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1、专题12分段函数与二次函数的单调性目录解题知识必备情武:未定义书签.压轴题型讲练3题型一、已知二次函数单调性求参数3泄型二、求二次晶教的最值(范围)5题型三、根据二次函数的枭值(范同)求参数10题型四、分段函数单调性的应用13压轴能力测评(10)16”解题知识必备”一、暮本初等函数的单调性1 .正比例函数y=kx(k0)当QO时，函数y=H在定义域R是增函数：当*在定义域R是增函数：当收0时,函数)，=心+8在定义域R是减函数.3 .反比例v=-(k0)X当0时,函数v=内的单调遴战区间是(-x.0).(0.+8),不存在单调增区间：X当AVo时,函数丫=2的单调遴增区间是(-,0).(0.田
2、).不存在单调减区间.X4 .二次函数=加+/W(.HO)若。乂),在区间(0,-K.函数是减函数：在区间-2,+8).函数是增函数：1.a2a若av,在区间(c,-2.函数是增函数：X(h11-.).函数是减函数.2d2a二、二次函数的单调性与值1 .一元二次函数y=ax2+bx+c(aW0)0时,函数有最小值细二Z；离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数假越大:4“0)在区间m,n上的最值，-小时，=C)Q三、分段函数中的单调性若已知分段函数F(X)=窗：.窗若是分段函数定义域的嫩点地定义域I=1o(=砌上是单网递增确定参数的取(ft范围需要满足三个条件工(外在上单调递增力(刈在“上单调
3、递增在连接点X=a必行f1.（八）f2（八）(即左端的低小于等于右端的值)2)若已知分段函数X)=I*!若t=”是分段函数定义域的逆妾点)在定义域/,(-)./,=(,C)I=1u=K)上是单调递减确定参数的取住范围需要满足三个条件工(X)在4上单调递减人(刈在右上单调递减在连接点X=。必行，S)A()(即左端的值大于等于右端的值)由分段函数中的值域确定参I过取值范围解题方法：已如函数的伯域(常见SSM如下)确定参数的取值范用需要以下几步/(-V)=工(x)gt此段为具体函数j*),ag2此段为含有参量的函数J首先把分段函数中的一段具体函数的值域Di求出来其次根据已知条件函数的值域为D，由。U
4、2=。确定出a的范用最后通过D2的范用确定出参地的取值范的”压轴题型讲练r三三-已知二次函数单性求m一、单地题1 .(23-24高一上,江苏扬州期中)若函数y=.r-2+1.在区间卜2d上为单调增函数，则实数。的取值范用为)A.-2B.D.u【答案】B【分析】IMI二次函数的开口方向，对篇轴方程，得到不等式，求出售案.【详解】y=x2-20x+1.开口向上，对称“为要想1.V-2v+1在区间I-2.11上为单增函数，Ja-2.皿B二、多地2.(23-24裔一上甘尚庆阱期中汨知函数/(x)=E-+1.在区间3,8上单调，则实数,”的值可以是()A.2【答案】ADB.7D.20【分析】利用二次函数
5、的性质求解.【详解】/(x)=VTM+1的对毒轴为X=3,因为函数f(x)=x-rm+1.在区间3,8上单0,所以之8M*H6Jm1.6.趣，AD三、填s三3. (2425庙一上,全国课堂例题)若函数/(=-2(+1+3的形调递增区间是(-8.3,则实数。的值为.【答案】-4【分析】根据二次函数的单性即可求解.【详解】画数/(x)=-1.2(1.)x+3的单建地区倒是(f-4-I】.由意得Tr-I=3,*得“=-4.故答案为：-44. (24-2S高一上,上海糙堂练习)已知函数/(工)=丁-2(1-。)+2在(f,4)上是战函数.则实数”的取值范因为.【答案】(F-3【分析】将作一个暮体.将函
6、数表达式利用配方法聋理f(x)=x-(-“)了+2-(1.-a)IP可出国数的单翔M区间，再根据(y.4是质数单调遣凌区间的子集，即可建立不答式求解.【惮解】V(x)=.r2-2(1.-)x+2=x-(1.-f1.)i+2-(1.-)j,:J(X)的单图区间是(yJ一司.又；/(x)在(f4上是流通数，1.-4,Ww-3.所求实蒙“的取值器围是(-,-3,故答案为：(f,-3.5. (2425高三上海课堂例即)已知f(x)=2d+5是定义域在R上的函数,若时于任意-I再与3,都有止”与)-4,则实数的取值范围是.X1.r2【答案】-,【分析】由-v53,x1-x1-4,得/(xj+4/伍)+4
