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1、第一章 随机事件及其概率一、随机事件及其运算1. 样本空间、随机事件样本点：随机试验的每一个可能结果,用表示；样本空间：样本点的全集,用表示；注：样本空间不唯一.随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集,用A,B,C,表示；必然事件就等于样本空间；不可能事件是不包含任何样本点的空集；基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2. 事件的四种关系包含关系：,事件A发生必有事件B发生；等价关系：, 事件A发生必有事件B发生,且事件B发生必有事件A 发生；互不相容互斥： ,事件A与事件B一定不会同时发生。对立关系互逆：,事件发生事件A 必不发生,反之也成立；互逆满足注：互不相容和对立的关系对立事件一
2、定是互不相容事件,但互不相容事件不一定是对立事件。3. 事件的三大运算事件的并：,事件A与事件B至少有一个发生。若,则；事件的交：,事件A与事件B都发生；事件的差：,事件A发生且事件B不发生。4. 事件的运算规律交换律：结合律：分配律：德摩根De Morgan定律： 对于n个事件,有二、随机事件的概率定义和性质1公理化定义：设试验的样本空间为,对于任一随机事件都有确定的实值P,满足下列性质： 非负性： 规范性：有限可加性：对于k个互不相容事件,有.则称P为随机事件A的概率.2概率的性质若,则注：性质的逆命题不一定成立的.如若则。若,则。三、 古典概型的概率计算古典概型：若随机试验满足两个条件：
3、只有有限个样本点,每个样本点发生的概率相同,则称该概率模型为古典概型,。典型例题：设一批产品共N件,其中有M件次品,从这批产品中随机抽取n件样品,则在放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品不妨设事件A1的概率为在不放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品不妨设事件A2的概率为四、条件概率及其三大公式1.条件概率：2.乘法公式：3.全概率公式：若,则。4.贝叶斯公式：若事件如全概率公式所述,且 .五、事件的独立1. 定义：.推广：若相互独立,2. 在四对事件中,只要有一对独立,则其余三对也独立。3. 三个事件A, B, C两两独立：注：n个事件的两两独立与相互独立的区别。相
4、互独立两两独立,反之不成立。4.伯努利概型：1.事件的对立与互不相容是等价的。X2.若则。X3.。4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。5. n个事件若满足,则n个事件相互独立。6. 当时,有P=P-P。第二章 随机变量及其分布一、随机变量的定义：设样本空间为,变量为定义在上的单值实值函数,则称为随机变量,通常用大写英文字母,用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质1. 定义：设随机变量,对于任意实数,函数称为随机变量的概率分布函数,简称分布函数。注：当时,X是离散随机变量,并有概率函数则有 X连续随机变量,并有概率密度f ,则.2. 分布函数性质：1F是单调非减函数,即对于任意x
5、1x2,有；2；且；3离散随机变量X,F 是右连续函数, 即；连续随机变量X,F在-,+上处处连续。注：一个函数若满足上述3个条件,则它必是某个随机变量的分布函数。三、离散随机变量及其分布1. 定义. 设随机变量X只能取得有限个数值,或可列无穷多个数值且,则称X为离散随机变量,pi为X的概率分布,或概率函数 .注：概率函数pi的性质:2.几种常见的离散随机变量的分布：1超几何分布,XH,2二项分布,XB,当n=1时称X服从参数为p的两点分布或01分布。若Xi服从同一两点分布且独立,则服从二项分布。3泊松分布,四、连续随机变量及其分布1.定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I,且存在非负函
6、数f,使得对于任意区间,有则称X为连续随机变量; 函数f 称为连续随机变量X的概率密度函数,简称概率密度。注1：连续随机变量X任取某一确定值的概率等于0,即注2：2. 概率密度f 的性质：性质1：性质2：注1：一个函数若满足上述2个条件,则它必是某个随机变量的概率密度函数。注2：当时,且在f的连续点x处,有3.几种常见的连续随机变量的分布： 均匀分布, 指数分布, 正态分布,1.概率函数与密度函数是同一个概念。 X 2.当N充分大时,超几何分布H 可近似成泊松分布。3.设X是随机变量,有。4.若的密度函数为=,则 第三章 随机变量的数字特征一、期望或均值1定义：2期望的性质：3. 随机变量函数
7、的数学期望4. 计算数学期望的方法 利用数学期望的定义； 利用数学期望的性质；常见的基本方法：将一个比较复杂的随机变量X拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.利用常见分布的期望；1方差注：D=EX-E20；它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D值越大,表示X取值越分散。2方差的性质 对于任意实数CR,有 E 2D当且仅当C = E时, E 2取得最小值D. :设X的数学期望E 与方差D 存在,对于任意的正数有或 3. 计算 利用方差定义； 常用计算公式 方差的性质； 常见分布的方差.注：常见分布的期望与方差1.若XB, 则E=np, D = npq;2. 若3.
