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1、8.6双曲线夯实F.Fj实物与V1.等K的双曲线叫作等轴双曲纯曲的义双线定3-2a-F1F1W.VUf虺1QM戊的两条射线标准方程-=-=I,三0t0图形7(、ySF4F1.性电IEMx0,reRb0,1.GR财Ittt关干&httw,关于晚点中心财林侬(u,0).(-a,0)(0.a),(0.-f1.)(c.O).(-c.0)(0tr),(0.-c)Mw2.AMK2*Ji2c*检ZMa肉心率=卷W1.2),1.2开11嫉大HfSfiyc双曲线的标准方程与几何tt质就双ft我TiiSp=P-H3-新近线tt*ft以已知双曲蝇的燎除为实轴、实轴力It1.W”曲埃叫作用双曲蛭的共旋“曲蝶互为共粕双
2、”的i而S线相Mq肉心里的例数的平方和为1课标要求精细考点素养达成1. r解直曲戏的实际背景,礴受双曲线在刻由现文世界和解决实际问题中的作用2. 了解戢曲级的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质3. 通过双曲线的学习，进步体会数形结合的思想双曲线的定义及其应用通过双曲城的定义及应用,培养直观想象核心索养双曲线的标准方程通过求双曲找的标准方程,培养饮学运。索养双曲戏的几何性质通过运用双曲线的几何性质，培养数学运打素养1.(循念辨析(多选)以下判断正的的是().A.平面内到点R(0,4),F0,nO,0)的渐近线方程唔*0,WJ=OD.共短刈曲线的离心率分别是e,.e,则科J双曲线1,j
3、1.称为共粕曲线)答案ACD2 .1对接教材)已知双曲注4力；+64=0上一点M到它的一个焦点的距离为3,则点M到另个短点的距离为.答案19解析双曲戏=0可化为白1,所以有a=8,则MF1%|=16,不妨设WI=3,则MFJ=负债1.1.舍oIo去).3 .(对接教材)已知双曲城的对林轴为坐标轴,两个顶由间的矩尚为2,焦点到渐近我的距离为I则双曲税的标准方程为.答案x*1.或号=1解析I1.iaBSJJ1.a1.,b、所以双曲战的标准方程为X号=1或y：41.4 .(易错自的)己知双曲级的两条渐近我的夹角为60“，双曲线的离心率为.答案2或竽解析因为两条渐近线的夹角为60所以赛后吟率又cj=a
4、b所以e=J1.+g=2或e岑.5 .(直题演猿)(2023全国甲卷数学)己知女曲博昌MaO,bO)的离心率为后其中一条渐近战与B1.(x2)j+(y3)1=1.交于A,B两点,则IAB1.=().AwB,C.等D.华答案D解析由e=百.符1=5.解畔2.所以双曲坡的一条渐近处不妨取y2x,则圆心(2,3)到率近战的即.幽d与言耳,所以弦长AB?=2E1.=联.能妇横型建构)双曲线的定义及应用典例1已知削C:(x+3)yJ和例C,:(x3)W9,动况M同时与IaC,及圈C相外切,则动B1.Ia心M的轨迹方程为.设F11F：分别为双曲戏噂。1(a0,b0的左、右依点,过F,的立戏交双曲跳C的左支
5、于A,B两点J1.AR=3.IBFj=5.AB=4.则双曲线C的傣距为.答案Dx：导I(XWI)(2)T解析(1)如因所示，设动圆M与BIC及圆G分别外切于点A,B.根据两圆外切的条件,得I此ACj=IMAI,MCBC;=MB.因为IMA=IMBI.所以IMCJ1.AaI=IMC,|BCmi(CI1.1.1.CJ=IB1.AC,1=2.所以点M到两定点C,C的距离的茏是常数且小于C1C316根据双曲线的定义,得动点U的凯速为曲戏的左支(点MG的如青火,与C的距离小)，其中a=1.,c=3,则b=8.故点M的轨迹方程为x1.(x1.).由IAF,I，IBF,I=5,1ABIU,知IAFF+1AB
