPC,求证:平面PDEj平面BCDE.解析如图所示,取DE的中点M总接IM由这意知.PD=PE.所以PM1.DE1又平面PDEj_平面HCDE,平面PDEn平面BCDE=DE,PMU平面PDE,所以PMJ平面BCDE,即PM为四桢锥PBCDE的高.在等陵直角三角形1.,1.)1.中.PEPDAD2,所以PM3比2.直角梯形BeDE的面积SW(BE+CD)BeWX(2+4)X2=6,所以四棱幡PBCDE的体枳=1PMS(I影=26=22.取BC的中点工连横1.,X.M,RHCMX.因为PB=PC所以BC_1.P
22、M因为MNnPN=NMN,PNU平面PWi,所以KJ平面PMX.因为PNU平面PM工所以UC1.PM.(1.)ff,PMIDE1又Ba)EU平面HCDE,且HC与DE是相交iS姣.所以PN_1.平面BCDE.因为PMU平面PDE1所以平面PDE，平面BCDE.10 .如图.在四棱椎I1ABCD中.PA_1.平面ABCDJ,BBC3.ADCDI1ZADC120.M是AC与BD的交点,点N在线段PB.fiPNwPB.(1)求证:冰平面PDC.(2)在姣段BC上是否存在一点Q,使得平面平面PAD?若存在,求出点Q的位置：若不存在.请说明理由.解析(1)在四边形ABCD中.由AB=BC=b.AA=CD
23、=I,可得1AHD9ACBD.所以AC_1.BI).且M为M的中点.由AD=OM,NADC=I20”，可得1.*=CDcos6(T=,AC=2CDsin60v=3,f1.BM=y3=.由黑嘿号可得.咆而MNC平面PDC1PDC平面PDC.所以心平面PDC(2)存在,Q为BC的中点.理由如下:过点M作ME1.AD,垂足为点E,延长EM交RC于点Q连接QE,如图所示.由PAI平面ABCD,EQU平面ABCD,可得PA_1.EQ.又E。1.ADFAnAD=A,PA,ADU平面PAU,所以EQI平面PAD.又EQU平面MQ所以平面HQ_1.平面PAD,故存在这样的点Q.在RtZXDME中,NEMD=9
24、0-606=30.在ABQM中,NQBM=NBMQ=3(,NBQV=120,由B.雪得B喏T1.3musni4uVS，即Q为取的中点,则当Q为BC的中点时,平面VXQ；平面PAD.11 .(2024广东海江期初改煽)已知正方体ABa)ABcD的各顶点均在表面积为12Ji的球SJ上,P为该球面上一动点,当平面MA,，平面CBD时,点1,的轨迹长度为.答案2311解析因为该球的表面枳为4Xr1=12%,故半径r=5,且正方体的核长满足(2r)：=3a：=1.2,故粳长为2,易知AC平面CBID“且平面PAA平面CBD,PAU平面PAR,故P的轨迹为矩形AACC的外接圆,其周长为211r=2311.
25、12.坡屋顶是我国传统建筑造弟之一.藐含着丰富的数学元素安装灯带可以勾勒出建筑轮廊,展现造型之美.如图，某被格顶可视为一个五面体.Jt中两个面是全等的等腰梯形.两个面是全等的等耀三角形.若AB25n.BC)IOm,且等股栈形所在的平面、等腹三角形所在的平面与平IaABa)的夹角的正切值均为学.则该五面体的所有棱长之和为().A.102nB.112mC.117mI).125n答案C解析如图,过点E作EO平面ABa),垂足为仇过点E分别作EGRe,EM：AB,垂足分别为GM连接OGQ1./H由匙意得等腺梯形所在的面、等展三角形所在的面与底面夹角分别为NEwO和NEG0.所以ta11ZEK)tn11ZEG0-.因为EOJ_平面.MJCD.BCC平面ABCD,所以EOBC,因为EG1.BC,EO,EGU平面I-OG1EOEG-E1所以BC1.平面EoG,因为OGU平面EOG,所以BC_1.OG.同理QV1.网又BMIBG,故四边形OMHG是矩形，所以由BC=IOm得Oy=5m,所以EG=14”,所以OG=5m,所以在直角三角形EOG中,EGEO2+OG2=J(11)2+5z=39m,在直角三角形EBG中,BGOM5n.EBEG?+BGZJ(39)2+52811.又因为EF=AB55=2555=15(),所以所有棱长之和为2X25+2X10+157X8=117(n).