7、q,构造的数XI-X2X(K)=/()+4,所以函数以x)2+4x+5在11.3)上的，函数，对实效”分类讨论即可；【详解】因为对于任量-1七3,-2-4,所以f(xj-f()YX1.-X2)，(*i)+4()+4*构造函数g(x)=(x)+4x,则K(XI)O时，要倒HH1.g(X)2+4x+5是”3)上的地的数，只要.I0I符创a当O*JRMMtMx)=2+4x+5是-1.3上的JtjMt只雷要23.-!,构造iHfcgu)=u)+4是解的关Xf【题型二二次函数的量值(a1一、解答Je1. 24-25高一上,上,海课后作业)求函数/(x)=4-4r+-2rt+2在0,2上的最小值.4,【答
8、案】最小值为g(卜-2a+2.04.a2-2a+2.a2,即。4时，=外在0.2上产格流，故当x=2%的数的小值为2)=“JKk,+18.(2)当30,即“4.编匕记小值为Ma)JeK=-2+20af4a2-2+2,0.2. (2425高一上全国课前预习)已如函数/(x)=F-2x-3.若xe0,2,求函数/()的最伯：(2造X|+2,求函数/(x)的最值.【答案】。小值为T,大值为-3答案JeJW【分析】(1)求出函敷的时彝轴为X=I,由二次函敷的单置性，即可求解.(2)分类讨论定区间山，+21与对称轴的关系，鳍合二次通数的BH象与性质，可得答案.【详解】(1)；曲数/()=V2-2*-3的
9、IB象开口向上，对再轴为直线=1.,./(*)在IOj1.上单AHWU在。，2上单调道增，且/(O)=/.:X1.=/(o)=(2)=-3,/(1.=O)=-4-(2)由(1)知对称轴为宜Xx1,当1.+2,I1.hM-I时，X1.=/(，)=J-4-3,/(A)rti=(2)=f+2-3.当4r+2,RJ-1r0Bt,X1.=f(，)=-2/-3,/(v)1.rt,=/(0=当Y1.1时，儿2)=八2-3,/1.=()=r-2-3.设备数f(x)的大为3,小值为8”)，一八fr-2r-3,/50则有g)=(,_Ir+2-3jOr+2-3.t-(D=-4,-1.1.*23-24高一上庆津静海阶
10、段博习)已知函数/(x)=2xi+m+”的图象过点(1.-1),且满足f(-2)=/(3).(D求函数/O)的解析式:求困数/(R在+2上的最小(ft：r答案】(1.)(x)=2x,-2x-1.(2tg（八）=M3.2a,+6+3.r-2【分析】(I)根据IMh结合二次雷数的图做与性质，列出方程，求得见”的值，即可求得数/(x)的解析式1(2)根据意，结合二次函敷的性阴，分类讨检，即可求解.【详解】(D解，函敷./(力=2/+4+於足，(-2)一,“3),JI1.函数的BB象关于X=:对需，可得二.IMIW=-2,ip/(.t)=2x-2.r+/i,又由函敷x)的BB象过点(b1),可得2-2
11、+1,解得=-1,所以函敷/(X)的解析式为=zr-2-.(2)解，由(1)知/(x)=2-21.1.,可IWwE,开口向上，对意轴为X=；,当时，可得/3在区间“.0+2上单IMMh所以MX)=*=济-%-1,当时，可得/(X)在区间a,上单.逢浅,在区间/24上单遂常，所以g()=(=-3当“4-：时，可得/(x)在a+2上单IMW所以#(x)=f(o+2)=2+3,所以西数/(x)在a+2上的小值g(“=-33I2222(t:+60可鼻答案I(2)分“40、0ix讨论，结合二次函数的性It可检答案.【惮解】(I)若使/()o0,IM1.A3*Rv1.,所以k的取值葡国*(3+e)5f小(
12、2)当A=O时，/(x)2-44；2(xI)：为对离轴是X=I开口向上的抛物线.因为1加所以“1.当4+141ta()时，/(x)w=(+1)=2(+1T)*=2,J-3当2tjvv+1.iJ0“1时，nn=(,)=2(i-=4当2。21即;时，/(x)的=/(%)=2(2。一1/-；=8“-8+；1罐淞，当。40时，/()11w=2-4当()v彳时，/(4.=-当3CV1.时，/(x)n1.t=8;-8+-.5. 0,设函数/(x)在区间-2,-1上的域大信为&(，)，求/的表达式，井求出g)的最小值.答案11旧，0-2r.0z0可IWt物线开口向上.分类讨论，确定对称勃与区间的位关系，即可