6、I三IBF,所以aRBF:是以NBAF:为口角的直角三角形，设F=2B.Ky2)Cf1.D.1.已知F“F：分别为双曲线C:xy=2的主、右焦点,点P在C上IPFJ=21PFJWJPF；筋的值为.答案(I)A(2)12解析2)(2)由双曲投的定义的I11PR=PR=2a=2I所以IT1I=2PFJ=4I叫COSZF1PF:=IPFI1.2+PF2ZFF2Z.(4Z2+(2吵)JM_32PF1PF224224所以苗的=IPEPEcosZE,IT1=16=12.考点双曲线的标准方程典例2(1)经过点P(3,27),Q(62,7)的双曲线的标准方程为.已知双曲战C:第1QO,b0)的一条渐近城方程为
7、、务且经过点(2、闻则双曲线C的方程为.答案(1)1(2)1解析(1)设双曲战方程为MXJny=1(mMO),因为所求双曲戏蛉过点P(3,27),的值,即“先定位,再定格”;如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为(n0,n0,#0),再根据条件求卜的值.注意：双曲线与椭网的方程均可设为mxny=1.n0.其中当m0,n0,且nn时衣示幡加：当，水。时友示双曲线.合理使用这种形式可避免讨论.(2)常见双曲/方程的设法：已知ab的双曲城方程可设为x:yX(0)：已知过两点的双曲双方程可设为AxBy=1.(ABO);已知渐近线为事土轲)的双曲线方程可设唁左(0).训练2(D羟过点(3.1),且时球
8、轴是坐标轴的等轴双曲畿的标准方程为.(2与锦1共焦点且过点P(2.1)的双曲蛀的标准方程是().A.守=IB.方=1C.=1.D.x=1.答案(1)1(2)BOO解析设等轴双曲浅的方程为XY=(A0),乂双曲戏过点A(3,D,所以X=3(D*=8,故所求的标准方程为=1OO(2) (法一精圆y：=1.的焦点坐标是(I0).设双曲战的标准方程为摄。1(a0,b0),因为双曲线过点P(2,D,所以3*1.又a、b：=3.解得abi=1.,所以所求女曲戏的标准方程是9=1.(法二)设所求双曲城的标准方程为号1(10.b沏的,条渐近我过点(1.5),且双曲线的虚轴长为41则该女曲线的().A.渐近战方
9、程为x5y=0B.焦点坐标为(4,GC.实轴长为8D.阳心率为2(2)己知双曲找C：W91(m)。,n0)的离心率与黠礁号*1的幽心率互为例数,则双曲戏C的海近战方程为().A.4x3y=OB.3x4y=OC.4x3y=O或3x4y=OD.4x5y=0或5x4y=O设双曲戏需=1(aO,bO)的左、右焦点分别为F“F”P为该双曲戏上一点H2PFJ=3PE1.,若NEPF,=60.则该双曲线的离心率为.答案(I)BD(2)A(3)7解析双曲型1(a0.b0)的淅近线方程为y；x,由一条渐近线过点(1,扬，可射3.由双曲戏的虚轴长为6,可得1.=23,所以a=2,It1.bi=16得c=4,从而c
10、=2.(2)由即意知，楠明中a=5,b=4,所以精圆的离心率e=J,所以双曲我的离心率为J1.+=,解得宗,所以双曲线的渐近坡方程为y=.W3y=o.因为2PF,=3PFJ所以由双曲线的定义知，PF,PFh2a,ttPF,-6,PF,Ma,在aPFR中，山氽弦定理得4c：=36a+1.6a：26a4acos601.化简整理得到c=7a,故e=v1.7.1 .求女曲线的施心率时,将提供的女曲建的几何关系转化为关于双曲践基本量a.b.c的方程或不等式,利用=a+b和C弓转化为关于C的方程(或不等式)，刻过解方程(或不等式)求得掰心率的值(域范曲).2 .求立曲线的渐近线方程时,利用c=a：+b：转