8、 若XU, 则4. 若5. 若三、原点矩与中心矩总体X的k阶原点矩：总体X的k阶中心矩：1.只要是随机变量,都能计算期望和方差。2.期望反映的是随机变量取值的中心位置,方差反映的是随机变量取值的分散程度。3.方差越小,随机变量取值越分散,方差越大越集中。4.方差的实质是随机变量函数的期望。5.对于任意的X,Y,都有成立。第四章 正态分布一、正态分布的定义1. 正态分布概率密度为其分布函数为注：.正态密度函数的几何特性：2. 标准正态分布当时,其密度函数为且其分布函数为的性质：3.正态分布与标准正态分布的关系定理：若 则.定理：设则二、正态分布的数字特征设则1. 期望E2.方差D3.标准差三、正
9、态分布的性质1线性性. 设则；2可加性. 设且X和Y相互独立,则3线性组合性 设,且相互独立,则四、中心极限定理1.独立同分布的中心极限定理设随机变量相互独立,服从相同的分布,且则对于任何实数x,有定理解释：若满足上述条件,有1；32. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理设则定理解释：若当n充分大时,有1；21.若则 X 2.若则 3.设随机变量X与Y均服从正态分布：4.已知连续随机变量X的概率密度函数为则X的数学期望为_1_; X的方差为_1/2_.第五章 数理统计的基本知识一、总体 个体 样本1.总体：把研究对象的全体称为总体 .它是一个随机变量,记X.2.个体：总体中每个研究对象称为个体.即每
10、一个可能的观察值.3.样本：从总体X中,随机地抽取n个个体, 称为总体X的容量为n的样本。注： 样本是一个n维的随机变量； 本书中提到的样本都是指简单随机样本,其满足2个特性： 代表性：中每一个与总体X有相同的分布. 独立性：是相互独立的随机变量.4.样本的联合分布设总体X的分布函数为F,则样本的联合分布函数为 设总体X的概率密度函数为f , 则样本的联合密度函数为 设总体X的概率函数为, 则样本的联合概率函数为二、统计量1. 定义 不含总体分布中任何未知参数的样本函数称为统计量,是的观测值.注：1统计量是随机变量； 2统计量不含总体分布中任何未知参数； 3统计量的分布称为抽样分布.2. 常用
11、统计量1样本矩：样本均值 ； 其观测值 .可用于推断：总体均值E.样本方差 ; 其观测值 可用于推断：总体方差D.样本标准差其观测值 样本k 阶原点矩其观测值 样本k 阶中心矩其观测值 注：比较样本矩与总体矩,如样本均值和总体均值E；样本方差与总体方差D；样本k阶原点矩与总体k阶原点矩；样本k阶中心矩与总体k阶原点矩. 前者是随机变量,后者是常数.样本矩的性质:设总体X的数学期望和方差分别为,为样本均值、样本方差,则3.抽样分布：统计量的分布称为抽样分布.三、 3大抽样分布： 定义.设相互独立,且,则注：若则2性质可加性设相互独立,且则2. t分布： 设X 与Y 相互独立,且则注：t分布的密度
12、图像关于t=0对称；当n充分大时,t分布趋向于标准正态分布N.3. F分布: 定义. 设X与Y相互独立,且则 性质. 设则.四、分位点定义：对于总体X和给定的若存在,使得则称为X分布的分位点。注：常见分布的分位点表示方法1分布的分位点 2分布的分位点 其性质：3分布的分位点其性质4N分布的分位点有第六章 参数估计一、点估计:设为来自总体X的样本,为X中的未知参数,为样本值,构造某个统计量作为参数的估计,则称为的点估计量,为的估计值.2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.二、矩估计法1.基本思想: 用样本矩原点矩或中心矩代替相应的总体矩.2.求总体X的分布中包含的m个未知参数的矩估计步
13、骤： 求出总体矩,即； 用样本矩代替总体矩,列出矩估计方程： 解上述方程或方程组得到的矩估计量为：的矩估计值为：3. 矩估计法的优缺点： 优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式. 缺点：没有充分利用总体分布提供的信息；矩估计量不具有唯一性；可能估计结果的精度比其它估计法的低三、最大似然估计法1. 直观想法：在试验中,事件A的概率P最大, 则A出现的可能性就大；如果事件A出现了,我们认为事件A的概率最大.2. 定义 设总体X的概率函数或密度函数为或,其中参数未知,则X的样本的联合概率函数或联合密度函数或称为似然函数.3. 求最大似然估计的步骤：1求似然函数:X离散：X连续：2求和似然方程：3解似然方程,得到最大似然估计值：4最后得到最大似然估计量：4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法,但是它需要知道总体X的分布形式.四、 估计量的评价标准1.无偏性:设是未知参数的估计量,若,则是的无偏估计量,是的无偏估计值。有效性:设和是未知参数的无偏估计量,若,则称比有效。1.若是来自总体X的样本,则相互独立. 2.不含总体X的任何未知参数的样本函数就是统计量. 3.样本矩与总体矩是等价的。 X 4.矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩,故矩估计量不唯一.设总体,则估计量分别是的无偏估计量.