13、得到结论.KWWi(I)当，=。时，/(a-)=+,Jrr()在(T.2)上单IMMh足条件；当,工。时，/()=d+i的对称轴为一卷，3MU()在(f2)上单调猛增，f0M1、/-4242t*,若/(x)在(f,2)上单调递常，Jr的取值范国为Ffoi(2)当r0%/(x)=rf+7+的对称轴为R=WV0,所以/3在E-f上单W.在($依)上单如%当-IM-=.即，耳时，fn,=g(t)=f(-2)=1.-,当-g-2,t-2时，w,-vU=(0=(-2)=-,JX当-%W-5,-MD7,g(r)-2.00和，”0时，物线的开口向上.当Tx42时，盘敷在X=I处取冷量小值，又函数值的小值为-
14、2,当X=I时，y=-2,w-2m=-2,解得，=2.当，”的小值为-2,.当k-1时，.v=-2,“r+2/w-2,解得t，=-；fc:C.二、多选f1.1.2.（23-24高一下.全国.课后作业）二次函数y=f+（2-1）x-3在Xa-I司上最大值为1,则实数（ft为（A.-B.-23C.-7D.-I4【答案】BD【分析】y=V+(2-1.)x-3,JI1.1.H便开口向上，对彝轴为宜、=亨，根据对租的位分两种情况讨检即可.【惮解】P=F+(2a-1.)x-3,J1.I图像开口向上，对租为直线X12-.当上=1时，卬“-gX=3时有量大值I,即9+(2-1)x3-3=I,解鼻=-当上学1时
15、，即V-；,-1时有最大值I,WI(2-1)(-I)-3=1,IIa=T故”=-1或“=BI).3. 0时，二次的数/(6图象的对称轴为亶纥户-1,所以，函数/(x)在卜2,T上单“，在T.3上单逢增，且f(-2)=1.j(3)=15+1.1.,所以，/()i=/=i5+=6.iMd=1.,合我Ba当V0时，二次函数/(K)BB公的时称轴为直线-I,所以，的数/(x)在卜2,-1上单，遗埴，在T3上单道*所以，/(x)i=-)=+1.=6,M11-5,合乎意.血，BC.三、境电S4. (2023高一上浙江台州专题练习)当m-2x4m时，二次函数y=-2r-3的最大值为5,则r的值是.【答案】。
16、成J【分析】利用二次函数的性质可求m的【详解.v=-2x-3=(x-1)-4,因为It物微的对IM1.为*=1,开口向上，则其大值,只能在=m-2或皿时取得，当X，2时，y=(m-2)-2(m-2)-3=5,Wt0*6,当，”=()时，-2x0,此时在.*=-2*0时取得量大值5,符创K%当，=6时，4x6,此时在=6取气量大21,星然不合J1.意告去t当X=，”时，-aA-=X1-Zr-3的量大值为加-3=5,解得，”=4或，”=-2().当，”=4时，2x4,此时在X=4时取得大值5,符合JBa当，”2时，-4.v-2,此时在X=T时取得大值21,不符合意.M1.E所述，阳的值为4或0.故
17、答案为：0或4.四、解答JS5. 2425高三上,江养宿迁阶段练习)已知函数/()=4-4*+-2+2.若a=2,求函数，在区间(T2)上的值域:(2)若函数/W在区网02J上有最小值3,求”的值.【答案】-2.14)(2)=I-yf2a5-JU).r分析】1)把。的值代入困数解析式，再叉断函数在已知区间上的单辑性，进而可以求解，(2)讨论对鲁”与已知区间的三林位关系，分别求出小值，令其为3,解出来”的值，进而可母求解.【详解】G)若=2,JN/U)=4?-8x+2=4(x-D,-2,对称轴为x=1.,函数/*)在区间(TI)上单调遣凌，在(1.2)上单递*,所以1.=1.)=-2,/(v)-
18、2+2=3W/=I2Q040.=1-J1当Ov2,W0f1.4Bt,w=)=-2+2.由-2+2=3,M=*4),.当葭22,即“24时，函数八N在10.21上是派函数，m,.=(2)=2Ix-I但范胭是()A.-4.-2B.(-A-2C.(-,0)D.(*.-2【答案】A【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式即可求解.惮解】因为y=+16的对称物为=所以-X2+”t+16在(o,-)上学M地减，在(Pgo)上单调递增，又=,当”0即”0，IM1.TW-2.20+4-A.(2a-)x+.x22. (23-24高一上.山东.期中)己知函数/(x)=4C是R上的单调增函数，则实数”的取侑范.t+