11、化为关于a.b的方程.双曲崂5=ig0.b0）渐近线的斜率与唱心率的关系:k=土隼M后;=土、西.训缄3（1）（2023江苏南京校联考阶段练习）己知双曲戏C:x=1.,左、右依点分别为F“FJ为双曲端上一点,则下列结论正确的是（）.A.用心率为5B.而近线方程为y2xC.虚轴长为4D.若%；=3,则PR1.=5答案BCD解析对于A,已知双曲线c：x?i则吟7小向选项幡误;对于B.譬=2.所以渐近线方程为y=2x.B选项正确:对于&虚轴长2b2X24,C选项正确;对于D.由定义可知11PF1PF1=2a=2,若II,=3,则IPF：=5或IPFJ=Kca=AM舍）.D选项正确.若双曲缆1.（a0
12、.bX）上存在一点P满足以OP为边K的正方形的面积等于2ab（共中。为坐标原点）.则双曲城的窝心率的取值范困是答案-o）解析由题意，IOP1.=y2b,ZiOPa,则际*,W2aba,得2ba,所以1.b,=1.（c）所以捺衿,所以Ce享即C的取值范用是由+三）拓展点%）素养能力提勘立曲线的焦点：角形双曲线上的一点P与女曲线的两个焦点F“，作为顶点构成的+：；叫作焦点三角形.在处理焦点三角形同邀时,常把正、余弦定理同立曲线的定义相结合.求解相关问遨.典例已知F“员分别为双曲线C:XY2的左、右焦点，点P在C上，NF,PF：60,则,PF；的内切削的半径为解析不妨设由P在双曲线的右支上，则PFI
13、.=2a=22.F1F,=2c=4,在ZXFJT:中，由余弦定理,ftCoSNFPF.上喘耗萼吟,2PFPFz1.2所以IPFJPF=8,所以SAFI叫甲PFJ|PF11sin6,=25乂PF,I*IFF.I=J(IPF1I-IPF2I)2+4PF1PF2=210.SAFiPF2=|r(P+PFj+2c)=IU+2r=2I碗，523双曲线抬1.(aabO)的“保电三角形”行以下结论：(D若/FFE=.则AFPF:的面枳SAP6匕言.(2)焦点三角形PFE的内切圆与X轴相切的切点恰好为双曲线的一个顶点.(一在焦点三角形PFH中.利用IPF1IP-I=2aF用=2c.借助余弦定理、正弦定理进行转化
14、,可求得离心率的假或取假范困,常将PF.PFJ2a平方建立与下F,行的联系.训练已知在RtABC中.ZA=3Oj.则以A.B为“.I1.经过面角顶点C的双曲线的海心率为.答案3H解析由正弦定理嗯喘喘根据JS就近曲线的离心率e濯扬1.一、生选咫1 .若双曲线的小近线方程为y=3x.实轴长为2a=2,且焦点在X轴上,则该刈曲线的标准方程为().A,x1.=1.B字=IGx=iDa答案C解析由电可喷J2解得：纲为焦点在X地上,所以双曲线的标准方程为x*1.2 .若方程;51表示双曲蝶,则实数m的取值范围为().m5zm-oA.(5.+)B.(1.,+8)C.(4,5)D.0,解得m5或m0,b0)的
15、鬻心率。是它的一条渐近线斜率的2倍.则e=().A.23B.&C.竽0.2答案C解析由SS意可知*2吟即c=2b,则%解喏孚所以双曲线的禹心率C-苧.4 .(2023-南京师大附中校考模拟预测)已知点A.R是双曲线cW3=MaO,b0)的左、行顶点,过点B作Wi斜角相的直畿1交C于点P,点M是废段AP的中点.若IoM=OAI,则该双冏注的离心率为().A.2B.3C.2D.百41答案A解析易得O是线段B的中点,又点M跄线段AP的中点,则OM/7PB1又IOMOA.W1.ABPB*2a,作M1.C轴于点Q.又NPBQ3则BQ=a,国=5a,则P(2a,5a),代入C的方程可香竽等1,解得b=n,