19、-.t2用是0所以j(2-1.)x2+1.M4tti&t-x2-r-5,x1.3.(23-24高一上.福建语印.阶段练习)已知函数=对必R,且X产Xa都有.1J-1.o成立,则。的取慎范用是()N-X2A.-34“VOB.-3a-2C.-2D.a)一”町0成立.A-2所以“X)在R上单IUM,B4 .(23-24高一上云南曲靖期中)己知函数Ja)=【答案】C【分析】先根据点处的函数值，然后讨论”=0m0以及I时/(K)=O-X+2=-*-2,在(I,m)单U1%N+aJ()to不符合，含去：当1.时f(x)=-+2,开口向下，x-wcJ(x)-x不符合，当0时，1.时/(x)=-x+2,开口向
20、上.且对U：轴为x=5O,/(X)在(y4单m/伟M)学Z着;41即;4“，JU(1)=+I-2,所以:1即OVa则/|；)=“|；-+2-21.-u2a22a)2a)2a162.实效U的取值范国是1.S)HiAtc5 .(22-23高一上广东深圳期中)已知函数/(x)=：；：；若存在知”RTf,使/(x)=(q)成立.则实数“的取值范围是()A.(0.2)B.(-8.0C.(f0)32.2)D.(-c.0)u(2,+)KM1.D【分析】对“进行分类讨论，循合加&、抛物I1.的知识求得”的取值范E1.【惮解】a2a1ja1a,y=ax+-2a=f1.(x-2)+1,过定点(2,1),F=XJm
21、开口向上，对禽轴*吗，当。0时，f(R在(y.i)递流，在(1.y)遑11,小值为I)=I-。，根据亶线和IMW1.的知织可知,存在ewRmhk,使/(XJ=f(三)成立.当=0时，=f(-2)=(-1.)=1.,所以存在x*x2R,.v1X29使/(N)=/(*)成立当01.2时，/在(f1)上iMh在闾上在(K)上那心根据亶线和IMttI的知织可知.存在MTWR小工与，使f(xj二f(q)成立.M1.k所述，的取IMS国是Ja。|3忆田).tti&tD【点】对于含有参数的分段函数的分析，知在于对“数进行分类讨论，本中，涉及如收、发物线，敷与宣线的单M性、触物线的对称*(单性)玄关,由此可确
22、定分类的标准，从而使分类做到一不工不”压轴能力测评”一、多选1.(22-23高一上河北保定期末)若函数f(X)=；(；：)：-；：在R上为单调M函数，则实数b的他(2h-1.).fr-2,.tO可以为()【答案】CD【分析】根据二次面数和一次函数的单调性，以及分段处函数值大小关系可构造不等式Ia求得结果.-竺2。2【详解】/(“在R上为单X面数，2-1.I可以足()C.2D.3【答案】ACD【分析】根据分段函敷的单性可得出关于实敷“的不等式粗，由此可解得实数”的取值范围，即可得出合适的逸项.x1-IX则函数/（K）=F-8+5在（Y0上为XaSajui,可得“2,函敷/（K）=E在（,X）上为
23、函数，J80,且有1.-a+5“.解春3.23.fcft*CD.二、填空Ji3. （242S高一上,上海随堂练习）若函数y=f+2024S-1.）x+2在（4048上是严格减函数,则实数。的取值范困是.【答案】-3【分析】利用二次函数的单调性求解.【详用解，因为函数.7+2024（“-I）X+2在（f4（网上是产格械曲教，所以幽”4048.所以TWY解得-3故答案为：u-34. （2324高一上河北阶段练习）已知函数X）U:二二V：在R1.二是单调函数，则”的取值范用（+2X-7,X2是.【答案】-i0）【分析】保证每段函数单辑域成和断点处函数值大小关系即可【详解】由tw（x）在2,o）上单辑
24、域明所以1.3：47,解得-2S0.也答案为，1-2,0）三、解阖S5.(24-25海一上上海课堂例题)已知函数/(x)=2-Kh,XGk+1的最小值为身，求g)的表达式.21-6t-8.1.-【答案】g(t)=2535,/22222-iO-2r分析】时怆对潮焉和定义域的关系，结合函皴的单性，求函数的量小值.【详解】)对稼为X=：,图像开口向上,.当一，即时，X)在卜/+1产格u，/（八）的小值为f(r)2?Iar1.g+.w,/(用的小值为呜)=苧当，+1w，时，/(X)在h+1.产格潮/(的小值为f(r+1.)=2F-8.2r-6-8;一,.25351.h,ftt=-2t.v+c,/(0)
25、=+c=0,故“+=-1,/(.v)=4.6)【分析】(1)法一利用点式设方程即可象n法二，利用一般式设方程，方程a求解即可2)利用单调性列不答式【惮解】(1)福一)设f(x)=(x-2f-4,由Q(0)4-4=0,得“=1,所以/(x)=(r-2)-4=2-4x(方法二)设f(x)=r2+加+c,/=C=Of1.=由,得2,解得占=T2a_/(2)=4+28=T。=所以/(x)=F-4.r.(2)由意得/(*)在R+X)上单IMM!,所以243,4,n6,即，”的取值范国为住6).8 .(23-24高一上,河北石家庄阶段练习)已知集合4=3，-IMX2m+3.不等式】的解集为8.A-I当A8
26、=0求实数卅的收(ft范附：(2)已知函数$、2/v+4且X8.求此函数的最小值构成的函数.IM1.(1.)m（八）=6-,4420.I66-2O116【分析】1)分A=0AH0结合效，考虑即可，(2)二次面敷的量值，结合对称轴与区闾的关系分类讨婚即可.IWM1.(O由喂1，得B*x9,即8Ef1)59.+co),当，“-12+3时，即，V-4时，A=0,足A8=0,m-4当AhO时，由八8=0,Mw-1.1.,fM2n3,2,n+39嫌上；实效，”的取值苒卅.1)k(9.+),图像开口向上，对称轴为a=：,当时，即a4*,236时，44/(=f(C)=2(C)-0+4=4+44448175,
27、W420,/(x)n,n=(1.)=2-+4=6-,当5v=9.W20wt,f(x)nir=/(9)=162-9+4=166-9,+4,“44或“36像上，Jt1.函数/(M的量小值构成的函数为Ma)=6-.420I66-9,20w369 .(2324高一上山东期中)(2知函数/(x)-(rt-1.)x-2,wR.设解关于X不等式f(x)0,若当Xe-+x，时/(*)的Ai小值为求。的值.【答案】U)答案见解析宾.【分析】(D根帚一元二次不等式的解法，利用分类讨论思短，可得答案;(2)根据二次面数的性厨，利用分类讨论，建立方程，可得答案.【详解】I)不等式即I)X-20,W(x-2)(u+1.
28、)0,当=O时，Px-20,则开口向上，-2,H不等式解得-1.xv2,aa(ii)若W“2,原不答式X0时，解集为VTr2当。Otf,解集为巾2I当T“0知/(x)开口向上，对稼轴是=f,2a3-p卬OVaMgit函数/(x)在-K)3Mb*-/即。;时，函数/()在iT%单潮1*在氏,+力)上单调通*,量小值为/(%)=F二)T=T解得土产或“上(的，嫌上。的值为;或邛.10.(22-23高一上浙江期中)已知函数八*)=-2*.(。0)(I)若函数y=()在B引上单调速M,求“的取值范围：若函数y=()在3+21上的最小值为大此大值为二，求和/的值.3a【答案】(1.)j(2)当，+时，当
29、乂/时，“7.a65。3【分析】利用败形结合，得出R3u氐,列不等式卸算出“即可；(2)利用二次的数轴与区间的关系，分四类进行讨论即可.【详解】函敷3=-2X的财称餐是W，其图象与X”的交点坐标是(0.0)和弓Qi，IM函数v=(K)I的图象如图所示.所以函数TfU)IHHMKMs0霸D因为函数F=Ifa)I在23)上单道城，所以Md兰0ar+2a1.,=-当，+14,v+2时，函数/(D=4-2在亿二上单诩1减，在匚J+2上单诩1增.aaa/*)Z=/)=r-=/(0f1.ta=/(一)=I-)-2-=t且，十1.+2“aa)a3at-I1,研Iat=-3当r1.,+1%函数f(M-2x在IJ)上单雳班涵在/，+2)上单逢，aaa（八）,w-f(t2)-(r+2)i-2(r-2)三-(.v),r,=()=-2=tatata9Im内?3.秘m=-3当上4,时，(-r)r22x在S+2上单说递增,J(-r)re.=f(t=u2i=/(X)Z=/+2)=(r+2)-2+2)=1.且W1.,(/+2)=37,解出,=13f-7M1.t,当，+241.时，”=”远当产时一丁7