16、.故一心率为Cq=J1.+臣二、多选Jg5,已知点P是双曲线喘I的右支上一点,FJ,分别为双曲线E的左、右焦点,NFE的面枳为20,则下列说法正确的有().A.率近线方程为y=xB.幽心率C点P的横坐标为竽D.APFR的周长为空答案BCD解析渐近线方程为y=Jx.A的:c=5,故离心率e=.B错;双曲线的a=4.b=3,c=5.不妨设P(n.n),(,n0,由aPFR的面枳为20,可得/FEIn=Cn=5n=20,即n=4.由哈豹,可得m冬故C正确；由P偿,4),且R(5,O),PK5,O),由呻+1PFhmT串河每号等则APFR的周K5y+10=y,故I)1E4.6.在平面有角坐标系Xoy中
17、,双曲线C的供电F位于X轴上JI双曲线C与双曲城E:y=O.b0),则占享所以双曲线C的掰心率为J1.+辞萼,所以选项A错误；时于选项B,只育激近或相同，不能说明虚、实轴互换,所以选项B借误；对于选项C,由双曲戏C与双曲线E:y争有相同渐近线,则双曲战C的标准方程可设为“=(X。)，因为双曲线C经过点(3.1),所以X=2,所以双曲线C的标准方程为)f=1.选项C正确：对于选项几双的戏C的渐近战方程为xyf3y0,因为供电到渐近线的距阳为2,所以呼2,解得4.所以双曲线C的标准方程瑞:1.选项1)正现.三埴空题7.任平面百角坐标系Xoy中,动点P与两定点(1.o)和(1,0)连践的斜率之枳等于
18、8,则点P的轨迹方程为答案1.(y0)解析设P(x,y),则两斜率之枳khEW18,所以x=1.乂因为P不与两定点重合,所以y0,所以点P的轨选方程为x=1.(yO).8,记双曲戏C:%=1.(aQ,b0的禹心率为c,E啼足条件fiEy=2x与C无公共点”的C的一个值为.答案2(答案不唯一,可以收,内任意值)解析双曲战C(a0,b0)的幽心率为C,C弓双曲戏的率近线方程为y=+；x,由直线y=2x与C无公共点.可得沁.即幺4.UPr4,可知1.eWS,故满足条件“宜我y=2x与C无公共点”的C的一个假可以为(1,A内任总值，比如取2.P1.解答题9 .已知C:(x+3)2y-=8,A(3.0)
19、,Q是E动点,AQ的垂直平分线交直线CQ于点M.设点M的轨迹为E.(D求轨迹E的方程；过点A作帧转向为演出线I交轨迹E于B.D两点,求BD的破.解析(I)如图.由通意得.当M在CQ的盘长税上时，MCMA=IMIQ=!CQ2223,当M在QC的延长线上时,MC1.=MQMC=CQ=22G的左、右依点,过F：作廉宜于X轴的底线，在x轴上方交双曲线C于点乩NMFFt=30.(D求双曲线C的方程；(2过双曲浅C上任意一点P作该双曲戏两条渐近浅的率战,率足分别为P“P”求而；丽的值.解析由踵易知匕(m.0),可设M(+bj,y,).因为点1在双曲线C上且在X他上方,所以1.+b=1.,得y1b,所以MFjb:,在RtMFsF,P.ZMF1F,30,M1.b:.所以MF2b.由双曲戏的定义可*B.IMF1IIMF1I=b=2a三2,故双曲找C的方程为x%.(2)易知两条渐近践方程分别为1.,:0xy=O,1.5x+y=O.设双曲线C上的点P1&ab0)的右顶点为A,x轴上有一点Q(2a,0),若C上存在一点P(不与A重合)，伐而K0,则此双曲我点心率的取的范围为.答案(1.y)解析设点P的坐标为(x,y),W1.I1.1.APPQ=O.AP1.PQ.则点P在以AQ为直彼的13上，即(吟)胃=，：乂点P在双曲戏上,得抬=1,由消去y.得aas2bi,ad即W2cfy,所以离心率e4三(1)
